高數(shù)第10章-拉普拉斯變換課件

第九章拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉氏變換的概念拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏逆變換的求法拉氏變換第一節(jié)拉氏變換的概念重點(diǎn)：1.拉氏變換的定義2.簡單函數(shù)拉氏變換的求法難點(diǎn)：

拉氏變換的計(jì)算一拉普拉斯變換的定義拉氏變換通常用符號

表示，即若是

的拉氏變換，則稱是函數(shù)，拉氏變換是可逆的積分變換，稱的像是的像原函數(shù)，或逆變換。設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

,且當(dāng)時(shí)，，若積分對于在某一范圍內(nèi)的值收斂，則此積分就確定了一個(gè)參數(shù)的函數(shù)，記為，即，函數(shù)稱為的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。

說明：1.在很多實(shí)際問題中，以時(shí)間

為自變量的函數(shù)

，當(dāng)

時(shí)是無意義或者無需考慮的，故對本章中出現(xiàn)的任何函數(shù)，總假定當(dāng)時(shí)，且常常將

簡記為;;2.積分

中的

一般情況下為復(fù)數(shù)，但我們只討論是實(shí)數(shù)的情況。

3.函數(shù)的拉氏變換，當(dāng)且僅當(dāng)積分

時(shí)才存在，但一般說來，科技、生產(chǎn)中常用函數(shù)的拉氏變換總是存在的。說明：1.在很多實(shí)際問題中，以時(shí)間

例1:求函數(shù)

的拉氏變換。解：由公式，得函數(shù)

的拉氏變換為

所以，

例2：求函數(shù)

的拉氏變換（其中

為實(shí)數(shù)）。

解：由公式可得：,例3：求函數(shù)

的拉氏變換。

解：當(dāng)

時(shí)，兩次使用分布積分，得由此可得同理可算得余弦函數(shù)的拉氏變換二兩個(gè)重要函數(shù)1.單位階梯函數(shù)單位階梯函數(shù)

由例1知，它的拉氏變換的圖像如下頁左圖所示，，將的圖像向右平移個(gè)單位，即得設(shè)，則其圖像如下頁右圖所示。2.狄拉克函數(shù)定義：設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)序列的極限稱為狄拉克函數(shù)或單位脈沖函數(shù)，記為函數(shù)。由此可見，是這樣一個(gè)函數(shù)：的圖形如圖所示。顯然，對任何，有所以，我們規(guī)定有些工程書上將函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示（如圖），這個(gè)線段的長度表示函數(shù)的積分，稱為函數(shù)的強(qiáng)度。根據(jù)拉氏變換的定義，可以得到的拉氏變換

第二節(jié)拉氏變換的性質(zhì)重點(diǎn)：拉氏變換的性質(zhì)難點(diǎn)：拉氏變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)：若,,則對于任意常數(shù)和有例1：求雙曲正弦函數(shù)的拉氏變換。解：例2：求函數(shù)的拉氏變換。解：由于，所以2.平移性質(zhì)：若，則例3：求函數(shù)和的拉氏變換.解：由平移性質(zhì)及及可得:3.延滯性質(zhì)：若，則()例4求狄拉克函數(shù)的拉氏變換。解：由及可得：同理可得：4．微分性質(zhì)：若，且及直至

的拉氏變換都存在，則一般有特別的，如果則(),例5證明:證明：設(shè)，注意到及,由，有而即得所以，例6利用微分性質(zhì)求解：由,,故5.積分性質(zhì):,()，且連續(xù)，則性質(zhì)5表明，一個(gè)函數(shù)積分后取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以參數(shù).性質(zhì)5可以推廣到有限次積分的情形：()

例7查表求解：令，則由表中序號4得：或第三節(jié)拉氏逆變換的運(yùn)算重點(diǎn)：拉氏逆變換的求法難點(diǎn)：拉氏逆變換的求法一拉氏逆變換的定義：若存在，則稱為的拉氏變換，記為此時(shí)也稱為的拉氏逆變換，記為2.若，則(1)(2)(5)(4)(3)()例1求下列各像函數(shù)的拉氏逆變換(1)(3)(4)(2)解：（1）由性質(zhì)及表（序號11），得：（2）由性質(zhì)及表（序號2，3），得：（3）由性質(zhì)及表（序號4，5），得：（4）由性質(zhì)及表（序號13，14），得：例2求的拉氏逆變換。解：先將分解為兩個(gè)簡單分式之和，

其中為待定的常數(shù)，上式兩邊同乘以，得令，得，又令

，得。所以于是，例3求的拉氏逆變換。解：設(shè)（因分母有一個(gè)因式為二次式，所以它的分式要寫成一次式形式），由上式得比較兩邊的系數(shù)，得解方程組，得,,所以第四節(jié)拉氏變換的應(yīng)用

重點(diǎn)：１.用拉氏變換解微分方程

２.傳遞函數(shù)難點(diǎn)：１.用拉氏變換解微分方程

２.傳遞函數(shù)一解微分方程用拉氏變換解微分方程的一般步驟為：(1)對方程兩邊分別求拉氏變換；(2)解出未知函數(shù)的拉氏變換；(3)求出像函數(shù)的拉氏逆變換，解出未知函數(shù)。例1求解，已知,解：第一步對方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)因,故上式變?yōu)?第二步解出第三步求像函數(shù)的逆變換。例2求微分方程滿足初始條件：,的解。解：對方程兩邊求拉氏變換，并設(shè)，得將,代入，得解得再對上式取拉氏逆變換，得這就是所求微分方程的解。例3一個(gè)歐姆的電阻，亨利的電感和一個(gè)伏的電源連同開關(guān)串聯(lián)起來（如圖），在時(shí)開關(guān)閉合，此時(shí)電流。若（1），（2）（3），求時(shí)的電流解：根據(jù)基爾霍夫定律，有（1）令(1)若，對（1）取拉氏變換，并代入初始條件，得取逆變換，得到電流（2）若，則取逆變換，得到電流（3）若，則取逆變換，得到電流例4給定如圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中，若初始電流是零，求各個(gè)支路中電流的變化規(guī)律。解由基爾霍夫定律，得其中，,令,對方程組取拉氏變換，并代入初始條件,得二傳遞函數(shù)定義：一個(gè)具有零初始條件的線性系統(tǒng)（或部件、或基本環(huán)節(jié)、或網(wǎng)絡(luò)），它的輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，記為，即，或者系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)了該系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的拉氏變換就可求出輸出的拉氏變換。輸入無關(guān)，即如果一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則由輸入的一個(gè)系統(tǒng)如由多個(gè)基本環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是所有基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。整理，得

解方程組，得取逆變換，得到電流的變化規(guī)律,,.例5求如圖所示電路的傳遞函數(shù)，這里輸入是電壓,輸出是電壓,并求當(dāng)輸入電壓

時(shí)的輸出電壓。解：設(shè)電路的左網(wǎng)孔的電流為由回路電壓法，得，對此方程組取拉氏變換，得由（2）式，得。代入（1）得經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,