二次函數(shù)壓軸題之構(gòu)造二倍角、半角

二次函數(shù)壓軸題之構(gòu)造二倍角、半角

構(gòu)造二倍角、半角構(gòu)造相等角的方法有很多種，其中包括構(gòu)造已知角的半角或二倍角。角可以單獨(dú)出現(xiàn)，也可以存在于某個(gè)幾何圖形中。因此，構(gòu)造半角、二倍角的方法也并不唯一。常用的方法如下：思路1：構(gòu)造半角三角函數(shù)?？梢允褂萌呛瘮?shù)來構(gòu)造半角。具體來說，可以使用以下公式：tan(α/2)=a/(b+a^2/b)構(gòu)造二倍角三角函數(shù)：可以使用勾股定理來求解二倍角三角函數(shù)值。思路2：等腰三角形外角。三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。構(gòu)造二倍角、半角的方法因角度的不同而不同，但是以上兩種方法是比較常用的。構(gòu)造拋物線題目描述：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-x^2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C。（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD=2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。解析：（1）拋物線：y=-x^2+x+2；（2）思路：轉(zhuǎn)化為等角本題中的∠BAC和∠ABD是內(nèi)錯(cuò)角，若是構(gòu)造∠ABD=∠BAC，作平行線即可。兩倍角亦可以作平行構(gòu)造出。過B作x軸的平行線，作BA關(guān)于平行線對稱的直線，與拋物線交點(diǎn)即為D點(diǎn)?？紤]到k(BA)=-1，故k(BD)=1/2，可得直線BD解析式為：y=(1/2)x+2，與拋物線聯(lián)立方程：-x^2+x+2=x+2，解得：x1=-1/2，x2=2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）。構(gòu)造拋物線的方法是通過已知點(diǎn)來確定其解析式。在本題中，已知拋物線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)A和B，因此可以通過聯(lián)立方程來求解其解析式。而對于點(diǎn)D的求解，則可以通過構(gòu)造等角來得到其坐標(biāo)。如圖，拋物線$y=x^2+bx+c$交$x$軸于$A、B$兩點(diǎn)，其中點(diǎn)$A$坐標(biāo)為$(1,0)$，與$y$軸交于點(diǎn)$C$$(0,-3)$．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，連接$AC$，點(diǎn)$P$在拋物線上，且滿足$\anglePAB=2\angleACO$。求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)。（1）解法：由已知，得到兩個(gè)方程：$$\begin{cases}y=x^2+bx+c\\y=0\end{cases}$$解得$x_{1,2}=-1,3$，則點(diǎn)$A$坐標(biāo)為$(1,0)$，點(diǎn)$B$坐標(biāo)為$(3,0)$。因?yàn)辄c(diǎn)$C$坐標(biāo)為$(0,-3)$，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為$y=x^2+2x-3$。（2）解法：由已知，得到$\tan\angleACO=\dfrac{1}{3}$，又因?yàn)?\anglePAB=2\angleACO$，所以$\tan\anglePAB=\tan2\angleACO=\dfrac{3}{4}$。又因?yàn)橹本€$AB$的斜率為$k_{AB}=-2$，所以直線$AB$的法線斜率$k_{AC}=\dfrac{1}{2}$。因?yàn)辄c(diǎn)$P$在拋物線上，所以直線$AP$的斜率為$k_{AP}=2x_P+2$，所以直線$AP$的法線斜率為$k_{ACO}=-\dfrac{1}{2x_P+2}$。根據(jù)相似三角形，有$\tan\anglePAB=\dfrac{3}{4}=\dfrac{k_{AP}-k_{AB}}{1+k_{AP}k_{AB}}$，即：$$\dfrac{3}{4}=\dfrac{2x_P+2+2}{1-(2x_P+2)\times(-2)}$$解得$x_P=\dfrac{9}{4}$。當(dāng)$k_{AP}=\dfrac{3}{4}$時(shí)，直線$AP$的解析式為$y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{15}{4}$，所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$\left(\dfrac{9}{4},-\dfrac{3}{4}\right)$。當(dāng)$k_{AP}=-\dfrac{3}{4}$時(shí)，直線$AP$的解析式為$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{63}{4}$，所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$\left(-\dfrac{39}{4},\dfrac{45}{4}\right)$。綜上所述，點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$\left(\dfrac{9}{4},-\dfrac{3}{4}\right)$或$\left(-\dfrac{39}{4},\dfrac{45}{4}\right)$。(1)拋物線的解析式為$y=-x^2+6x+c$。(2)過點(diǎn)$A$的直線與直線$BC$的交點(diǎn)為$M$，連接$AC$。當(dāng)直線$AM$與直線$BC$的夾角等于$\angleACB$的$2$倍時(shí)，求點(diǎn)$M$的坐標(biāo)。設(shè)$M$點(diǎn)坐標(biāo)為$(m,m-5)$，由$\triangleAMC$可得$MC^2=2m^2$，$AM^2=(m-1)^2+(m-5)^2$。當(dāng)$AM=CM$時(shí)，即$2m^2=(m-1)^2+(m-5)^2$，解得$m=\frac{13}{6}$。故點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(\frac{13}{6},\frac{11}{3})$。另外，過點(diǎn)$A$作$AH\perpBC$，交$BC$于$H$點(diǎn)，則點(diǎn)$M$關(guān)于$H$的對稱點(diǎn)$M'$也滿足條件。易求$H$點(diǎn)坐標(biāo)為$(3,-2)$，故點(diǎn)$M'$的坐標(biāo)為$(\frac{7}{6},-\frac{1}{3})$。綜上所述，點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$(\frac{13}{6},\frac{11}{3})$或$(\frac{7}{6},-\frac{1}{3})$。(8)二次函數(shù)$y=k(x-1)^2+2$的圖像與一次函數(shù)$y=kx-k+2$的圖像交于點(diǎn)$A$、$B$，點(diǎn)$B$在點(diǎn)$A$的右側(cè)，直線$AB$分別與$x$、$y$軸交于$C$、$D$兩點(diǎn)，其中$k<0$。求點(diǎn)$A$、$B$兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)。令$k(x-1)^2+2=kx-k+2$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。故點(diǎn)$A$的橫坐標(biāo)為$1$，點(diǎn)$B$的橫坐標(biāo)為$2$。二次函數(shù)圖像的對稱軸與$x$軸交于點(diǎn)$E$，求是否存在實(shí)數(shù)$k$，使得$\angleODC=2\angleBEC$。若存在，求出$k$的值；若不存在，說明理由?？紤]到$\tan\angleODC=-\frac{1}{k}$，故可延長$OD$至$M$點(diǎn)使得$DM=DC$，可得$\angleOMC=\frac{1}{2}\angleODC$。$\tan\angleBEC=\frac{k+2}{1}=\frac{k+2}{k-1}\tan\angleOMC=\frac{k^2+k+2}{k-1}$。若$\angleOMC=\angleBEC$，即$\frac{k^2+k+2}{k-1}=k+2$，解得$k=-1$。否則，$\angleOMC\neq\angleBEC$，不滿足條件。1.解方程得到k的值為-3或$-\frac{4}{7}$。2.給定拋物線的函數(shù)解析式為$y=-x^2+2x+3$。對于問題（2），首先考慮$\anglePBE=2\angleOBE$的情況。構(gòu)造$\anglePBO=\angleOBE$，可以得到$\anglePBE=2\angleOBE$。由于$k_{EB}=\frac{1}{2}$，因此直線PB的解析式為$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。聯(lián)立方程$-x^2+2x+3=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為$\left(\frac{17}{4},4\right)$。其次考慮$\anglePEB=2\angleOBE$的情況。構(gòu)造三垂直相似$\triangleBOE\sim\triangleEMF$，其中$\tan\angleEBF=\frac{4}{3}$，過點(diǎn)E作$EF\perpEB$交$BF$于$F$點(diǎn)，則$BF$與拋物線的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)。不難求得$F$點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(2,-\frac{11}{2}\right)$，因此直線$BF$的解析式為$y=\frac{113}{66}x-\frac{2}{3}$。聯(lián)立方程$-x^2+2x+3=\frac{113}{66}x-\frac{2}{3}$，解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{13}{2}$，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為$\left(-\frac{13}{2},-\frac{209}{4}\right)$。最后再考慮$\anglePEB=2\angleOBE$的情況。過點(diǎn)B作$BF\perpBE$交$PE$于$F$點(diǎn)，構(gòu)造三垂直相似$\triangleBME\sim\triangleFNB$。不難求得$F$點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,4)$，因此直線$EF$的解析式為$y=\frac{11}{2}x-\frac{3}{2}$。聯(lián)立方程$-x^2+2x+3=\frac{11}{2}x-\frac{3}{2}$，解得$x=3$，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為$(3,0)$。綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為$\left(\frac{17}{4},4\right)$和$(3,0)$。在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線$y=\frac{1}{x}-2$與$x$軸交于點(diǎn)$B$，與$y$軸交于點(diǎn)$C$，二次函數(shù)$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的圖像經(jīng)過$B$，$C$兩點(diǎn)，且與$x$軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)$A$，動(dòng)點(diǎn)$D$在直線$BC$下方的二次函數(shù)圖像上。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖，過點(diǎn)$D$作$DM\perpBC$于點(diǎn)$M$，是否存在點(diǎn)$D$，使得$\triangleCDM$中的某個(gè)角恰好等于$\angleABC$的$2$倍？若存在，直接寫出點(diǎn)$D$的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。分析：（1）由已知，直線$y=\frac{1}{x}-2$與$x$軸交于點(diǎn)$B(1,0)$，與$y$軸交于點(diǎn)$C(0,-2)$，因此二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)$B$，$C$，即可列出二次函數(shù)的表達(dá)式：$$y=\frac{1}{2}x^2-2x-2$$（2）根據(jù)題意，$D$點(diǎn)在直線$BC$下方的二次函數(shù)圖像上，因此可設(shè)$D$點(diǎn)坐標(biāo)為$(x,\frac{1}{2}x^2-2x-2)$，則直線$CD$的解析式為$y=-\frac{1}{2}x-2$。①若$\angleMCD=2\angleABC$，則$\tan\angleMCD=\tan2\angleABC=\frac{2\tan\angleABC}{1-\tan^2\angleABC}=\frac{4}{3}$。因此，過點(diǎn)$C$作$CN\parallelx$軸，作$CB$關(guān)于$CN$的對稱直線與拋物線交點(diǎn)即為$D$點(diǎn)。易知$CN$的解析式為$y=-2$，$CB$的解析式為$y=\frac{1}{x}$，聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},-2)$，因此$D$點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$。②若$\angleMDC=2\angleABC$，則$\tan\angleMCD=\tan2\angleABC=\frac{2\tan\angleABC}{1-\tan^2\angleABC}=\frac{3}{4}$。因此，過點(diǎn)$B$作$BE\perpBC$交$CD$的延長線于$E$點(diǎn)。易證：$\triangleEFB\sim\triangleBOC$，且相似比為$\frac{3}{4}$。因此，$BF=\frac{3}{2}$，$EF=3$。由于$C$點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,-2)$，$E$點(diǎn)縱坐標(biāo)為$-2-3=-5$，因此$F$點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{11}{2},0)$。因此，直線$CE$的解析式為$y=-