第6章-電磁感應(yīng)課件

第六章電磁感應(yīng)

主要內(nèi)容電磁感應(yīng)定律，自感與互感，能量與力。1.電磁感應(yīng)定律2.自感與互感3.磁場的能量4.磁場力7/20/202311.電磁感應(yīng)定律

穿過閉合線圈中的磁通發(fā)生變化時，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

選擇一個磁通的正方向，磁通增量的正方向與之相同,并且電動勢的正方向與的正方向構(gòu)成右旋關(guān)系。感應(yīng)電動勢的實際方向與磁通增量的實際方向構(gòu)成左旋關(guān)系。數(shù)值的正負(fù)表示實際方向。與B方向的關(guān)聯(lián)閉合回路都處于電源內(nèi)部，電動勢的方向與電流方向相同，線圈中感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。i、+-大小方向7/20/20232閉合線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流意味著導(dǎo)線中存在電場推動電荷運動，這種電場稱為感應(yīng)電場(非靜電力)，以E表示。感應(yīng)電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動勢，即又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時，導(dǎo)線中產(chǎn)生感應(yīng)電場。它表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。

磁生電7/20/20233根據(jù)斯托克斯定理，由上式得由于該式對于任一回路面積S均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式稱為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點磁感應(yīng)強度的時間變化率負(fù)值等于該點時變電場強度的旋度。

磁感應(yīng)定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。7/20/202342.自感與互感由畢奧–沙伐定律知，位于線性媒質(zhì)中的單個回路電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與回路電流I成正比，所以穿過回路的磁通也與回路電流I成正比。與回路電流I交鏈的磁通稱為回路電流I的磁通鏈，以

表示，令與I

的比值為L，即式中L

稱為回路的電感，單位為H（亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。在線性媒質(zhì)中，單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，但與回路中電流無關(guān)。應(yīng)注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。

7/20/20235N匝密繞線圈的磁鏈

7/20/20236若交鏈N次，則磁通鏈增加N倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭?。例如對于N匝回路組成的環(huán)形線圈，由于穿過線圈的磁通與線圈中的電流I

交鏈N次，對于回路電流I相當(dāng)于磁通增加N倍，因此與回路電流I交鏈的磁通鏈為=N。所以，由N

匝回路組成的線圈的電感為若有兩個回路存在，如圖示。與回路電流I1交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯蓛刹糠执磐ㄐ纬傻模湟皇荌1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2在回路l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r17/20/20237同理，與回路電流I2交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯杀旧懋a(chǎn)生的磁通鏈22和電流I1在回路l2中產(chǎn)生的磁通鏈21共同形成的，即dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1若周圍媒質(zhì)是線性的，則比值，，及均為常數(shù)，令式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路l2對l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。7/20/20238將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21代入前式，得可以證明，在線性均勻媒質(zhì)中

因為可以導(dǎo)出任意兩個回路之間的互感公式為

考慮到，所以由上兩式可見，7/20/20239由此兩式還可見，若dl1與dl2處處保持垂直，則互感；若處處保持平行，則互感M值達到最大。因此，在電子電路中，如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。此外，應(yīng)注意互感可正可負(fù)，其值正負(fù)取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。實際上，由上面結(jié)果可以推知，若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負(fù)值。7/20/2023107/20/2023117/20/2023127/20/2023137/20/2023147/20/2023157/20/2023167/20/202317例1計算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍媒質(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流I1一致，則I1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為與線圈電流I2

交鏈的磁通鏈21為若線框電流如圖所示的順時針方向，則dS

與B1方向相同。那么7/20/202318求得互感M21為可見M21>0。這是因為當(dāng)導(dǎo)線的電流向上，線圈電流為順時針方向時，I2產(chǎn)生的磁通方向與互磁通方向相同，因此使電流的磁通鏈增加，M21為正。反之，若線圈電流為逆時針方向時，則B1與dS反向，M21為負(fù)。但在任何線性媒質(zhì)中，M21=M12。例2計算載有直流電流的同軸線單位長度內(nèi)的電感。解設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為b，外半徑為c，如圖示。bcaO7/20/202319在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路，內(nèi)邊寬度為a，外邊寬度為（c－b），如左下圖所示。bcrcbaOdrIIe現(xiàn)將同軸線中內(nèi)外導(dǎo)體中的電流合并到矩形回路中，內(nèi)導(dǎo)體中電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中電流歸并為矩形回路的外邊電流。

同軸線單位長度的電感定義為

式中I為同軸線中的電流，是單位長度內(nèi)與電流I交鏈的磁通鏈。由圖可見，與電流I交鏈的磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。但由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。aIO7/20/202320已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁感應(yīng)強度Bo為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長度內(nèi)的外磁通為該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。又知內(nèi)導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強度Bi

為這部分磁場形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內(nèi)磁通d為7/20/202321但是這部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中自內(nèi)導(dǎo)體軸線位置0至r之間部分電流I'交鏈，而不是與總電流I

交鏈，因此，對于總電流I來說，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應(yīng)為bcrcbaOdrIIe由此求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場對總電流I提供的磁通鏈i為aIO7/20/202322那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為（o+i），因此，同軸線的單位長度內(nèi)電感為式中第一項稱為外電感，第二項稱為內(nèi)電感。后面討論時變電磁場時，同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體可以當(dāng)作理想導(dǎo)電體，因而內(nèi)外導(dǎo)電體中不可能存在時變電磁場。因此，當(dāng)同軸線工作于時變電磁場時，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通皆可忽略，只須考慮內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通，同軸線單位長度內(nèi)的電感等于外電感，即7/20/202323作業(yè)：P165:2、387/20/2023243.磁場的能量

已知穿過閉合回路的磁通發(fā)生變化時，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，因而回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。此時，產(chǎn)生電流所需的能量是由外部磁場提供的。若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生的反電動勢，以維持電流達到一定數(shù)值，外源必須作功。若電流變化非常緩慢，可以不考慮輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。上述能量轉(zhuǎn)換說明了磁場可在回路中產(chǎn)生電流，而外源又可向磁場提供能量。由此可見，磁場具有能量。根據(jù)外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。7/20/202325設(shè)單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值。已知回路中產(chǎn)生的反電動勢等于回路磁通變化率的負(fù)值，即。因此，為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓U=-，即若時刻t

回路中的電流為i(t)，則此時刻回路中的瞬時功率為在dt時間內(nèi)外源作的功為

7/20/202326任一時刻單個回路的磁通鏈與回路電流的關(guān)系為，而單個回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此將此結(jié)果代入上式，同時考慮到在線性媒質(zhì)中，回路電感L與電流i無關(guān)，求得dt時間內(nèi)外源作的功為當(dāng)回路電流增至最終值I時，外源作的總功W

為這個總功在回路中建立的電流為I，而該電流在其周圍建立磁場。因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌龅哪芰俊?/20/202327若以Wm表示磁場能量，則電感為L，電流為I的回路具有的磁場能量為此式又可改寫為由此可見，若已知回路電流及其磁場能量，那么利用上式計算電感十分方便。考慮到回路電感，則電流為I的單個回路周圍的磁場能量又可表示為式中為與電流I

交鏈的磁通鏈。7/20/202328對N個回路，可令各個回路電流均以同一比例由零值緩慢地增加到最終值。根據(jù)能量守恒原理，最終的總能量應(yīng)與建立過程無關(guān)，因此這樣的假定是允許的。已知各回路磁通鏈與各個回路電流之間的關(guān)系是線性的，第j

個回路的磁通鏈j為因此，當(dāng)各回路電流以同一比例增長時，各回路磁通鏈也以同一比例增加。設(shè)第j個回路在某一時刻t

的電流，式中Ij為電流最終值，

為比例系數(shù)，其范圍為。那么，在dt

時間內(nèi)，外源在

N

個回路中作的功為7/20/202329當(dāng)各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功W為由此求得具有最終值電流的N

個回路產(chǎn)生的磁場能量為即這樣，若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產(chǎn)生的磁場能量。

已知回路磁通可用矢量磁位A

表示為，因此第j個回路的磁通鏈也可用矢量磁位A

表示為7/20/202330那么，N個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為式中A

為周圍回路電流在第j個回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。若電流連續(xù)地分布在體積V

中，電流密度為J

，已知，則上式變?yōu)轶w積分，此時磁場能量可以表示為式中V

為體分布的電流密度J所占據(jù)的體積。若電流分布在表面S上，則產(chǎn)生的磁場能量為式中S

為面分布的電流密度所在的面積。7/20/202331磁場能量的分布密度已知，代入上式，得利用矢量恒等式，上式又可寫為式中V

為電流所在的區(qū)域。顯然，若將積分區(qū)域擴大到無限遠(yuǎn)處，上式仍然成立。令S為半徑無限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項的7/20/202332當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時，磁場強度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此位于無限遠(yuǎn)處的面積分

再考慮到，求得式中V

為磁場所占據(jù)的整個空間。可見，上式中的被積函數(shù)即是磁場能量的分布密度。若以小寫字母wm

表示磁場能量密度，則已知各向同性的線性媒質(zhì)，，因此磁場能量密度又可表示為可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量也不符合疊加原理。7/20/202333例計算同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。設(shè)同軸線中通過的恒定電流為I

，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。解已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度為

7/20/202334因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場強度H0為所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應(yīng)為，此結(jié)果與前式完全相同。已知，可見，通過磁場能量也可計算電感。7/20/2023354.磁場力

首先，討論兩個任意形狀的電流回路之間的作用力。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知磁場對于電流元Idl的作用力，那么，由回路電流I1產(chǎn)生的磁場B1對于電流元I2dl的作用力dF21為又知電流I1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1為因此，B1對于整個回路l2的作用力F21為7/20/202336同理可以求出回路電流I2產(chǎn)生的磁場B2對于整個回路l1的作用力F12為上述兩式稱為安培定律。7/20/202337根據(jù)牛頓定律得知，應(yīng)該。這個結(jié)論也可直接由上式獲得證明。已知回路電流分布，利用上述安培定律可以計算回路之間的磁場力。但是如果回路形狀復(fù)雜，上述積分計算是很困難的，甚至無法求得嚴(yán)格的解析表達式。為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關(guān)系可以獲得計算磁場力的簡便方式。下面直接利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計算磁場力的一般公式。7/20/202338

設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場廣義力F的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為dWm。那么，兩個回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即下面分為兩種情況：

第一，若電流I1和I2不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則那么，當(dāng)兩個回路的磁通鏈發(fā)生變化時，外源作的功分別為

7/20/202339由此可見，兩個回路中的外源作的總功dW為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F

為即第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不會產(chǎn)生新的電動勢，因而外源作的功為零，即那么，求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為7/20/202340注意，已規(guī)定廣義力的方向為廣義坐標(biāo)的增加方向。因此，如果按照上述公式求得的廣義力數(shù)值為負(fù)，則表明廣義力的實際方向為廣義坐標(biāo)的減小方向。磁場力的應(yīng)用比電場力更為廣泛，而且力量更強。例如，電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車等，都是利用磁場力的作用。例1計算無限長的載流導(dǎo)線與矩形電流環(huán)之間的作用力。電流環(huán)的尺寸及位置如圖示。abD0I1I2解利用虛位移方法，且