機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第5章1課件

§第5章軌跡規(guī)劃（4學(xué)時(shí)）學(xué)習(xí)目的：1理解軌跡規(guī)劃原理2學(xué)會(huì)用軌跡規(guī)劃處理實(shí)際問題學(xué)習(xí)內(nèi)容：1軌跡規(guī)劃原理2關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃3直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃4連續(xù)軌跡紀(jì)錄1精選ppt定義：如果規(guī)定一個(gè)機(jī)器人從A點(diǎn)經(jīng)過B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)而不強(qiáng)調(diào)時(shí)間的概念，那么這一過程中的位形序列就構(gòu)成了一條路徑。如果我們強(qiáng)調(diào)到達(dá)其中任意一點(diǎn)的時(shí)間，那么這就是一條軌跡。我們可以看出軌跡和路徑的區(qū)別就在于軌跡依賴速度和加速度?！?.1路徑與軌跡2精選ppt5.2關(guān)節(jié)空間描述與直角空間描述1關(guān)節(jié)空間描述如果給定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，就可以利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出每個(gè)關(guān)節(jié)的矢量角度值；然后機(jī)器人控制器驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)電機(jī)運(yùn)動(dòng)使機(jī)器人到達(dá)相應(yīng)的位置。這種以關(guān)節(jié)角度的函數(shù)來描述機(jī)器人軌跡的方法稱為關(guān)節(jié)空間法。特點(diǎn)：在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的過程中，中間狀態(tài)是不可知的，但計(jì)算量較小，不會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)

。2直角坐標(biāo)空間描述將軌跡分成若干段，使機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過這些中間點(diǎn)，在每一點(diǎn)都求解機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量，直到到達(dá)終點(diǎn)，如下圖所示：3精選ppt特點(diǎn)：路徑可控且可預(yù)知，直觀、容易看到機(jī)器人末端軌跡；但計(jì)算量大，容易出現(xiàn)奇異點(diǎn)，如下圖所示：直角空間描述4精選ppt軌跡穿過機(jī)器人自身關(guān)節(jié)值突變5精選ppt§5.3軌跡規(guī)劃的基本原理

關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃

1.計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)變量，各關(guān)節(jié)都以最大角速度運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：軌跡不規(guī)則，末端走過的距離不均勻，且各關(guān)節(jié)不是同時(shí)到達(dá)。AB6精選ppt2.在1的基礎(chǔ)上對(duì)關(guān)節(jié)速率做歸一化處理，使各關(guān)節(jié)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。特點(diǎn)：各關(guān)節(jié)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，軌跡各部分比較均衡，但所得路徑仍然是不規(guī)則的。AB7精選ppt二直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃1.首先畫出路徑，接著將路徑n等分(為了獲得較好的沿循精度，n越大越好)，分別計(jì)算到達(dá)各點(diǎn)所需的關(guān)節(jié)變量。特點(diǎn)：關(guān)節(jié)角非均勻變化，末端沿已知路徑行走。8精選ppt2.在1的基礎(chǔ)上，考慮各關(guān)節(jié)的加速減速時(shí)間，為防止在加速期間軌跡落后于設(shè)想的軌跡，在劃分分界點(diǎn)時(shí)，如果是直線軌跡，就按照方程劃分。曲線軌跡就相對(duì)復(fù)雜一些。9精選ppt3.多點(diǎn)的情況（1）從A向B先加速，再勻速，接近B時(shí)再減速，從B到C再重復(fù)。為避免這一過程中不必要的停止動(dòng)作，可將B點(diǎn)兩邊的動(dòng)作進(jìn)行平滑過渡。機(jī)器人先抵達(dá)B點(diǎn)，然后沿著平滑過渡的路徑重新加速，最終抵達(dá)并停止在C點(diǎn)。10精選ppt（2）考慮到由于采用了平滑過渡曲線，機(jī)器人經(jīng)過的可能不是原來的B點(diǎn)，可事先設(shè)定一個(gè)不同的B’’點(diǎn)，使曲線正好經(jīng)過B點(diǎn)。11精選ppt(3)在B點(diǎn)前后各加過渡點(diǎn)D,E，使得B點(diǎn)落在DE上。12精選ppt三軌跡規(guī)劃的分類1)對(duì)于點(diǎn)位作業(yè)機(jī)器人，需要描述它的起始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)。如果用表示工具坐標(biāo)系的起始值，表示目標(biāo)值，就是表示這兩個(gè)值的相對(duì)關(guān)系。這種運(yùn)動(dòng)稱為點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(PTP)2)對(duì)于弧焊、研磨、拋光等曲面作業(yè)，不僅要規(guī)定起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，還要規(guī)定中間整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程。對(duì)于一段連續(xù)運(yùn)動(dòng)過程，理論上無法精確實(shí)現(xiàn)，實(shí)際上是選取一定數(shù)量(滿足軌跡插補(bǔ)精度)的點(diǎn)作為中間點(diǎn)，從而近似實(shí)現(xiàn)沿給定的路徑運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為連續(xù)路徑運(yùn)動(dòng)或輪廓運(yùn)動(dòng)(CP)3)障礙約束軌跡規(guī)劃13精選ppt§5.4關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃一、三次多項(xiàng)式的軌跡規(guī)劃我們假設(shè)機(jī)器人某一關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程是三次的14精選ppt從上例可以看出，若我們已知開始和終止時(shí)刻的角度以及角速度，那么就可以求得，進(jìn)而求得關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程。15精選ppt盡管每一個(gè)關(guān)節(jié)都是分別計(jì)算的，但是在實(shí)際控制中，所有關(guān)節(jié)自始至終都是同步運(yùn)動(dòng)；如果機(jī)器人初始和末端速度不為零，可以通過給定數(shù)據(jù)得到未知數(shù)值；如果要求機(jī)器末端人依次通過兩個(gè)以上的點(diǎn)，則每一段求解出的邊界速度和位置均可作為下一段的初始條件，其余相同；位置、速度連續(xù)，但是加速度不連續(xù)。16精選ppt例5.1：已知一個(gè)關(guān)節(jié)在5秒之內(nèi)從初始角30度運(yùn)動(dòng)到終端角75度，使用三次多項(xiàng)式計(jì)算在第1，2，3，4秒時(shí)關(guān)節(jié)的角度。（我們假設(shè)在開始和終止的瞬間關(guān)節(jié)的速度是0)解：由題意可得到由此得到位置，速度和加速度的多項(xiàng)式方程如下：17精選ppt我們可以進(jìn)一步畫出關(guān)節(jié)的位置，速度和加速度曲線18精選ppt可以看出，本例中需要的初始加速度為10.8度/秒2運(yùn)動(dòng)末端的角加速度為-10.8度/秒2。例題：在例5.1的基礎(chǔ)上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，要求在其后的3秒內(nèi)關(guān)節(jié)角到達(dá)。畫出該運(yùn)動(dòng)的位置，速度和加速度曲線。思路點(diǎn)撥：可將第一運(yùn)動(dòng)段末端的關(guān)節(jié)位置和速度作為下一運(yùn)動(dòng)段的初始條件。19精選ppt解：進(jìn)而可以畫出以下曲線20精選ppt為保證機(jī)器人的加速度不超過其自身能力，應(yīng)考慮加速度的限制。根據(jù)此式可計(jì)算出達(dá)到目標(biāo)所需要的時(shí)間21精選ppt二、五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃同例5.1，若采用五次多項(xiàng)式，若再已知初始加速度和末端減速度均為5度/秒2，其他條件不變，試畫出三條相應(yīng)曲線。（邊界條件變?yōu)?個(gè)）根據(jù)這些方程，可以通過位置、速度和加速度邊界條件計(jì)算出五次多項(xiàng)式的系數(shù)。22精選ppt23精選ppt關(guān)節(jié)位置、速度和加速度圖形24精選ppt三、拋物線過渡的線性運(yùn)動(dòng)軌跡如果機(jī)器人關(guān)節(jié)以恒定速度運(yùn)動(dòng)，那么軌跡方程就相當(dāng)于一次多項(xiàng)式，其速度是常數(shù)，加速度為0，這說明在起點(diǎn)和終點(diǎn)，加速度為無窮大，只有這樣才可以瞬間達(dá)到勻速狀態(tài)。但很顯然這是不可能的，因此在起點(diǎn)和終點(diǎn)處，可以用拋物線來進(jìn)行過渡。如圖所示25精選ppt顯然，這個(gè)拋物線運(yùn)動(dòng)段的加速度是一常數(shù)，并在公共點(diǎn)A和B上產(chǎn)生連續(xù)的速度。將邊界條件代入拋物線段的方程，得到：從而給出拋物線段的方程為：假設(shè)ti和

tf時(shí)刻對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置為和，拋物線與直線部分的過渡段在時(shí)間tb和tf-tb處是對(duì)稱的，因此可得：26精選ppt顯然，對(duì)于直線段，速度將保持為常值，它可以根據(jù)驅(qū)動(dòng)器的物理性能來加以選擇。將零出速度、線性段常值速度以及零末端速度代入和中，可以得到A、B點(diǎn)以及終點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置和速度如下：

27精選ppt顯然，不能大于總時(shí)間的一半，否則在整個(gè)過程中將沒有直線運(yùn)動(dòng)段而只有拋物線加速和拋物線減速段。由上式可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的最大速度。應(yīng)該說明，如果運(yùn)動(dòng)段的初始時(shí)間不是0而是，則可采用平移時(shí)間軸的辦法使初始時(shí)間為0。終點(diǎn)的拋物線段是對(duì)稱的，只是其加速度為負(fù)。因此可表示為：由上式可以求解過渡時(shí)間：進(jìn)而由上式可以解得過渡時(shí)間：28精選ppt29精選ppt例題：若已知某關(guān)節(jié)以速度=10度/秒在5秒內(nèi)從初始角運(yùn)動(dòng)到目的角。求解所需的過渡時(shí)間并繪制位置、速度和加速度曲線。解：代入相應(yīng)公式可得到曲線如下圖所示：30精選ppt31精選ppt§5.5直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃實(shí)際上，所有用于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的方法都可用于直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃。最根本的差別在于，直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃必須反復(fù)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來計(jì)算關(guān)節(jié)角，也就是說，對(duì)于關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，規(guī)劃函數(shù)生成的值就是關(guān)節(jié)值，而直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃函數(shù)生成的值是機(jī)器人末端手的位姿，他們需要通過求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程化為關(guān)節(jié)量。32精選ppt以上過程可以簡(jiǎn)化為如下的計(jì)算循環(huán)：在工業(yè)應(yīng)用中，最實(shí)用的軌跡是點(diǎn)到點(diǎn)之間的直線運(yùn)動(dòng)，但也經(jīng)常碰到多目標(biāo)點(diǎn)(例如有中間點(diǎn))間需要平滑過渡的情況。為實(shí)現(xiàn)一條直線軌跡，必須計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)位姿之間的變換，并將該變換劃分許多小段。起點(diǎn)構(gòu)型(1)將時(shí)間增加一個(gè)增量t=t+(2)利用所選擇的軌跡函數(shù)計(jì)算出手的位姿(3)利用機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出對(duì)應(yīng)手位姿的關(guān)節(jié)量(4)將關(guān)節(jié)信息送給控制器33精選ppt和終點(diǎn)構(gòu)型之間的總變換R可通過下面的方程進(jìn)行計(jì)算：至少有以下三種不同方法可用來將該總變換化為許多的小段變換。(1)希望在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間有平滑的線性變換，因此需要大量很小的分段，從而產(chǎn)生了大量的微分運(yùn)動(dòng)。利用上一章導(dǎo)出的微分運(yùn)動(dòng)方程，可將末端手坐標(biāo)系在每個(gè)新段的位姿與微分運(yùn)動(dòng)、雅可比矩陣及關(guān)節(jié)速度通過下列方程聯(lián)系在一起。34精選ppt這一方法需要進(jìn)行大量的計(jì)算，并且僅當(dāng)雅可比矩陣逆存在時(shí)才有效。(2)在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的變換分解為一個(gè)平移和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)。平移是將坐標(biāo)原點(diǎn)從起點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)，第一個(gè)旋轉(zhuǎn)是將末端手坐標(biāo)系與期望姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)，而第二個(gè)旋轉(zhuǎn)是手坐標(biāo)系繞其自身周轉(zhuǎn)到最終的姿態(tài)。所有這3個(gè)變換同時(shí)進(jìn)行。35精選ppt(3)在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的變換R分解為一個(gè)平移和一個(gè)K軸的旋轉(zhuǎn)。平移仍是將坐標(biāo)原點(diǎn)從起點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)，而旋轉(zhuǎn)則是將手臂坐標(biāo)系與最終的期望姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)。兩個(gè)變換同時(shí)進(jìn)行。36精選ppt例5.6一個(gè)兩自由度平面機(jī)器人要求從起點(diǎn)(3,10)沿直線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)(8,14)。假設(shè)路徑分為10段，求出機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量。每一根連桿的長(zhǎng)度為9英寸。解：直角坐標(biāo)空間中起點(diǎn)和終點(diǎn)間的直線可描述為：中間點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過將起點(diǎn)和終點(diǎn)的x,y坐標(biāo)之差簡(jiǎn)單地加以分割得到，然后通過求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到對(duì)應(yīng)每個(gè)中間點(diǎn)的兩個(gè)關(guān)節(jié)角?；蛘?7精選ppt#XY131018.810923.510.419104.03410.819.5100.444.511.220.295.85511.621.390.965.51222.585.77612.424.180.186.512.82674.29713.228.267.8107.513.630.860.71181433.952.838精選ppt39精選ppt例：一個(gè)3自由度機(jī)器人有兩根連桿，每根連桿長(zhǎng)9英寸。假設(shè)定義坐標(biāo)系使得當(dāng)所有關(guān)節(jié)角均為0時(shí)手臂處于垂直向上狀態(tài)。要求機(jī)器人沿直線從點(diǎn)（9，6，10）移動(dòng)到點(diǎn)（3，5，8）。求3各關(guān)節(jié)在每個(gè)中間點(diǎn)的角度值，并繪制出這些角度值。已知：40精選ppt機(jī)器人及其坐標(biāo)系41精選ppt解：在求解本題時(shí)，可將起點(diǎn)與終點(diǎn)之間10等分。通過求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程既可算得每個(gè)中間點(diǎn)的關(guān)節(jié)角。手坐標(biāo)系及關(guān)節(jié)角42精選ppt機(jī)器人的關(guān)節(jié)角曲線43精選ppt§5.6連續(xù)軌跡記錄有時(shí)機(jī)器人為了完成某些復(fù)雜的或軌跡難以用直線或其他高次多項(xiàng)式來描述的任務(wù)，可以首先示教機(jī)器人如何運(yùn)動(dòng)，同時(shí)記錄這些運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，然后回放所記錄的運(yùn)動(dòng)并執(zhí)行該運(yùn)動(dòng)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都必須不斷地采樣并記錄關(guān)節(jié)量，此后通過回放采樣數(shù)據(jù)并驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)來驅(qū)動(dòng)使機(jī)器人跟蹤所記錄的軌跡，從而完成所規(guī)劃的任務(wù)。——前面所講的示