計算機輔助幾何設計課件

清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESS第5章計算機輔助幾何設計5.1自由曲線5.2自由曲面清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESSCAD中由已知曲線或曲面的數(shù)學方程生成的曲線曲面稱為規(guī)則曲線曲面,常用隱函數(shù)或二次方程的顯函數(shù)表示。但在汽車、輪船、飛機、模具、藝術品等產(chǎn)品設計中,存在大量的不能用二次曲面描述的曲線曲面,這類曲線曲面稱為自由曲線(FreeFormCurves)和自由曲面(FreeFormSurfaces),這是計算機輔助幾何設計研究的主要幾何形狀。清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESS51自由曲線5.11曲線曲面描述的基本原理5.12HermiteB線5.13Bezier曲線5.14B樣條曲線5.1.5非均勻有理B樣條(NURBS)曲線5,,曲線曲面描述的基本原理S自由曲線可以是由一系列的小曲線段連接而成,自由曲面可以是由無數(shù)個小的曲面片拼合而成。因此,曲線曲面的研究重點是曲線段或曲面片的描述及其連接拼合方法1.幾何設計的基本概念在自由曲線和曲面描述中常用三種類型的點1)特征點(控制頂點):用來確定曲線曲面的形狀位置,但曲線或曲面不一定經(jīng)過該點2)型值點:用于確定曲線或曲面的位置與形狀并且經(jīng)過該點。清華大學出版在曲線曲面設計中,通常是用一組離散的型值點或特征點來定義和構造幾何形狀,并且所構造的曲線曲面應滿足光順的要求。這種曲線曲面定義的主要方法是插值和逼近(1)插值:給定一組精確的數(shù)值點,要求構造一個函數(shù),使之嚴格地依次通過全部型值點,且滿足光順的要求。(2)逼近:對于一組給定的控制頂點,要求構造一個函數(shù),使之在整體上最接近這些控制點而不一定通過這些點(3)光滑(smooth):從數(shù)學意義上講,光滑是指曲線或曲面具有至少一階連續(xù)導數(shù)。(4)光順(fair):至今仍是一個模糊的概念,尚無統(tǒng)一的標準。一方面有主觀的因素,另一方面與應用背景相關但仍有一些客觀標準及處理方法2.曲線曲面的數(shù)學描述方法曲線曲面可以用隱函數(shù)、顯函數(shù)或參數(shù)方程表示。用隱函數(shù)表示不直觀,作圖不方便(如ax+by+c=0);用顯函數(shù)表示存在多值性(如x2+y2=r2)和斜率無窮大(如y=mx+b)等問題。此外,隱函數(shù)和顯函數(shù)只適合表達簡單、規(guī)則的曲線曲面。自由曲線曲面多用參數(shù)方程表示,相應地稱為參數(shù)曲線或參數(shù)曲面?？臻g的一條曲線可以表示成隨參數(shù)變化的運動點的軌跡,其矢量函數(shù)為P(t=P(x(t,y(t,z(t),t的范圍是[0,1同理,空間中的一張曲面可用參數(shù)u,V)表示為P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v),(u,v)的范圍是[0,1×[0,1華大學出版社用參數(shù)表示曲線曲面的優(yōu)點NGHUAUNIVERSITYPRESS(1)具有幾何不變性。某些幾何性質不隨一定的坐標變換而變化的性質稱為幾何不變性。曲線形狀本質上與坐標系的選取無關。(2)可以處理無窮大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/dxdt)(3)參數(shù)方程將自變量和因變量完全分開,使得參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來(4)可以處理多值曲線。(5)規(guī)格化參數(shù)變量,使其相應的幾何分量是有界的。由于參數(shù)限制在0到1的閉區(qū)間之內,因而所表示的曲線總是有界的,不需另設其他數(shù)據(jù)來定義其邊界(6)對曲線曲面形狀控制的自由度更大。如一條二維三次曲線的顯式表示為清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESSy=ax+bx+cx+d其中只有4個系數(shù)可控制曲線的形狀,而對于其參數(shù)表示為x=at+bt+ct+dy=et+ft+gt+h其中有8個系數(shù)可用來控制曲線的形狀。(7)易于用矢量和矩陣表示幾何量,從而簡化了計算。清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESS5.12Hermitel線HermiteF線是給定曲線段的兩個端點坐標以及兩端點處的切線矢量來描述曲線。空間條三次參數(shù)曲線可以表示為:x=a,tbt+ct+d,y=a2+b,t+C2t*+d,tz=a,+b,t+ct+dt該曲線的矢量表達式為p(1)=k0+k1+k應用端點P0和P1,以及端點切矢P0和P1’,可得:清華大學出版社TSINGHUAUNIVERSITYPRESSko=po1=pk2=3(p1=p0)-