用因式分解法求解一元二次方程九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

北師大版九年級(jí)上冊(cè)第二章一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程求解一元二次方程的方法：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù),

a≠0)(1)直接開(kāi)平方法(2)配方法(3)公式法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)一、復(fù)習(xí)回顧選擇合適的方法解下列方程：(1)x2-6x=7；(2)3x2+8x-3=0一、復(fù)習(xí)回顧(配方法）（公式法）解：a

=3

,b

=8，c

=3∴b2–4ac=64-4×3×3=28∴

x1=,x2=.解：x2-6x=7x2-6x+32=7+32

(x-3)2=16∴x-3=±4∴x-3=4或∴x-3=-4∴x1=7,x2=-1分式分解(1)

提公因式法(2)公式法一、復(fù)習(xí)回顧am+bm+cm=m(a+b+c)a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2.問(wèn)題：一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等,這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來(lái)的？由方程x2=3x,得x2-3x=0因此x1=0,x2=3.所以這個(gè)數(shù)是0或3.小穎的思路：小明的思路：方程x2=3x兩邊同時(shí)約去x,得x=3.所以這個(gè)數(shù)是3.二、探究新知設(shè)這個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意得,可得方程x2=3x小亮的思路：由方程x2=3x,得x2-3x=0即x(x-3)=0于是x=0,或x-3=0.因此x1=0,x2=3所以這個(gè)數(shù)是0或3問(wèn)題：他們做得對(duì)嗎？為什么？如果a·b=0，那么a=0或b=0即“如果兩個(gè)因式的積等于零,那么至少有一個(gè)因式等于零.”因式分解法當(dāng)一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為因式分解法.如果a·b=0，那么a=0或b=0下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0，x2=2；

(2)(y+2)(y-3)=0；

(2)y1=-2，y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；

(3)x1=-2，x2=2；

(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1.因式分解法對(duì)于一元二次方程(x–p)(x–q)=0，那么它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為p，q.例1：解下列方程：

（1）5x2=4x;（2）x–2=x(x-2).解：5x2-4x=0,x(5x

-4)=0.∴x=0或5x–4=0.∴x1=0,x2=.解：(x-2)–x(x-2)

=0,(x-2)(1-x)=0.∴x–2=0或1–x=0.∴x1=2,x2=1.三、典例精析原來(lái)的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程因式分解法的步驟一移-----方程的右邊=0;二分-----方程的左邊因式分解;三化-----方程化為兩個(gè)一元一次方程;四解-----寫(xiě)出方程兩個(gè)解;簡(jiǎn)記歌訣：右化零,左分解,兩因式,各求解例2用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；分析：該式左右兩邊可以提取公因式，所以用因式分解法解答較快.解：化簡(jiǎn)(3x-5)(x+5)=0.

即3x-5

=0或x+5

=0.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可直接開(kāi)平方法.解：開(kāi)平方,得5x+1=±1.

解得,x1=0,x2=

靈活選用方法解方程(3)x2

-12x=4

;(4)3x2=4x+1；分析：二次項(xiàng)的系數(shù)為1，可用配方法來(lái)解題較快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開(kāi)平方,得

解得x1=

x2=分析：二次項(xiàng)的系數(shù)不為1，且不能直接開(kāi)平方，也不能直接因式分解，所以適合公式法.解：化為一般式3x2-4x+1=0.

∵Δ=b2-4ac=28>0,

靈活選用方法解方程各種一元二次方程的解法及適用類型.一元二次方程的解法適用的方程類型直接開(kāi)平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝01.當(dāng)沒(méi)有一次項(xiàng)時(shí)(ax2+c=0)，應(yīng)選用直接開(kāi)平方法；2.若沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)時(shí)(ax2+bx=0)，應(yīng)選用因式分解法；3.若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都有(ax2+bx+c=0)，先化為一般式，若一邊的整式容易因式分解，則選用因式分解法；若不容易分解，則選用公式法；4.若二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，可選用配方法.靈活選用方法解方程

①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；

③-3t2+t=0；

④x2-4x=2；

⑤2x2-x=0；

⑥5(m+2)2=8；

⑦3y2-y-1=0；

⑧2x2+4x-1=0；

⑨(x-2)2=2(x-2).

適合運(yùn)用直接開(kāi)平方法

；適合運(yùn)用因式分解法

；適合運(yùn)用公式法

；

適合運(yùn)用配方法

.鞏固練習(xí)⑥

①②③

④

⑤⑦⑧⑨(1)x2-4=0;(2)(x+1)2-25=0你能用因式分解法解下列的方程嗎解：化簡(jiǎn)(x-2)(x+2)=0.

即x-2

=0或x+2

=0.解得x1=2，x2=-2解：化簡(jiǎn)(x+1-5)(x+1+5)=0.

即x-4

=0或x+6

=0.解得x1=4，x2=61.解方程x(x+2)=3(x+2)，最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ?)A.直接開(kāi)平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法四、課堂檢測(cè)A2.下列方程中，不適合用因式分解法解的是()

A．x2－2x＋1＝0

B．x2－2x－1＝0

C．x2＝7x

D．x2－4＝0四、課堂檢測(cè)B3.方程(x＋1)(x－2)=x＋1的解是（）A．2B.3C.－1，2D.－1，3D四、課堂檢測(cè)4.方程x(x-3)=5(x-3)的解是(

)x=3B.x=5C.x1=3，x2=5D.無(wú)解四、課堂檢測(cè)C5.方程x2-5x=0的解是（）x1=x2=5B.x1=x2=0C.x1=0，x2=5D.x1=-5，x2=0四、課堂檢測(cè)C6.若代數(shù)式2x2－3x與x2－7x的值相等，則x的值為()A．0 B．－4 C．0或－4 D．0或4四、課堂檢測(cè)C解：化為一般式為因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，7.解方程：四、課堂檢測(cè)8.用因式分解法解下列方程：(1)3x(2x+1)=4x+2；(2)(x-4)2=(5-2x)2.解：(1)原方程可變形為3x(2x+1)=2(2x+1).3x(2x+1)-2(2x+1)=0.(2x+1)(3x-2)=0.2x+1=0,或3x-2=0.∴x1=-,x2=.(2)原方程可變形為(x-4)2-(5-2x)2=0.［(x-4)+(5-2x)］［(x-4)-(5-2x)］=0.(1-x)(3x-9)=0.1-x=0,或3x-9=0.∴x1=1,x2=3.四、課堂檢測(cè)9.一個(gè)數(shù)平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍，求這個(gè)數(shù)解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，得2x2=7x因式分解，得x(2x-7）=0于是得,x=0,x=7/2四、課堂檢測(cè)2x2-7x=010.把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求小圓形場(chǎng)地的半徑．解：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為r，根據(jù)題意(r