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黑龍江省哈爾濱市延壽綜合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.某一棱錐的三視圖如右圖,則其側(cè)面積為(
)
(A).
(B).(C).
(D).參考答案:C2.設(shè),則不等式的解集為(
)A. B.C.
D.(1,2)參考答案:C試題分析:令,解得.令,解得為,不等式的解集為,故選C.1考點(diǎn):1、分段函數(shù)的解析式求;2、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式.3.(07年寧夏、海南卷理)一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形,且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等,這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為,,,則()A.
B.
C.
D.參考答案:答案:B解析:如圖,設(shè)正三棱錐的各棱長(zhǎng)為,則四棱錐的各棱長(zhǎng)也為,
于是
4.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)x均有f(3x)=3f(x),且,則使得f(x)=f(2014)的最小的正實(shí)數(shù)x的值為(
)A.
173
B.416
C.556
D.
589參考答案:B略5.三棱錐S-ABC中,SA⊥底面ABC,若,則該三棱錐外接球的表面積為()A.18π B. C.21π D.42π參考答案:C【分析】先利用正弦定理計(jì)算出△ABC的外接圓直徑2r,再結(jié)合三棱錐的特點(diǎn),得出球心的位置:過△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn).再利用公式可計(jì)算出該三棱錐的外接球直徑,最后利用球體表面積公式可得出答案.【詳解】解:由于AB=BC=AC=3,則△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,由正弦定理知,△ABC的外接圓直徑為,由于SA⊥底面ABC,所以,△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn)為該三棱錐的外接球的球心,所以外接球的半徑,因此,三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=4π×=21π.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,考查計(jì)算能力,屬于中等題.6.定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略7.已知集合,,則A∩B=(
)A.
B.[0,1]
C.
D.參考答案:C8.在平面直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn)與之間的“直角距離”為.給出下列命題:(1)若,,則的最大值為;(2)若是圓上的任意兩點(diǎn),則的最大值為;(3)若,點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為.其中為真命題的是A.(1)(2)(3)
B.(1)(2)
C.(1)(3)
D.(2)(3)參考答案:A9.設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個(gè)數(shù)為
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:答案:B10.已知函數(shù),若則的取值范圍是(
)
A.
參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性,解不等式.
B4
E3【答案解析】C
解析:因?yàn)?,所以是偶函?shù),所以為,解得,所以選C.【思路點(diǎn)撥】先確定是偶函數(shù),所以為,解得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切,,則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是___________。參考答案:(1,0)12.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(﹣x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,﹣3)處的切線方程是.參考答案:2x+y+1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】由偶函數(shù)的定義,可得f(﹣x)=f(x),即有x>0時(shí),f(x)=lnx﹣3x,求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程.【解答】解:f(x)為偶函數(shù),可得f(﹣x)=f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(﹣x)+3x,即有x>0時(shí),f(x)=lnx﹣3x,f′(x)=﹣3,可得f(1)=ln1﹣3=﹣3,f′(1)=1﹣3=﹣2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,﹣3)處的切線方程為y﹣(﹣3)=﹣2(x﹣1),即為2x+y+1=0.故答案為:2x+y+1=0.13.已知函數(shù)f(x)=2lnx+bx,直線y=2x﹣2與曲線y=f(x)相切,則b=
.參考答案:0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),把切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入曲線和直線方程,由縱坐標(biāo)相等得一關(guān)系式,再由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率得另一關(guān)系式,聯(lián)立后求得b的值.【解答】解:設(shè)點(diǎn)(x0,y0)為直線y=2x﹣2與曲線y=f(x)的切點(diǎn),則有2lnx0+bx0=2x0﹣2
(*)∵f′(x)=+b,∴+b=2(**)聯(lián)立(*)(**)兩式,解得b=0.故答案為:0.14.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則=______________。參考答案:15.某所學(xué)校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件則該校招聘的教師人數(shù)最多是
名.參考答案:10;16.某射手射擊1次,擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.有下列結(jié)論:①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9;②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1;③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1﹣0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).參考答案:①③【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.【專題】計(jì)算題;壓軸題.【分析】由題意知射擊一次擊中目標(biāo)的概率是0.9,得到第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9,連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響,得到是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到恰好擊中目標(biāo)3次的概率和至少擊中目標(biāo)1次的概率,得到結(jié)果.【解答】解:∵射擊一次擊中目標(biāo)的概率是0.9,∴第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9,∴①正確,∵連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響,∴本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到恰好擊中目標(biāo)3次的概率是C43×0.93×0.1∴②不正確,∵至少擊中目標(biāo)1次的概率用對(duì)立事件表示是1﹣0.14.∴③正確,故答案為:①③【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行,②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的,③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果.17.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,則
.參考答案:1
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為非零常數(shù),為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,直線的方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程并說明曲線的形狀;(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,請(qǐng)求出;否則,請(qǐng)說明理由.參考答案:分②當(dāng)時(shí),曲線C為中心在原點(diǎn)的橢圓.
……6分(Ⅱ)直線的普通方程為:.
……8分
略19.(14分)已知函數(shù)(1)判斷的奇偶性
(2)若在是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的范圍
參考答案:解析:(1)當(dāng)時(shí),,對(duì)任意,,為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí),,
取,得,
,
函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)解法一:設(shè),
,
要使函數(shù)在上為增函數(shù),必須恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范圍是.
解法二:當(dāng)時(shí),,顯然在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),反比例函數(shù)在為增函數(shù),在為增函數(shù).
當(dāng)時(shí),同解法一.
20.已知平面向量,,,其中,且函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的值;(2)將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡?倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的最大值和最小值.參考答案:解:(1)
……1分……………2分
……………4分
∴
而,∴
……………6分
(2)由(1)得,,于是,即.
……………9分當(dāng)時(shí),,所以,
……………11分即當(dāng)時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),取得最大值.
……12分21.如果由數(shù)列生成的數(shù)列滿足對(duì)任意的均有,其中,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(Ⅰ)在數(shù)列中,已知,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”;(Ⅱ)若數(shù)列是“數(shù)列”,,,求;(Ⅲ)若數(shù)列是“數(shù)列”,設(shè),且,求證:.參考答案:解:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,,所以,所以,?shù)列是“數(shù)列”.
(Ⅱ)因?yàn)?,所以,,…,,所以(),所以(),又,所以(?
(Ⅲ)因?yàn)椋?,又,且,所以,,,所以,所以,?
略22.已知,函數(shù).(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求曲線的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)若,求在上的最大值.參考答案:解:(Ⅰ)由:,且,所以所求切線方程為:,即:;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,(1)當(dāng)即時(shí),恒成立,這時(shí)在上單調(diào)遞增;
(2)當(dāng)即時(shí),恒成立,且只有時(shí),所以在上單調(diào)遞增;(3)當(dāng)即時(shí),令得:,(顯然)①當(dāng),即時(shí),,在上恒成立,在上單調(diào)遞減;②當(dāng),即時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,這時(shí)單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,這時(shí)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,這時(shí)單調(diào)遞增;綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在時(shí)單調(diào)遞增,
在時(shí)單調(diào)遞減,
在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;(Ⅲ)由(Ⅱ)得:(1)當(dāng)
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