數學建模2022319長春

解決問題與模型化方法研究

吉林省教育學院何鳳波1目錄：引言：建模解析一、畫圖方法二、列表方法三、猜想與嘗試方法四、從特例入手尋找規(guī)律方法五、其他方法策略引言數學建模3數學建模的涵義數學模型（MathematicalModel）是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃。模型有別于一般的數學算式，也有別于通常的數學應用，模型是用來解決一類具有實際背景的問題的數學方法。（史寧中）4應用數學知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模（MathematicalModeling）。56模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。7建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數學問題；用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。8這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。9

小學數學中涉及到的數學模型主要有：公式模型、方程模型、集合模型、函數模型。公式：S=AB（長方形面積=長X寬）方程：A+X=B（原來有一些物體，增加3個是6個，求原數，3+X=6）

集合模型：五（1）班每人參加了一個或兩個課外小組，參加數學組的有10人，參加微機組的有20人，其中有5人同時參加這兩個小組，求五（1）班一共有多少人？模型：20+10-5=25（人）有交集情況的通用算式。A+B-AnB=C10函數模型：正比例：Y=KX（總價=單價X數量）11建模過程例：有10名選手進行乒乓球比賽，如果每2名選手之間都進行一場比賽，一共比賽多少場？12分析：10人比賽很復雜，可先從2人、3人比賽開始研究。13參加比賽人數示意圖各點之間連線數比賽場數21131+2=33（加了一個點）41+2+3=66（又加了一個點）……………………14有10名選手進行乒乓球比賽，比賽多少場？1+2+3+……+9=45（場）15建模過程現(xiàn)實問題檢驗實際問題的解數學問題的解現(xiàn)實模型數學模型16現(xiàn)實問題：如前面的比賽場次現(xiàn)實模型：2人1場3人2場4人3場17數學模型畫圖代數式

1+2=3……發(fā)現(xiàn)尋找規(guī)律求解1+2+3+……+9=4518比賽場次的數學模型：有N個人參加比賽，每2人比賽一場，比賽場次：S=1+2+3+4+……+（N-1）現(xiàn)代數學的建模過程是很復雜的，如天氣預報、臺風預報等。我們以上是簡單的例子，一般地說，小學數學中解決問題，多半是用了模型化方法。20解決問題不是單純地解題，而是包括提出問題，制定計劃、建立模型、尋找方法、實施方案、直到最后解決問題的一系列環(huán)節(jié)。加拿大教材提出了解決問題的10種方法策略。212223下面分別作以解釋：制訂解題計劃：在頭腦中或在紙上簡單想出或寫出解決問題的計劃，如先做什么，再做什么。猜想與嘗試：先猜一猜，再嘗試驗證。使用或尋找規(guī)律：根據題目中所給的信息，找出題目中隱含的規(guī)律并用之解題。24動手操作：利用學具等操作進行解題。列表：把題目中的信息和自己的分析、推算等呈現(xiàn)在表格里，從而找出問題答案。反推：從后往前想。25畫圖：通過畫示意圖、線段圖等分析和解決問題。推理：從已知的信息出發(fā)，運用用演繹的方式尋找結論。26簡化（從特例入手）：就是把復雜的問題簡單化，可以把陌生的問題轉化為熟悉的問題，也可以從特殊化入手解決問題。靈機一動（頭腦風暴）：就是憑借直覺想出問題的答案。27我們把具有普遍意義的方法稱之為策略。學生在解決問題時，總是有意無意地使用一定的策略。28我們的目的是通過教學，讓學生學習一些基本的解決問題策略，體驗解決問題策略的多樣性，并在此基礎上形成自己的策略。29我們主要對如下最常用的幾種建模策略進行討論。畫圖列表猜想與嘗試從特例入手尋找規(guī)律30一、畫圖簡單說就是用畫圖解決數學問題和策略。這種策略應當成為學生常用的方法，靈活運用畫圖策略，有助于提高解決問題能力。311、用畫圖表示數量關系例：第十屆動物車展中第一天的成交量是65輛，第二天的成交量比第一天增加了1/5，第二天的成交量是多少？第一天65輛

比第一天多1/5第二天65×1/5=13輛

65+13=78（輛）32也可以畫示意圖。第一天65輛

13輛

比第一天多1/5第二天

65+13=78（輛）模型：第一天成交量+增量=第二天成交量A+(B-A)=B33例子沙麗存款額是蒂拉的3倍，軍威存款額比沙麗少20元，如果3人共存645元，軍威存款額是多少？34沙麗蒂拉645元軍威20沙麗蒂拉665元軍威357個單位645+20=6651個單位665/7=953個單位95*3=285所以軍威存款額：285-20=26536設蒂拉存款額為X元。X+3X+3X-20=645（方程思想）X=95模型：A+B+C=總和372、用畫圖表示搭配問題2種主食：米飯、饅頭：3種副食：白菜、豆腐、芹菜一菜一飯可有多少種不同的搭配？

米飯、饅頭

白菜、豆腐、芹菜模型：元素有序組合（A1A2A3B1B2B3）3、數概念的圖形表示。個十百千394、數運算的圖示表示。1/2×1/3=1/6分數乘法模型：A/B×C/D=AC/BD405、運動狀態(tài)的圖形表示：星期天小芳早晨從家出發(fā)，到商場購物，之后返回家里。用圖示描述運動狀態(tài)。

離家的距離

時間

分段函數模型：Y=KX二、列表列表可以清晰明確地表示出題目信息，便于分析和推理。1、列表分析數量關系42例：米麗和瑪珂是馬戲團的小象。它們總在馬戲表演中擔任主角。

米麗4歲瑪珂13歲什么時候瑪珂的年齡是米麗的2倍？43像這樣的問題，如果用找數量關系進行抽象計算，難度會很大，但列表解決問題會很容易。模型：對應關系：（4+N）×2=13+N米麗456789瑪珂131415161718442、列表推理例：學校組織了足球、航模、和電腦興趣小組，淘氣、笑笑和小明各參加了一個小組。笑笑不喜歡踢足球，小明不是電腦小組的，淘氣喜歡航模。判斷他們各在哪個小組。45列表解決問題。足球航模電腦淘氣√笑笑×小明×46足球航模電腦淘氣×√×笑笑×小明×47足球航模電腦淘氣×√×笑笑×小明√×48足球航模電腦淘氣×√×笑笑×√小明√××49足球航模電腦淘氣×√×笑笑××√小明√××50隱含：每行每列只有一個√三、嘗試與猜測

根據題目給出的信息，先猜測結果，再進行調整。52馬戲團表演，許多只大象正列隊進場，大象的腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于十。請問馬戲團可能有幾只大象？53大象/個腳/只鼻子/只尾巴/條2822（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于4）54大象/個腳/只鼻子/只尾巴/條282241644（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于8）55大象/個腳/只鼻子/只尾巴/條28224164452055（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于10）56方程：4X-2X=10簡化------從特例入手1、有關對稱問題的簡化例：兩人輪流往一圓桌上平放一枚同樣大小的硬幣，誰放下最后一枚且使對方沒有位置再放，誰就獲勝。問題：怎么樣才能穩(wěn)操勝券？是先放者勝還是后放者勝？58思路：如果圓桌小到只能放下一枚硬幣，那么先放者勝。這是問題的特殊情況。這個特殊情況有什么指導意義？59對于一般的圓桌，我先放中心位置，根據圓桌的對稱性，就可以獲勝。6061626364其實，不管是圓桌還是方桌，也不管桌子和硬幣的大小。只要先放對稱的中心位置，就能獲勝。幾何對稱模型。652、有關運動問題的簡化例：有兩個邊長為1分米的正方形，空白正方形的一角頂點位于另一個正方形中心，并在1/3邊線處相交，計算重合部分的面積。66旋轉：特殊情況：1/4。67利用對稱原理，其他情況重疊部分也是1/4。68幾何對稱模型。4、有關圖形分割問題。1條直線把長方形分成2部分；5條直線把長方形最多分成幾部分？70

部分直線21條2+2=42條2+2+3=73條2+2+3+4=114條712+2+3+4+5=165條72N條

2+2+3+4+……+N=1+1+2+3+4+……+N=1+（1+2+3+4+……+N）模型73綜合運用解決問題策略有許多問題需要用多種策略解決，這需要學生靈活運用知識。74例：意大利數學一位數學家提出過一個非常有趣的數學問題：如果一對小兔每月能生1對新兔，每一對新兔在出生后的第3個月開始又生1對新兔，假定不發(fā)生死亡的情況下，1對兔子在1年內能繁殖成多少對？

75分析：假定今年1月份生的一對新兔，今年2月應該還只有1對，到3月份這對兔子生了1對，總共2對；到4月份又可生出一對新兔，共3對；到5月份，有2對兔子生出2對新兔，加上原來的3對一共5對……76用圖形來表示：○代表一對新兔◎代表一對未成年兔●代表一對成年兔

1月2月3月4月5月6月○◎●○●○●○●○◎◎●○◎●○◎●○找一找上面兔子的數量的模型。77列表：月份1

2

3

4

5

6

數量1

1

2

3

5

8月份7

8

9

101112數量13

21

3455

89

144綜合運用畫圖、列表和尋找規(guī)律解決問題。

78AN=A（N-1）+A（N-2）79R．J．斯騰伯格（1940-）美國著名心理學家。提出了“解決問題的循環(huán)系統(tǒng)”：80

81確定問題定義問題形成策略組織信息分配資源效果監(jiān)控方案評估例：由5個等圓組成的圖形，請畫一條直線把5個圓分成面積相等的兩部分。82四、其他方法策略1、質化策略找出問題中最基本的條件，把問題歸結為單純的相互獨立的元素，從而顯示解決問題的思路，以達到解決問題的目的。84例：國慶小學學生去參觀科技展.346人排成兩行，相鄰的前后兩排相距0.5米,隊伍每分鐘行走65米，途經一座長889米的大橋，從排頭上橋到排尾離橋，共需要幾分鐘？85我們可以應用質化策略，在解題過程中略去那些具體的過橋過程，而把排尾質化為一個點，只考慮初始狀態(tài)這點與橋末端的距離（隊長+橋長）利用路程公式就可以解決問題.346人，2行，65米/分，間距0.5米[(346/2-1)X0.5+889]/65=15（分）86889米2、分化策略把綜合性的數學問題看作是若干個子問題構成的整體或者把一個復雜問題分解為若干個較易解決的子問題，對其各個擊破，整體問題就會迎刃而解。87例如：兩步或三步應用題可以分解為幾個一步應用題；王阿姨買3瓶牛奶用了12元，買8瓶這樣的牛奶需要多少錢？（12÷3）×88812÷3=44×8=3289組合圖形面積計算可以分成幾個單一圖形來計算。

4m6m3m7m9091923.概化策略描述：當我們研究的是某些具體元素（往往是維數或抽象水平低）的關系時，可以把問題歸結為元素所在整體（往往是維數或抽象水平高的）的關系或性質的問題，通過對整體的性質的考察來使問題得互解決。93概化過程拋棄了一些非本質的因素，而突出本質因素。其表現(xiàn)為：對具體事物進行抽象，再在抽象水平上進行形式推理，然后用于解決具體問題。用方程解決問題就是典型的應用概化策略。抽象數學問題抽象數學問題解決具體問題具體問題解決94例：商店原來有一些水果糖，又運來25千克，賣出34千克后，還剩41千克，這個商店原來有水果糖多少千克？設：原來有水果糖X千克（用符號表示所求問題）

X+25-34=41（抽象的數學問題）

X=50