2022年湖南省懷化市鄭家村鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022年湖南省懷化市鄭家村鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）對x∈R恒成立，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，則=（）A． B． C． D．1參考答案：B【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】先確定函數(shù)f（x）的周期為2，再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）對x∈R恒成立，∴f（x）的周期為2，（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴=f（﹣）=f（）∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，∴f（）=，故選：B．【點評】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性，屬于中檔題．2.已知四棱錐的俯視圖是邊長為2的正方形及其對角線（如下圖），主視圖與左視圖都是邊長為2的正三角形，則其全面積是(

)A.

B.

C.8

D.12參考答案：Ｄ3.一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(

)。A.

B.

C.

D.參考答案：C4.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D5.函數(shù)在區(qū)間上至少取得個最大值，則正整數(shù)的最小值是（

）(A)

（B）

(C)

(D)參考答案：6.已知是方程的兩個根，則下列結(jié)論恒成立的是（）

A．

B．C．

D．參考答案：B7.如圖，矩形ABCD中，點A的坐標(biāo)為(－3,0)，點B的坐標(biāo)為(1,0).直線BD的方程為，四邊形BDFE為正方形.若在五邊形ABEFD內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自三角形BCD（陰影部分）的概率為A. B. C. D.參考答案：D在中，令，得，即，則，所以，，由幾何概型概率公式，得在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一點，該點取自三角形(陰影部分)的概率.故選D.8.是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面,則該球的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.正項等比數(shù)列中，存在兩項使得，且，則的最小值是(

)A． B．2 C． D．參考答案：A10.在下列結(jié)論中，正確的是

(

)①為真是為真的充分不必要條件；②為假是為真的充分不必要條件；③為真是為假的必要不充分條件；④為真是為假的必要不充分條件(A).①②

(B).①③

(C).②④

（D）.③④參考答案：B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的最小值為_____.參考答案：8【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12∵f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

∵f′（0）=4，∴f′（0）=ab=4，∴a2+2b2≥2=8，當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2，即a=b時取等號，【思路點撥】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到ab=4，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．12.3位邏輯學(xué)家分配10枚金幣，因為都對自己的邏輯能力很自信，決定按以下方案分配：(1)抽簽確定各人序號：1，2，3；(2)1號提出分配方案，然后其余各人進(jìn)行表決，如果方案得到不少于半數(shù)的人同意（提出方案的人默認(rèn)同意自己方案），就按照他的方案進(jìn)行分配，否則1好只得到2枚金幣，然后退出分配與表決；(3)再由2號提出方案，剩余各人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)不少于半數(shù)的人同意時(提出方案的人默認(rèn)同意自己方案），才會按照他的提案進(jìn)行分配，否則也將得到2枚金幣，然后退出分配與表決；(4)最后剩的金幣都給3號.每一位邏輯學(xué)家都能夠進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理，并能很理智的判斷自身的得失，1號為得到最多的金幣，提出的分配方案中1號、2號、3號所得金幣的數(shù)量分別為

．參考答案：9,0,113.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有問題：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問：

日相逢？參考答案：9由題意可知：良馬與駑馬第天跑的路程都是等差數(shù)列，設(shè)路程為，由題意有：，故：，滿足題意時，數(shù)列的前n項和為，由等差數(shù)列前n項和公式可得：，解得：.即二馬相逢，需9日相逢

14.已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍為

．參考答案：a＜﹣3或a＞6【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可知導(dǎo)數(shù)為0的方程有兩個不相等的實數(shù)根，通過△＞0，即可求出a的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函數(shù)f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因為函數(shù)有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，即3x2+2ax+（a+6）=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6故答案為：a＜﹣3或a＞615.已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）＝﹣f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝x，則方程f（x）＝在（0，+∞）解的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B是周期為4的函數(shù)。因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=﹣f（x），所以，所以函數(shù)的對稱軸為。，由圖可知，方程有四個解。故選B。

16.已知中，角A,B,C所對的邊分別為，若，則角C=__________．參考答案：

17.函數(shù)f（x）＝的定義域為＿＿＿＿（用區(qū)間表示）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點．（1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大?。畢⒖即鸢福航夥ㄒ唬海?）作交于點，則為的中點．連結(jié)，又，故為平行四邊形．，又平面平面．所以平面．

--------4分（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形．取中點，連結(jié)，則．又平面，所以，而，所以面．

--------8分取中點，連結(jié)，則．連結(jié)，則．故為二面角的平面角

--------10分 ．所以二面角的大小為．

--------12分解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．取的中點，則．平面平面，所以平面．--------4分（2）不妨設(shè)，則．中點又，，所以向量和的夾角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小為．（其他方法酌情給分）19.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個正數(shù)…，使得成立？請證明你的結(jié)論.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，，，，所以切線的斜率為.…………2分

又，所以切點為.

故所求的切線方程為：即.………………4分（Ⅱ），，.………6分令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故為函數(shù)的唯一極大值點，所以的最大值為=.8分由題意有，解得.所以的取值范圍為.……10分（Ⅲ）當(dāng)時，.

記，其中.∵當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù).…………12分又，所以，對任意的，總有.所以，又因為，所以.故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數(shù)….…………14分20.已知函數(shù)f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）當(dāng)m=﹣1時，求f（x）的極大值；（2）若在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)時，若曲線C：y=f（x）在點x=1處的切線l與曲線C有且只有一個公共點，求m的值或取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】分類討論；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)m=﹣1時，求出函數(shù)的解析式，定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點，推出結(jié)果即可．（2）（法一），通過當(dāng)m≤0，當(dāng)m＞0時，求解實數(shù)m的取值范圍．（法二），問題成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞）），然后求解實數(shù)m的取值范圍．（3）求出切線方程，轉(zhuǎn)化mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．構(gòu)造函數(shù)g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），求出函數(shù)g（x）有零點x=1．通過求解導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)時，當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點．推出m的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)m=﹣1時，f（x）=mx2﹣x+lnx=﹣x2﹣x+lnx，其定義域（0，+∞）．又．∵，故由f′（x）=0，得．…∴當(dāng)時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)，f′（x）＜0，f（x）遞減．因此當(dāng)時，f（x）取得極大值；…（2）（法一），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．當(dāng)m≤0顯然成立；…當(dāng)m＞0時，由于函數(shù)y=2mx2﹣x+1的圖象的對稱軸，故須且只須△＞0，即1﹣8m＞0，故．…綜上所述得，故實數(shù)m的取值范圍為；…（若f'（x）≤0在（0，+∞）上有解，最后有檢驗也是可以的）（法二），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）能成立，即，設(shè)，問題成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞））…∵，∴故實數(shù)m的取值范圍為；…（3）因為f（1）=m，f′（1）=2m，故切線方程為y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，…從而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．設(shè)g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），則g（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，又g（1）=0，故函數(shù)g（x）有零點x=1．…則．當(dāng)時，g′（x）≥0，又g（x）不是常數(shù)函數(shù)，故g（x）在（0，+∞）上遞增．∴函數(shù)g（x）有且只有一個零點x=1，滿足題意；…當(dāng)時，由g′（x）=0，得，或x=1．且由g′（x）＞0，得0＜x＜1，或；由g′（x）＜0，得；故當(dāng)x在（0，+∞）上變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：（此表可省略）x（0，1）1g′（x）+0﹣0+g（x）遞增極大值遞減極小值遞增根據(jù)上表知．…又．∴，故在上，函數(shù)g（x）又有一個零點，不符；…綜上所述得．…【點評】本題考查函數(shù)的對數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值點以及單調(diào)性，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．21.(本題滿分14分)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1為a，前n項和為Sn．(Ⅰ)若S1，S2，S4成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)證明：n∈N*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不構(gòu)成等比數(shù)列．參考答案：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,同時考查反證法與推理論證能力。滿分14分。(Ⅰ)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na＋，S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比數(shù)列，因此＝S1S4，即得d(2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．(1)當(dāng)d＝0時，an＝a；(2)當(dāng)d＝2a時，an＝(2n－1)a．

…………6分(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對某個m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，

①(1)當(dāng)d＝0時，則a＝0，此時Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，與等比數(shù)列的定義矛盾；(2)當(dāng)d≠0時，要使數(shù)列{an}的首項a存在，必有①中的Δ≥0．然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．綜上所述，對任意正整數(shù)n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不構(gòu)成等比數(shù)列．

…………14分22.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在x=1處與直線相切.①求實數(shù)a，