山東省淄博市博山區(qū)山頭鎮(zhèn)山頭中學高一數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

山東省淄博市博山區(qū)山頭鎮(zhèn)山頭中學高一數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點，，若直線：與線段AB沒有交點，則的取值范圍是（）A．

B．

C．或

D．參考答案：C2.設全集，集合，若，，則的值為（

）

A．2或

B．或

C．或8

D．2或8參考答案：D3.向面積為的內任投一點，則的面積小于的概率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.如圖，正方體的棱長為1，是底面的中心，則到平面

的距離為（

）A．B．

C．

D．

參考答案：B略5.已知全集I＝｛x|x是小于9的正整數(shù)｝，集合M＝｛1，2，3｝，集合N＝｛3，4，5,6｝，則（IM）∩N等于（

）A.｛3｝

B.｛7，8｝

C.｛4，5,6｝

D.{4,5，6,7，8}參考答案：C6.右圖中的三個直角三角形是一個體積為的幾何體的三視圖，則A． B． C． D．參考答案：B略7.有一位同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計得到了一個賣出熱飲杯數(shù)y與當天氣溫x之間的線性關系，其回歸方程為，如果某天氣溫為2℃，則該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)是（

）A.140 B.143 C.152 D.156參考答案：B【分析】根據(jù)所給的一個熱飲杯數(shù)與當天氣溫之間的線性回歸方程，代入x=2，求出y即可．【詳解】根據(jù)熱飲杯數(shù)與當天氣溫之間的線性回歸方程為，某天氣溫為時，即，則該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)．故選：B．【點睛】本題考查了線性回歸方程的實際應用，屬于基礎題．8.在△ABC中，,BC=1,AC=5，則AB=A. B. C. D.參考答案：A分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.9.在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為

（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選：D.【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題。10.已知數(shù)列{an}滿足，，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則（

）A. B.C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列{an}是等比數(shù)列參考答案：B分析：由，可知數(shù)列隔項成等比，再結合等比的有關性質即可作出判斷.詳解：數(shù)列滿足，，當時，兩式作商可得：，∴數(shù)列的奇數(shù)項，成等比，偶數(shù)項，成等比，對于A來說，，錯誤；對于B來說，，正確；對于C來說，數(shù)列等比數(shù)列，錯誤；對于D來說，數(shù)列是等比數(shù)列，錯誤，故選：B點睛：本題考查了由遞推關系求通項，常用方法有：累加法，累乘法，構造等比數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等等，本題考查的是隔項成等比數(shù)列的方法，注意偶數(shù)項的首項與原數(shù)列首項的關系.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.己知矩陣，若矩陣C滿足，則矩陣C的所有特征值之和為____.參考答案：5【分析】本題根據(jù)矩陣乘法運算解出矩陣C，再依據(jù)特征多項式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【詳解】解：由題意，可設C＝，則有?＝．即，解得．∴C＝．∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3．∴λ1+λ2＝2+3＝5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查矩陣乘法運算及依據(jù)特征多項式求出特征值，本題不難，但有一定綜合性．本題屬基礎題．12.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______________.參考答案：略13.函數(shù)的定義域為參考答案：略14.已知α，β均為銳角，cosα=，cos（α+β）=﹣，則cosβ=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sinα和sin（α+β）的值，然后利用cosβ=cos[（α+β）﹣α]，根據(jù)兩角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β均為銳角，∴sinα==，sin（α+β）==∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．故答案為：15.已知，則__________.參考答案： 16.求值：

參考答案：417.不等式|x﹣3|≤1的解集是．參考答案：[2，4]【考點】絕對值不等式的解法．【分析】去掉絕對值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣3|≤1，∴﹣1≤x﹣3≤1，解得：2≤x≤4，故答案為：[2，4]．【點評】本題考查了解絕對值不等式問題，是一道基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知全集U={x|x﹣2≥0或x≤1}，A={x|x2﹣4x+3＞0}，B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），求A∩B及?U（A∪B）．參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】函數(shù)思想；綜合法；集合．【分析】先求出全集U=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A=（﹣∞，1）∪（3，+∞），然后進行交集、并集，以及補集的運算即可．【解答】解：U={x|x﹣2≥0或x≤1}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A={x|x2﹣4x+3＞0}=（﹣∞，1）∪（3，+∞），B=（﹣∞，1]∪（2，+∞）；∴A∩B=（﹣∞，1）∪（3，+∞），A∪B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），?U（A∪B）={2}．【點評】考查描述法、列舉法表示集合，以及區(qū)間表示集合，集合的交集、并集，及補集的運算．19.（本題滿分8分）已知圓和圓，直線與圓相切于點（1,1）；圓的圓心在射線上，圓過原點，且被直線截得的弦長為。（1）求直線的方程；（2）求圓的方程。參考答案：（1），

（2）由已知可設，

，又弦長為

又20.（本題滿分19分）數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列中的任兩項互質。（3）記，為數(shù)列的前項和，求的整數(shù)部分；

參考答案：解析：（1）因為當也成立，所以；--------------------------------------------------5分；（2）因為所以，------------------------------------------------------------------------9分；因為為奇數(shù)，所以對任意的均互質。--------------------12分。（3）因為，所以，又因為，所以，---------------------------------------------------16分；所以，所以的整數(shù)部分為1。-----------19分。

21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（3b﹣c）cosA﹣acosC=0．（1）求cosA；（2）若a=2，△ABC的面積S△ABC=3，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若sinBsinC=，求tanA+tanB+tanC的值．參考答案：【考點】GZ：三角形的形狀判斷；HR：余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得sinB（3cosA﹣1）=0，由于sinB≠0，可求cosA的值．（2）利用三角形面積公式可求bc=9，利用余弦定理可求b2+c2=18，聯(lián)立可求b=c=3，可得△ABC為等腰三角形．（3）由cosA=，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得sinBsinC﹣cosBcosC=，又sinBsinC=，可求tanBtanC=2，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．【解答】（本題滿分為16分）解：（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理，得（3sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴3sinBcosA﹣sin（A+C）=0，可得：sinB（3cosA﹣1）=0．∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=．…（2）∵S△ABC=bcsinA=3，∴bc=9，①∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=18，②…由①②得b=c=3，∴△ABC為等腰三角形．…（3）由cosA=，得tanA=2，cos（B+C）=﹣，∴sinBsinC﹣cosBcosC=，…又sinBsinC=，∴cosBcosC=，∴tanBtanC=2，…又tanB+tanC=tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=2，∴tanA+tanB+tanC=4．…22.已知=（cosωx，sinωx），=（2cosωx+sinωx，cosωx），x∈R，ω＞0，記，且該函數(shù)的最小正周期是．（1）求ω的值；（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．參考答案：【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算；HW：三角函數(shù)的最值．【分析】（1）由已知向量的坐標利用數(shù)量積可得f（x）的解析式，再由降冪公式結合輔助角公式化簡，由周期公式求得ω值；（2）由f（x）=sin（8x+）+1，可知當8x+=+2kπ，即x=+（k∈Z）時，sin（8x+）取得最大值1，并由此求得求使f（x）取得最大值的x的集合．【解答】解：（1）∵=（cosωx，sinωx），=（2cosωx+sinωx，cosωx），∴f（x）==cosωx?（2cosωx+sinωx