計(jì)算機(jī)圖形學(xué)二維圖形變換

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課件二維圖形變換第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。內(nèi)容：幾何變換；視圖變換；投影變換。作用：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。圖形變換第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形變換的基本原理是：（1）圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變；（2）圖形的幾何關(guān)系可以改變。所謂圖形拓?fù)潢P(guān)系不變是指圖形的連邊規(guī)則不變，即原來是相鄰的點(diǎn)變換后依然相鄰，原來不相交的線變換后依然不相交。第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂圖形的幾何關(guān)系可以改變是指圖形的點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置和距離可以改變。例如：AA1BB1CC1D1DAA1BB1CC1DD1第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形變換

圖形變換：對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；變動后該圖形在新的坐標(biāo)系下具有新的坐標(biāo)值。2.圖形改變，坐標(biāo)系不變，變動后的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化。第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形變換大多數(shù)幾何變換（如平移、旋轉(zhuǎn)和變比）是保持拓?fù)洳蛔兊?，不改變圖形的連接關(guān)系和平行關(guān)系對于線框圖形，通常是以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的一系列頂點(diǎn)作幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)序列即可產(chǎn)生新的變換后的圖形。對于用參數(shù)方程描述的圖形，可以通過參數(shù)方程幾何變換，實(shí)現(xiàn)對圖形的變換（基于效率的考慮）。第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的含義矩陣：由m×n個數(shù)按一定位置排列的一個整體，簡稱m×n矩陣。A=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣運(yùn)算加法設(shè)A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2二維圖形幾何變換5.2.1二維圖形幾何變換的原理二維圖形由點(diǎn)或直線段組成直線段可由其端點(diǎn)坐標(biāo)定義二維圖形的幾何變換：對點(diǎn)或?qū)χ本€段端點(diǎn)的變換第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.平移變換（translation）平行于x軸的方向上的移動量平行于y軸的方向上的移動量

5.2.2幾種典型的二維圖形幾何變換xy平移變換（5-7）（5-8）第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月平行于x軸的方向上的縮放量平行于y軸的方向上的縮放量2.比例變換（scale）指相對于原點(diǎn)的比例變換

yx相對于原點(diǎn)的比例變換相對于重心的比例變換yx重心（5-10）（5-9）第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月比例變換的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似當(dāng)時(shí)，圖形將放大當(dāng)時(shí)，圖形將縮小當(dāng)時(shí)，圖形將發(fā)生畸變第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3.旋轉(zhuǎn)變換（rotation）點(diǎn)P繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ角（設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较颍?-11）yx旋轉(zhuǎn)變換第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（5-12）將式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）（5-14）3.旋轉(zhuǎn)變換（rotation）第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.3齊次坐標(biāo)（homogeneouscoordinates）技術(shù)

1.齊次坐標(biāo)技術(shù)的引入平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級聯(lián)在一起。

2.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)3.齊次坐標(biāo)技術(shù)的基本思想

把一個n維空間中的幾何問題轉(zhuǎn)換到n+1維空間中解決第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示不是唯一的

有n個分量的向量有n+1個分量的向量啞元或標(biāo)量因子規(guī)格化的齊次坐標(biāo)第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.基本幾何變換的齊次坐標(biāo)表示

平移變換

第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月比例變換第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)變換：6.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)區(qū)域的齊次坐標(biāo)表示

時(shí)，齊次坐標(biāo)表示一個n維的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)逆時(shí)針為正

第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.3常用的二維幾何變換

1.對稱變換（symmetry）（反射變換或鏡像變換）（1）相對于y軸對稱oyx對稱變換（1）yxo對稱變換（2）（2）相對于x軸對稱第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）相對于原點(diǎn)對稱（即中心對稱）（4）相對于直線y=x對稱oxy對稱變換（3）xyoy=x對稱變換（4）第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）相對于直線y=-x對稱xyoy=-x對稱變換（5）第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月錯切變換（shear）

錯切變換是將坐標(biāo)點(diǎn)沿x和y軸發(fā)生不等量的變換，得到點(diǎn)的過程。（a）正方形（b）沿+x方向錯切（c）沿-x方向錯切第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月錯切變換（1）沿x軸方向關(guān)于y軸錯切將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成θ角的傾斜線，而保持y坐標(biāo)不變?！鱴錯切變換（1）yx第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（d）沿+y方向錯切（e）沿-y方向錯切（f）沿+x和+y方向錯切第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）沿y軸方向關(guān)于x軸錯切將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成Ψ角的傾斜線，而保持x坐標(biāo)不變。x錯切變換（2）y△y第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月沿x，y方向的錯切變換的坐標(biāo)表示為：

相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：?第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月沿x，y兩個方向的二維錯切變換矩陣為：

其中c、b為錯切參數(shù)。

第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進(jìn)行錯切變換。令b＝0可以得到沿x方向的錯切變換，c>0是沿x正向的錯切變換，c<0是沿x負(fù)向的錯切變換.令c＝0可以得到沿y方向的錯切變換，b>0是沿y正向的錯切變換，b<0是沿y負(fù)向的錯切變換.

在前面的變換中，子矩陣

第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

上面討論的五種變換給出的都是點(diǎn)變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實(shí)際上都可以通過點(diǎn)變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行變換，連接新頂點(diǎn)得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點(diǎn)進(jìn)行變換，連接新頂點(diǎn)得到變換后的新多邊形來實(shí)現(xiàn)。曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點(diǎn)并重新畫線來完成。符合下面形式的坐標(biāo)變換稱為二維仿射變換（AffineTransformation）。第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月變換后的坐標(biāo)x’和y’都是變換前的坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關(guān)系和長度之比不改變。第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合變換（組合變換）

復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。

第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復(fù)合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中，T為復(fù)合變換矩陣，為單次基本幾何變換矩陣。第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月合變換中矩陣相乘的順序不可交換。通常先計(jì)算出值得注意是：進(jìn)行復(fù)合變換時(shí)，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常再計(jì)算第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：復(fù)合平移求點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*,y*）第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：復(fù)合平移解：設(shè)點(diǎn)P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x

y1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：多種復(fù)合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.相對于任意點(diǎn)（x0,y0）的比例變換對任意點(diǎn)比例變換的步驟：（1）平移變換（2）相對于原點(diǎn)的比例變換（3）平移變換當(dāng)（x0,y0）為圖形重心的坐標(biāo)時(shí)，這種變換實(shí)現(xiàn)的是相對于重心的比例變換。5.3.3二維組合變換第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月令任意點(diǎn)比例變換示意圖平移平移比例則有第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.繞任意點(diǎn)（x0,y0）的旋轉(zhuǎn)變換繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的步驟：（1）平移變換（2）對圖形繞原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（3）平移變換θ(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)θOxy(x1,y1)(x4,y4)相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換示意圖平移平移旋轉(zhuǎn)令則有第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月前面已經(jīng)定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實(shí)際應(yīng)用中常會遇到參考點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的情況。相對于任一參考點(diǎn)的變換方法為首先將參考點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，對坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行二維基本幾何變換，然后再將參考點(diǎn)平移回原位置。例1一個由頂點(diǎn)P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點(diǎn)Q（10，25）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o，求變換后的三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)。第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月P1P2P3Q

圖5-6示例圖第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步Q點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-7所示。QP3P1P2圖5-7平移變換矩陣為：。第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步三角形相對于坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，如圖5-8所示。P1P2P3Q

圖5-8旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：。第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月P1P2P3Q第三步參考點(diǎn)Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖5-9反平移第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖形變換后的頂點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣乘以變換矩陣。而所以第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣圖形變換后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）和P3（18.66，30）。第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.3相對于任意方向的二維幾何變換二維基本幾何變換是相對于坐標(biāo)軸進(jìn)行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實(shí)際應(yīng)用中常會遇到變換方向不與坐標(biāo)軸重合的情況。相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉(zhuǎn)變換，使變換方向與坐標(biāo)軸重合，然后對坐標(biāo)軸進(jìn)行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉(zhuǎn)變換，將任意方向還原回原來的位置。第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例2圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應(yīng)的變換矩陣。y=kx+b（0，b）

圖5-11原始圖形第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步將點(diǎn)（0，b）平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖5-12所示。圖5-12平移變換矩陣為：第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步將軸線y=kx繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角(β=arctank)，落于x軸上，如圖5-13所示。。變換矩陣為：圖5-13旋轉(zhuǎn)第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。。變換矩陣為：圖5-14反射第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第四步將軸線y=kx逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角(β=arctank)，如圖5-15所示。變換矩陣為：圖5-15反旋轉(zhuǎn)第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-16反平移第五步將軸線平移回原來的位置，如圖5-16所示。。變換矩陣為：第62頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4二維圖形裁剪5.4.1圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系5.4.2窗口和視區(qū)及窗視變換5.4.3窗視變換矩陣第63頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.1圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系有用戶坐標(biāo)系、觀察坐標(biāo)系、設(shè)備坐標(biāo)系和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系等。1.用戶坐標(biāo)系（UserCoordinate，UC)

用戶定義原始圖形所采用的坐標(biāo)系稱為用戶坐標(biāo)系。用戶坐標(biāo)系通常根據(jù)應(yīng)用的需要可以選擇直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系等等。圖5-17所示為常用的二維和三維用戶直角坐標(biāo)系。

第64頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5-17二維和三維用戶坐標(biāo)系2.觀察坐標(biāo)系(ViewCoordinate，VC)

依據(jù)觀察窗口的方向和形狀在用戶坐標(biāo)系中定義的坐標(biāo)系稱為觀察坐標(biāo)系，觀察坐標(biāo)系用于指定圖形的哪一部分可以輸出范圍。

第65頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月5-18觀察坐標(biāo)系3.設(shè)備坐標(biāo)系(DeviceCoordinate，DC)顯示器等圖形輸出設(shè)備自身都有一個坐標(biāo)系稱為設(shè)備坐標(biāo)系，也稱為屏幕坐標(biāo)系。設(shè)備坐標(biāo)系是二維坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于屏幕左上角，x軸垂直向右，y軸垂直向下，基本單位為像素。

5-19設(shè)備坐標(biāo)系5-20規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系第66頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4.規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NormalizedDeviceCoordinate，NDC)

規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系是將設(shè)備坐標(biāo)系規(guī)格化到（0.0，0.0）到（1