第五講傅里葉變換及應(yīng)用

第五講傅里葉變換及應(yīng)用第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月如果滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:如果函數(shù)在上絕對可積，它的傅立葉變換定義如下：一.傅立葉變換反演公式第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月注1：

在有些參考文獻(xiàn)中,因子被分解成,并且分別含在上述兩個式子（1）和（2）中.而在式(1)中的函數(shù)寫成，從而在式(2)中函數(shù)寫成.這些本質(zhì)上同定義（1）（2）沒有差別.第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月注2：在三維無界空間中,若是絕對可積函數(shù),則可定義三重傅里葉變換當(dāng)然，我們也可以定義傅立葉逆變換第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月傅立葉變換的性質(zhì):

1）

線性性質(zhì)

設(shè)f,g是絕對可積函數(shù)，是任意復(fù)常數(shù)，則

2）微分性質(zhì)設(shè)f,絕對可積函數(shù)，則3）乘多項式設(shè)f,

xf絕對可積，則第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4）相似性質(zhì)設(shè)f(x)

絕對可積，則6）卷積性質(zhì)設(shè)f,g

是絕對可積函數(shù)，令則5）延遲性質(zhì)設(shè)f(x)

絕對可積，則第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月7）積分性質(zhì)8）頻移性質(zhì)第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

用傅里葉變換法解熱傳導(dǎo)方程定解問題：解：作關(guān)于x

的傅立葉變換,方程可變?yōu)?/p>

設(shè)二.傅里葉變換的應(yīng)用第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月可解得

由于即則第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月從而方程的解第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例用積分變換法解方程：解：作關(guān)于的傅立葉變換。設(shè)方程變?yōu)橛贸?shù)變易法可解得而則第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月傅立葉變換是一種把分析運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算的有效方法,但1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對可積.大部分函數(shù)不能作傅立葉變換。2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個數(shù)軸上有定義,研究混合問題時失效。注：第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉變換法求解問題的步驟對方程的兩邊做傅里葉變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虒Χń鈼l件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程對應(yīng)的定解條件求常微分方程及定解條件的解對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)物理方程+定解條件解常微分方程+定解條件解積分變換逆變換第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取變換符氏例2用傅里葉變換求解波動方程的初值問題：第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例3用傅里葉變換求解波動方程的初值問題解：作關(guān)于x

的傅立葉變換。設(shè)第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月于是原方程變?yōu)闈M足初始條件第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程的解設(shè)非齊次方程的解為第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月令則第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月代入方程得第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上述兩式第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月得到非齊次方程的通解為由初始條件第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

取傅立葉逆變換，得

的傅立葉變換其中是而第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月所以