有限元及工程軟件解讀課件

有限元及工程軟件解讀有限元及工程軟件解讀有限元及工程軟件解讀在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，對于許多力學(xué)問題和物理問題滿足的基本方程：常微分方程或偏微分方程定解條件解析解很難獲得簡化數(shù)值解法主要工具21在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，對于許多力學(xué)問題和物理問題滿足的基本方程：常微分方程或偏微分方程定解條件解析解很難獲得簡化數(shù)值解法主要工具2第一類以有限差分法為代表。直接求解基本方程和相應(yīng)定解條件的近似解。有限差分法的求解步驟：將求解域劃分為網(wǎng)格；在網(wǎng)格的結(jié)點上用差分方程代替微分方程。第二類建立和原問題基本方程及相應(yīng)定解條件相等效的積分提法，然后建立近似解法。包括：配點法，最小二乘法，Galerkin法，力矩法等。里茲法屬于這一類近似方法。有限單元法是基于變分原理的里茲法的另一種形式3有限元方法是工程領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)值計算方法，它不但可以解決工程中的結(jié)構(gòu)分析問題，而且已成功地解決了傳熱學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)和聲學(xué)等領(lǐng)域的問題。

將有限元理論、計算機圖形學(xué)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，開發(fā)出了一批有效的通用和專用有限元軟件，它們以功能強大，用戶使用方便、技術(shù)結(jié)果可靠和效率高而逐漸形成了新的技術(shù)產(chǎn)品，使用這些軟件已成功地解決了大量的工程問題：機械、水工、土建、橋梁等。4一、有限元的基本思想有限元法是在連續(xù)體上直接進(jìn)行近似計算的一種數(shù)值方法。有限元的物理解釋：把一個連續(xù)體分割成許多小單元，單元之間在節(jié)點處以鉸鏈相連接，由單元組成的結(jié)構(gòu)近似代替原連續(xù)結(jié)構(gòu)。如果能合理求出各單元的彈性特性，也就可以求出這個組合結(jié)構(gòu)的彈性特性。這樣，結(jié)構(gòu)在一定的約束條件下，在給定的載荷作用下，就可以求解各節(jié)點的位移，進(jìn)而求解單元內(nèi)的應(yīng)力。5有限元的數(shù)學(xué)解釋：把求解區(qū)域分解成許多子域，子域內(nèi)的位移可用各頂點的位移插值來表示。按原問題的控制方程和約束條件，可以解出各節(jié)點的待定位移，推廣到其他連續(xù)域問題，節(jié)點的未知量也可以是壓力、溫度、速度等物理量。二、有限元的發(fā)展概況1943年Courant第一次嘗試應(yīng)用定義三角形區(qū)域的分片連續(xù)函數(shù)和最小勢能原理求解圣維南扭轉(zhuǎn)問題。61956年Turner、Clough等人在分析飛機結(jié)構(gòu)時將剛架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)問題：他們第一次給出了應(yīng)用三角形單元求平面應(yīng)力問題的正確解答，他們的研究打開了利用計算機求解復(fù)雜問題的新局面。1960年Clough將這種方法命名為有限元法。1963－1964年，Besseling、Melosh和Jones等人證明了有限元法是基于變分原理的里茲（Ritz）法的另一種形式，從而使里茲分析的所有理論適用于有限元法。利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別：有限元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域上規(guī)定的，而是在單元上規(guī)定的，而且事先不要求滿足任何邊界條件，因此可以處理任何復(fù)雜問題。720世紀(jì)60－70年代，數(shù)學(xué)工作者對有限元的誤差、解的收斂性和穩(wěn)定性等方面做了著有成效的工作。彈性力學(xué)的平面問題有限元法的應(yīng)用空間問題、板殼問題靜力平衡問題穩(wěn)定問題、動力問題和波動問題分析對象彈性材料塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料8研究領(lǐng)域固體力學(xué)流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)工程分析分析校核優(yōu)化設(shè)計9三、有限元分類1、線彈性有限元法線彈性有限元法以理想彈性體為研究對象，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上，在這類問題中，材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系為線性關(guān)系，滿足胡克定律；應(yīng)變和位移也是線性關(guān)系。線彈性有限元法歸結(jié)為求解線性方程組問題。線彈性靜力分析和線彈性動力分析線彈性有限元102、非線性有限元法線彈性有限元問題和非線性有限元問題的區(qū)別：非線性問題的方程是非線性的，需要迭代求解。非線性問題不能采用疊加原理。非線性問題不總有一致解，有時甚至沒解。非線性有限元問題包括：材料非線性問題；幾何非線性問題；非線性邊界（接觸問題）。11材料非線性問題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性關(guān)系，但應(yīng)變和位移卻很微小，應(yīng)變和位移呈線性關(guān)系。工程實際中的材料非線性問題主要包括：非線性彈性、彈塑性、粘塑性及蠕變等。幾何非線性問題幾何非線性是由于位移之間出現(xiàn)非線性關(guān)系引起的。應(yīng)變和位移之間是非線性的。這類問題包括：大位移大應(yīng)變（橡膠）和大位移小應(yīng)變（彈性屈曲）。非線性邊界（接觸問題）12四、有限元的分析過程1、有限元的分析過程前處理、分析和后處理。前處理：將實際的連續(xù)體經(jīng)離散后建立有限元分析模型。包括：構(gòu)造計算對象的幾何模型，劃分有限元網(wǎng)格，生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)。分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等。有限元分析方法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。13有限元位移法：選節(jié)點位移作為基本未知量。有限元力法：選節(jié)點力作為基本未知量。有限元混合法：基本未知量的部分為節(jié)點位移，部分為節(jié)點力。除板殼問題采用一定量的混合法外，全部采用有限元位移法。后處理：對計算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示。14五、有限元解的性質(zhì)和收斂性1、有限元解的收斂性有限單元法是里茲法的一種特殊形式，不同是有限單元法的試探函數(shù)定義于單元（子域）。里茲法要求試探函數(shù)具有完全性和連續(xù)性。在有限單元法中，場函數(shù)的總體泛函是由單元泛函集成的。如果采用完全多項式作為單元的插值函數(shù)（試探函數(shù)），則有限元解在一個有限尺寸的單元內(nèi)可以精確地和真正解一致。但由于有限元的試探函數(shù)只能取有限項，因此只能得到近似解。有必要研究在什么條件下，當(dāng)單元尺寸趨近零時，有限元解趨近真正解。15以待求的標(biāo)量場函數(shù)為例，微分方程為相應(yīng)的泛函是假定泛函中包含和它的直至m階的各階導(dǎo)數(shù)，若m階導(dǎo)數(shù)非零，若取p次完全多項式為試探函數(shù)，則必須滿足以保證試探函數(shù)及其m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式都包含有常數(shù)項，當(dāng)單元尺寸趨于零時在每一單元內(nèi)的試探函數(shù)及其直至m階導(dǎo)數(shù)都趨于精確解。16收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場函數(shù)的試探函數(shù)至少是m階完全多項式，或者說試探函數(shù)必須包括本身和直至m階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項。單元的試探函數(shù)滿足上述要求，稱單元是完備的。準(zhǔn)則2：協(xié)調(diào)性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高導(dǎo)數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應(yīng)有連續(xù)函數(shù)直至m－1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。單元的插值函數(shù)滿足上述要求，稱單元是協(xié)調(diào)的。172、選擇位移函數(shù)的一般原則有限元的分析過程依賴于假定的單元位移函數(shù)或位移模式。假定的位移場應(yīng)盡量逼近彈性體的真實位移形態(tài)。單元的位移函數(shù)一般采用包含若干待定參數(shù)的多項式，稱為位移多項式。有限項多項式選取的原則：待定參數(shù)是由節(jié)點場變量確定的，因此待定參數(shù)的個數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)一致。18對于應(yīng)變由位移的一階導(dǎo)數(shù)確定的場問題，選取多項式時，常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項必須具備。位移函數(shù)中常數(shù)項和坐標(biāo)的一次項分別反映了單元剛體位移和常應(yīng)變。對于應(yīng)變由位移的二階導(dǎo)數(shù)確定的問題，常數(shù)項、一次項和二次項必須具備。多項式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量取完整性階數(shù)高的多項式以提高單元精度（稱為單元的完備性）。若由于項數(shù)限制不能選取完整多項式，選取的多項式應(yīng)盡可能具有坐標(biāo)的對稱性（稱為幾何不變性）。19單元內(nèi)位移函數(shù)必須連續(xù)。多項式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保障。在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項。每個單元的應(yīng)變狀態(tài)可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點位置的常應(yīng)變和由各點位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元的尺寸足夠小時，單元內(nèi)各點的應(yīng)變趨于相等，常應(yīng)變成為主要的應(yīng)變。在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項。單元內(nèi)任一點的位移包括形變位移和剛體位移。20完備性條件滿足完備性條件的單元――完備單元收斂的必要條件位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點處有相同位移，而且沿單元邊界也有相同位移，以保證不發(fā)生單元的相互脫離和侵入重疊。協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。在板殼的相鄰單元間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。協(xié)調(diào)性要求滿足協(xié)調(diào)性要求的單元稱為協(xié)調(diào)單元收斂的充要條件213、有限元位移解的下限性質(zhì)在用有限元位移法求解彈性力學(xué)問題時，要應(yīng)用到最小勢能原理。因此求得的位移近似解小于精確解。這種位移近似解稱為下限解。位移解的下限性質(zhì)可如下解釋：單元是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。假定單元位移函數(shù)后，自由度限制為只有以節(jié)點位移表示的有限自由度，使單元的剛度加大了，因此連續(xù)體的整體剛度加大了。22五、有限元通用軟件的介紹1、通用有限元軟件的共同之處功能強大。一般可進(jìn)行多種物理場分析，如結(jié)構(gòu)分析、溫度場分析、電磁場分析、流場分析、多場耦合分析等。具有豐富的材料庫?？梢蕴幚矶喾N材料，如金屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混凝土、復(fù)合材料等。23具有多種自動網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動進(jìn)行單元形態(tài)、求解精度檢查及修正。具有強大的后處理及圖象顯示功能。具有與多種CAD系統(tǒng)直接的接口。具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境。具有良好的培訓(xùn)和維護(hù)能力。技術(shù)成熟、已推向市場多年，版本不斷更新。242、著名的通用有限元軟件ANASYSADINAALGORMSC.NASTRANMSC.MARCABAQUS

25ABAQUS公司成立于1978年，總部位于美國羅德島州博塔市，是世界知名的高級有限元分析軟件公司，其主要業(yè)務(wù)為非線性有限元分析軟件ABAQUS的開發(fā)、維護(hù)及售后服務(wù)。ABAQUS軟件在技術(shù)、品質(zhì)以及可靠性等方面具有非常卓越的聲譽，對于工程中各種線性和非線性問題，無論簡單還是復(fù)雜，它都能夠提供完美的解決方案，并不斷吸取最新的分析理論和計算機技術(shù)，領(lǐng)導(dǎo)著全世界非線性有限元技術(shù)的發(fā)展。ABAQUS軟件現(xiàn)已被全球工業(yè)界廣泛接受，并擁有世界最大的非線性力學(xué)用戶群，是國際上最先進(jìn)的大型通用非線性有限元分析軟件。ABAQUS簡介26本課程的主要內(nèi)容和安排：講課內(nèi)容（36學(xué)時）桿系結(jié)構(gòu)平面問題的有限元法空間問題的有限元法空間軸對稱問題有限元法板殼問題有限元法結(jié)構(gòu)動力問題有限元法溫度場和熱應(yīng)力問題非線性有限元問題上機（18學(xué)時）大型有限元程序的應(yīng)用27第一章桿系結(jié)構(gòu)28第一節(jié)概述一維桿件：構(gòu)件一個方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個方向的幾何尺寸。一維桿件分為：梁和桿。梁：一維桿件受到任意力系的作用，既有作用于軸線方向的拉力和壓力，也有作用于垂直軸線的剪力和彎矩，這種桿件稱為梁，利用梁單元分析。桿：一維桿件只有軸力作用，稱為拉壓桿；一維桿件只作用扭矩，這種桿稱為軸。拉壓桿和軸統(tǒng)稱為桿，用桿單元分析。剛架一般采用梁單元分析，桁架一般采用桿單元分析。29第二節(jié)直梁一、節(jié)點位移和節(jié)點載荷則任意節(jié)點i處的位移以列陣變截面梁計算模型節(jié)點位移正負(fù)規(guī)定：f向上為正，逆轉(zhuǎn)為正30節(jié)點載荷正負(fù)規(guī)定：Z向上為正，M逆轉(zhuǎn)為正若梁受分布載荷作用，可近似為相當(dāng)載荷作用在相應(yīng)的節(jié)點上。31二、單元的彈性特性――單元的剛度矩陣分析每個單元上的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系。單元的節(jié)點位移節(jié)點力單元在節(jié)點處所受到的力剪力向上為正，彎矩逆轉(zhuǎn)為正32在彈性范圍內(nèi)，小變形情況下單元剛陣中各元素的物理意義：表示當(dāng)l號節(jié)點的位移分量為1，其他位移分量為零時，對應(yīng)m號節(jié)點力分量。表示單元發(fā)出某種單位節(jié)點位移時所對應(yīng)的節(jié)點力，反映出單元抵抗這種變形的能力。單元的剛度矩陣單元剛陣單元剛陣是對稱的方陣。33另一種表示方法――位移分量――節(jié)點力分量34單元剛陣的確定已知：e單元長為l，彈性模量為E，截面慣性矩為J，設(shè)則梁單元變形如圖所示由梁的變形公式35由平衡方程有36按節(jié)點來分組節(jié)點力可表示為節(jié)點位移表示為單元剛度矩陣為單元剛陣的子矩陣的物理意義：當(dāng)j節(jié)點取兩組單位位移，且其他節(jié)點位移皆為零時，對應(yīng)于i節(jié)點的兩組節(jié)點力。37三、單元的集合和剛度矩陣的疊加每一個單元都有38節(jié)點2所受外載荷節(jié)點2的節(jié)點力39同理對于梁的兩端，節(jié)點載荷就等于該節(jié)點的節(jié)點力40整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣在進(jìn)行矩陣疊加時，單元剛陣應(yīng)擴大為與總剛陣大小一致，例：梁劃分為m個單元41第三節(jié)平面剛架一、節(jié)點位移和節(jié)點載荷第i個節(jié)點的位移可表示為第i個節(jié)點的載荷列陣可表示為每個節(jié)點具有三個自由度，若有n個節(jié)點，自由度數(shù)為3n。42二、單元剛陣任意單元e，節(jié)點為i，j。在局部坐標(biāo)系內(nèi)單元的節(jié)點位移單元的節(jié)點力43在小變形條件下，直桿的軸向變形只與軸向力有關(guān)，彎曲變形與剪力和彎矩有關(guān)，可以分別建立軸向變形和彎曲變形的單元剛度陣。彎曲變形上標(biāo)b表示彎曲變形在彈性范圍內(nèi)，力與位移存在線性關(guān)系軸向變形44其中上標(biāo)s表示軸向變形同理45又4