上海松江區(qū)九亭中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

上海松江區(qū)九亭中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題“對任意的，都有”的否定為A.存在，使 B.對任意的，都有

C.存在,使

D.存在,使參考答案：C2.a是平面α外的一條直線，過a作平面β，使β∥α，這樣的平面β（）A．只能作一個 B．不存在C．至多可以作一個 D．至少可以作一個參考答案：C【考點】平面的基本性質(zhì)及推論；平面與平面平行的性質(zhì)．【分析】由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個【解答】解：當(dāng)a∥α?xí)r，過a作平面β，使得β∥α，由平面與平面平行的性質(zhì)得：這樣的平面β有且只有1個．a(chǎn)與α相交時，設(shè)平面為β，a與α交點為P，根據(jù)題意P∈β，P∈α，則α∩β=l且P∈l，這與α∥β矛盾，∴這樣的β不存在．綜上所述，過平面α外一條直線a與α平行的平面的個數(shù)為至多1個．故選：C．3.已知復(fù)數(shù)z=-1+i,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第（）象限。Ａ．一

Ｂ．二

Ｃ．三

Ｄ．四參考答案：C略4.橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率（

） A． B． C． D．參考答案：B略5.已知為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C把雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得，則，設(shè)，由雙曲線定義可得，所以，所以，所以，所以選C．

6.已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（

）A

B

C

D參考答案：C略7.設(shè)集合，．若，則實數(shù)必滿足（）．Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

參考答案：D略8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】求得，令，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即且，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.對于實數(shù)x，y，若，，則的最大值為（

）A．1

B.

2

C.

4

D.

5參考答案：D10.若a、b、c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2

C． D．a(chǎn)|c|＞b|c|參考答案：C【考點】不等關(guān)系與不等式．【分析】本選擇題利用取特殊值法解決，即取符合條件的特殊的a，b的值，可一一驗證A，B，D不成立，而由不等式的基本性質(zhì)知C成立，從而解決問題．【解答】解：對于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故錯；對于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故錯；對于D，取c=0，即知不成立，故錯；對于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性質(zhì)即知成立，故對；故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是

。參考答案：

解析：12.拋擲骰子2次，每次結(jié)果用表示，其中，分別表示第一次、第二次骰子的點數(shù)。若設(shè)，，則等于____參考答案：略13.在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，r為半徑的圓的方程為，類比圓的方程，請寫出在空間直角坐標(biāo)系中以點為球心，半徑為r的球的方程為

．參考答案：【分析】依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中圓的方程形式即可類比出空間直角坐標(biāo)系中球的方程．【詳解】利用類比推理,得空間直角坐標(biāo)系中,以點P(-1,1,3)為球心,r為半徑的球的方程為(x+1)2+(y-1)2+(z-3)2=r2.【點睛】本題主要考查了類比推理知識，對比方程的形式即可得到答案，屬于基礎(chǔ)題．14.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同，若圓柱M與球O的體積相等，則它們的表面積之比______.（用數(shù)值作答）參考答案：【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等，可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出圓柱和球的表面積后，即可得到S圓柱：S球的值．【詳解】∵設(shè)圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑均為R，M的高為h則球的表面積S球＝4πR2又∵圓柱M與球O的體積相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h則S圓柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圓柱：S球，故答案為：.【點睛】本題考查的知識點是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中根據(jù)已知求出圓柱的高，是解答本題的關(guān)鍵．15.將曲線C按伸縮變換公式變換得曲線方程為,則曲線C的方程為__________________。參考答案：16.在三角形ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的長分別為a，b，c，若a=2，B=，c=2，則b=

參考答案：217.已知實數(shù)條件，則的最大值是______參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=（Ⅰ）求△ACD的面積；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的長．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由題意和二倍角公式可得cosD，進(jìn)而可得sinD，代入面積公式S=?AD?CD?sinD，計算可得；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，進(jìn)而在△ABC中由正弦定理可得AB．【解答】解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos2B﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∵∠D∈（0，π），∴sinD==，∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面積S=?AD?CD?sinD=；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC===4在△ABC中，由正弦定理可得=，∴AB==．【點評】本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬中檔題．19.（本題12分）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．參考答案：（1）如圖所示，取AB中點E，連PE、CE．則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，所以PE⊥AB．PE=1，CE=，PC=2，即．Ks5u由勾股定理可得，PE⊥CE．又因為ABì平面ABCD，CEì平面ABCD，且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．Ks5u而PEì平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）（方法1）如圖1，在Rt△PEC中，過點E作EF⊥PC于點F，連AF．過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH．因為AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因為AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．由于AB∥平面PCD，所以A、E兩點到平面PCD的距離相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．（方法2）以AB中點E為坐標(biāo)原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．設(shè)是平面PAC的一個法向量，則，即．取，可得，．設(shè)是平面PCD的一個法向量，則，即．取，可得，．故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．20.如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上除A、B外的一點，DC⊥平面ABC，四邊形CBED為矩形，CD=1，AB=4．（1）求證：ED⊥平面ACD；（2）當(dāng)三棱錐E﹣ADC體積取最大值時，求此刻點C到平面ADE的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）先證明BC⊥平面ACD，再由BC∥ED，得出ED⊥平面ACD；（2）由V三棱錐C﹣ADE=V三棱錐E﹣ACD，利用基本不等式求出三棱錐C﹣ADE體積的最大值，再利用三棱錐的體積公式計算點C到平面ADE的距離．【解答】解：（1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又DC⊥平面ABC，BC?平面ACD，∴DC⊥BC，又AC∩DC=D，AC?平面ACD，DC?平面ACD，∴BC⊥平面ACD；又四邊形CBED為矩形，∴BC∥ED，∴ED⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱錐C﹣ADE=V三棱錐E﹣ACD=S△ACD?DE=??AC?CD?DE=?AC?BC≤?（AC2+BC2）=?AB2=×42=，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2時等號成立；∴當(dāng)AC=BC=2時，三棱錐C﹣ADE的體積最大，為；此時，AD==3，S△ADE=?AD?DE=3，設(shè)點C到平面ADE的距離為h，則V三棱錐C﹣ADE=S△ADE?h=；∴h=÷（×3）=．21.已知函數(shù)，()；.（Ⅰ）若在定義域上有極值，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，若對，總，使得，求實數(shù)的取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))（Ⅲ）對，證明：

參考答案：（Ⅰ）的定義域為，要在定義域內(nèi)有極值，則有兩不等正根，…(4分)（Ⅱ），要對，總，使得則只需，由得函數(shù)在，所以函數(shù)在處有最大值； ……(6分);又在，故故有

……(9分)（Ⅲ）當(dāng)時，，恒成立，故在定義域上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，即…………(12分)所以對，總有，故有22.隨著智能手機等電子產(chǎn)品的普及，“低頭族”正成為現(xiàn)代社會的一個流行詞．在路上、在餐廳里、在公交車上，隨處可見低頭玩手機的人，這種“低頭族現(xiàn)象”沖擊了人們面對面交流的溫情，也對人們的健康構(gòu)成一定的影響．為此，某報社發(fā)起一項專題調(diào)查，記者隨機采訪了M名市民，得到這M名市民每人在一天內(nèi)低頭玩手機的時間（單位：小時），根據(jù)此數(shù)據(jù)作出頻數(shù)的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[0，0.5）40.10[0.5，1）mp[1，1.5）10n[1.5，2）60.15[2，2.5）40.10[2.5，3）20.05合計M1（Ⅰ）求出表中的M，p及圖中a的值；（Ⅱ）試估計這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機的平均時間（同一組的數(shù)據(jù)用該組的中間值作代表）；（Ⅲ）在所取樣本中，從一天內(nèi)低頭玩手機的時間不少于2小時的市民中任取2人，求兩人在一天內(nèi)低頭玩手機的時間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）由頻率=，利用頻率分布表頻率分布直方圖能求出表中的M，p及圖中a的值．（Ⅱ）先求出，由此利用頻率分布直方圖能估計這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機的平均時間．（Ⅲ）所取樣本中，一天內(nèi)低頭玩手機的時間不少于2小時的市民共有6人，由此利用列舉法能求出兩人在一天內(nèi)低頭玩手機的時間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵分組[0，0.5）內(nèi)的頻數(shù)是4，頻率是0.10∴，得M=40…∵頻數(shù)之和為M=40∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14∴分組[0.5，1）內(nèi)的頻率…∵a是分組[0.5，1）內(nèi)頻率與組距的商，∴…（Ⅱ），設(shè)這40名市民一天內(nèi)低頭玩手機的平均時間為x，則x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（Ⅲ）所取樣本中，一天內(nèi)低頭玩手機的時間不少于2小時的市民共有6人…設(shè)一天內(nèi)低頭玩手機的時間在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的人為a1，a2，a3，a4，在區(qū)間[2.5，3）內(nèi)的人為b1，b2，則任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1