第十章-動(dòng)量定理資料課件

實(shí)際上的問(wèn)題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問(wèn)題)非常困難。2、大量的問(wèn)題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，聯(lián)立求解它們即可。

從本章起,將要講述解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的其它方法,而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來(lái)的其它一些定理)。

它們以簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量——一種是同運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來(lái)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題非常方便簡(jiǎn)捷。

本章中研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，建立了動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一重要形式——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。2動(dòng)量定理3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第十章動(dòng)量定理1動(dòng)量與沖量

一、動(dòng)量

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。

是瞬時(shí)矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。

動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量?。淮核俣刃?，質(zhì)量大。

§10-1動(dòng)量與沖量2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量寫(xiě)成分量形式為

式中，Px、Py、Pz分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量P在軸x、y、z軸上的投影。

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心(簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)心)C的矢徑為

即兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。上式可寫(xiě)成分量形式為

3.剛體系統(tǒng)的動(dòng)量：設(shè)第i個(gè)剛體 則整個(gè)系統(tǒng)：【例10-1】曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)OA=AB=l,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿,質(zhì)量各為m,滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)=45o時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。

解:曲柄OA：滑塊B：連桿AB：（P為速度瞬心，

）

下圖所示幾種運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量：

1、細(xì)長(zhǎng)桿的動(dòng)量為P=mlω/2，方向與vC

方向相同

2、在水平地面上作純滾動(dòng)的均質(zhì)滾輪的動(dòng)量為P=mrω，方向與vC方向相同

3、繞輪心轉(zhuǎn)動(dòng)的均質(zhì)輪，則不論輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有多大，也不論輪子的質(zhì)量多大，由于其質(zhì)心不動(dòng)，其動(dòng)量總是等于零。

例10－2已知：均質(zhì)圓盤(pán)在OA桿上純滾動(dòng)，m＝20kg，R＝100mm，

OA桿的角速度為，圓盤(pán)相對(duì)于OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

，。求：此時(shí)圓盤(pán)的動(dòng)量。

解：

已知:為常量,均質(zhì)桿OA

=AB

=,兩桿質(zhì)量皆為,滑塊

B質(zhì)量.求:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及系統(tǒng)動(dòng)量.例10-3解:設(shè)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為消去t得軌跡方程系統(tǒng)動(dòng)量沿x,y軸的投影為:系統(tǒng)動(dòng)量的大小為:2．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

元沖量：

沖量：1．力

是常矢量：二、沖量

力與其作用時(shí)間的乘積稱(chēng)為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。

3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動(dòng)量單位同．沖量的一些實(shí)例§10-2動(dòng)量定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理或即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量.在~內(nèi),速度由~,有即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量.－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理外力:,內(nèi)力:

內(nèi)力性質(zhì):質(zhì)點(diǎn):質(zhì)點(diǎn)系:或－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和;或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和.即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和.－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理微分形式的投影式－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理積分形式的投影式－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式3．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律若,=恒矢量若

,=恒量設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對(duì)大三角塊速度為，則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析，

[例10-4]

質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則

電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上,定子和外殼的質(zhì)量為,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為.定子和機(jī)殼質(zhì)心,轉(zhuǎn)子質(zhì)心,,角速度為常量.求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力.例10-5得解:由動(dòng)約束力附加動(dòng)約束力dt

內(nèi)流過(guò)截面的質(zhì)量及動(dòng)量變化為

流體在變截面彎管中流動(dòng),設(shè)流體不可壓縮,且是定常流動(dòng).求管壁的附加動(dòng)約束力.流體受外力如圖,由動(dòng)量定理,有例10-6解:

為靜約束力;

為附加動(dòng)約束力由于

得即

設(shè)

由作用與反作用定律，流體對(duì)管壁的附加動(dòng)壓力的大小等于此附加動(dòng)反力，但方向相反，即

管內(nèi)流體流動(dòng)時(shí)給予管壁的附加動(dòng)壓力,等于單位時(shí)間內(nèi)流入該管的動(dòng)量與流出該管的動(dòng)量之差。設(shè)計(jì)高速管道時(shí)，應(yīng)考慮附加動(dòng)壓力的影響。

如圖所示一水平的等截面直角形彎管。當(dāng)流體被迫改變流動(dòng)方向時(shí)，對(duì)管壁施加有附加的動(dòng)反力

設(shè)進(jìn)口截面的截面面積為S1，出口截面的截面面積為S2。進(jìn)口平均流速為v1，出口平均流速度v2，流體的密度為ρ。應(yīng)用上面分析的結(jié)論，可知流體對(duì)管壁施加附加的動(dòng)壓力，它的大小等于管壁對(duì)流體作用的附加動(dòng)反力，即

由此可見(jiàn)，當(dāng)流速很高或管子截面面積很大時(shí)，附加動(dòng)壓力很大，在管子的彎頭處要安裝支座。【例10-7】如圖所示均質(zhì)滑輪半徑分別為r1和r2，兩輪固連在一起并安裝在同一轉(zhuǎn)軸O上，兩輪共重為Q，兩重物的重量分別為P1、P2。已知M1向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a1，求滑輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的壓力。

解：以整體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。用動(dòng)量定理，可得而代入上式，可得

應(yīng)用動(dòng)量定理解題步驟大致如下：

(1)選取研究對(duì)象，分析研究對(duì)象上的外力(包括主動(dòng)力和約束反力)。

(2)如果外力主矢等于零或外力在某軸上的投影代數(shù)和等于零，則應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理求解。

(3)如果外力主矢不等于零，先計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影，然后應(yīng)用動(dòng)量定理求未知力(一般為約束反力)。計(jì)算動(dòng)量的速度必須是絕對(duì)速度，并要注意動(dòng)量和力在坐標(biāo)軸上的投影的正負(fù)號(hào)。

10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理問(wèn)題：內(nèi)力是否影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)？由得或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和.－－質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與動(dòng)力學(xué)基本方程有何不同？質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律在直角坐標(biāo)軸上的投影式為:在自然軸上的投影式為:若則常矢量

若則常量

若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng);若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x

軸的位置坐標(biāo)保持不變。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：

已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力(包括約束反力)。已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

均質(zhì)曲柄AB長(zhǎng)為r,質(zhì)量為m1,假設(shè)受力偶作用以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D,如圖所示.滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2,質(zhì)心在點(diǎn)C

.在活塞上作用一恒力F.不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量,求:作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx.

例10-8顯然,最大水平約束力為應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解得如圖所示解:求:電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng).

已知：地面水平,光滑,,,,初始靜止,常量.例10-9

設(shè)由,得解:【例10-10】如圖所示滑塊A質(zhì)量為m，可在水平光滑槽中運(yùn)動(dòng)，具有剛性系數(shù)為k

的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)，A端與滑塊A鉸接，B端裝有質(zhì)量為m1的小球，在鉛直平面內(nèi)可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在力矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω為常數(shù)，初始時(shí)，彈簧恰為原長(zhǎng)，求滑塊A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，建立水平向右的坐標(biāo)軸Ox，點(diǎn)O取在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)滑塊A質(zhì)心上，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

解此微分方程，并注意到初始條件t=0時(shí)，，故可得A的穩(wěn)態(tài)解的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為解：取人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。取坐標(biāo)軸如圖所示。設(shè)人在走動(dòng)前，人和船的質(zhì)心x坐標(biāo)分別為a和b。則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為【例10-11】如圖所示的小船，船長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，船上有質(zhì)量為m1的人。設(shè)初始時(shí)小船和人靜止，人站立在船的最左端，后來(lái)沿甲板向右行走，如不計(jì)水的阻力，求當(dāng)人走到船的最右端時(shí)，船向左移動(dòng)的距離為多少？由于在x軸上的坐標(biāo)保持不變，即解得當(dāng)人走到船的右端時(shí)，設(shè)船移動(dòng)的距離為s，則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。[例10-12]

浮動(dòng)起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10kN,長(zhǎng)l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN

。設(shè)開(kāi)始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60o,水的阻力不計(jì),求起重桿OA與鉛直位置成角2

=30o時(shí)船的位移。受力分析如圖示，，且初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo)XC保持不變。船的位移x１，桿的位移重物的位移計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明船的位移水平向左。應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解題的步驟如下：

(1)選取研究對(duì)象，分析受力(畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)系所受全部外力，包括主動(dòng)力和約束反力