用因式分解法求解一元二次方程九年級數(shù)學上冊

北師大版九年級上冊第二章一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程求解一元二次方程的方法：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù),

a≠0)(1)直接開平方法(2)配方法(3)公式法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)一、復習回顧選擇合適的方法解下列方程：(1)x2-6x=7；(2)3x2+8x-3=0一、復習回顧(配方法）（公式法）解：a

=3

,b

=8，c

=3∴b2–4ac=64-4×3×3=28∴

x1=,x2=.解：x2-6x=7x2-6x+32=7+32

(x-3)2=16∴x-3=±4∴x-3=4或∴x-3=-4∴x1=7,x2=-1分式分解(1)

提公因式法(2)公式法一、復習回顧am+bm+cm=m(a+b+c)a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2.問題：一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等,這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？由方程x2=3x,得x2-3x=0因此x1=0,x2=3.所以這個數(shù)是0或3.小穎的思路：小明的思路：方程x2=3x兩邊同時約去x,得x=3.所以這個數(shù)是3.二、探究新知設這個數(shù)為x,根據(jù)題意得,可得方程x2=3x小亮的思路：由方程x2=3x,得x2-3x=0即x(x-3)=0于是x=0,或x-3=0.因此x1=0,x2=3所以這個數(shù)是0或3問題：他們做得對嗎？為什么？如果a·b=0，那么a=0或b=0即“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”因式分解法當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為因式分解法.如果a·b=0，那么a=0或b=0下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0，x2=2；

(2)(y+2)(y-3)=0；

(2)y1=-2，y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；

(3)x1=-2，x2=2；

(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1.因式分解法對于一元二次方程(x–p)(x–q)=0，那么它的兩個實數(shù)根分別為p，q.例1：解下列方程：

（1）5x2=4x;（2）x–2=x(x-2).解：5x2-4x=0,x(5x

-4)=0.∴x=0或5x–4=0.∴x1=0,x2=.解：(x-2)–x(x-2)

=0,(x-2)(1-x)=0.∴x–2=0或1–x=0.∴x1=2,x2=1.三、典例精析原來的一元二次方程轉化為兩個一元一次方程因式分解法的步驟一移-----方程的右邊=0;二分-----方程的左邊因式分解;三化-----方程化為兩個一元一次方程;四解-----寫出方程兩個解;簡記歌訣：右化零,左分解,兩因式,各求解例2用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；分析：該式左右兩邊可以提取公因式，所以用因式分解法解答較快.解：化簡(3x-5)(x+5)=0.

即3x-5

=0或x+5

=0.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可直接開平方法.解：開平方,得5x+1=±1.

解得,x1=0,x2=

靈活選用方法解方程(3)x2

-12x=4

;(4)3x2=4x+1；分析：二次項的系數(shù)為1，可用配方法來解題較快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開平方,得

解得x1=

x2=分析：二次項的系數(shù)不為1，且不能直接開平方，也不能直接因式分解，所以適合公式法.解：化為一般式3x2-4x+1=0.

∵Δ=b2-4ac=28>0,

靈活選用方法解方程各種一元二次方程的解法及適用類型.一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝01.當沒有一次項時(ax2+c=0)，應選用直接開平方法；2.若沒有常數(shù)項時(ax2+bx=0)，應選用因式分解法；3.若一次項系數(shù)和常數(shù)項都有(ax2+bx+c=0)，先化為一般式，若一邊的整式容易因式分解，則選用因式分解法；若不容易分解，則選用公式法；4.若二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，可選用配方法.靈活選用方法解方程

①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；

③-3t2+t=0；

④x2-4x=2；

⑤2x2-x=0；

⑥5(m+2)2=8；

⑦3y2-y-1=0；

⑧2x2+4x-1=0；

⑨(x-2)2=2(x-2).

適合運用直接開平方法

；適合運用因式分解法

；適合運用公式法

；

適合運用配方法

.鞏固練習⑥

①②③

④

⑤⑦⑧⑨(1)x2-4=0;(2)(x+1)2-25=0你能用因式分解法解下列的方程嗎解：化簡(x-2)(x+2)=0.

即x-2

=0或x+2

=0.解得x1=2，x2=-2解：化簡(x+1-5)(x+1+5)=0.

即x-4

=0或x+6

=0.解得x1=4，x2=61.解方程x(x+2)=3(x+2)，最適當?shù)姆椒ㄊ?)A.直接開平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法四、課堂檢測A2.下列方程中，不適合用因式分解法解的是()

A．x2－2x＋1＝0

B．x2－2x－1＝0

C．x2＝7x

D．x2－4＝0四、課堂檢測B3.方程(x＋1)(x－2)=x＋1的解是（）A．2B.3C.－1，2D.－1，3D四、課堂檢測4.方程x(x-3)=5(x-3)的解是(

)x=3B.x=5C.x1=3，x2=5D.無解四、課堂檢測C5.方程x2-5x=0的解是（）x1=x2=5B.x1=x2=0C.x1=0，x2=5D.x1=-5，x2=0四、課堂檢測C6.若代數(shù)式2x2－3x與x2－7x的值相等，則x的值為()A．0 B．－4 C．0或－4 D．0或4四、課堂檢測C解：化為一般式為因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，7.解方程：四、課堂檢測8.用因式分解法解下列方程：(1)3x(2x+1)=4x+2；(2)(x-4)2=(5-2x)2.解：(1)原方程可變形為3x(2x+1)=2(2x+1).3x(2x+1)-2(2x+1)=0.(2x+1)(3x-2)=0.2x+1=0,或3x-2=0.∴x1=-,x2=.(2)原方程可變形為(x-4)2-(5-2x)2=0.［(x-4)+(5-2x)］［(x-4)-(5-2x)］=0.(1-x)(3x-9)=0.1-x=0,或3x-9=0.∴x1=1,x2=3.四、課堂檢測9.一個數(shù)平方的2倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)解：設這個數(shù)為x，得2x2=7x因式分解，得x(2x-7）=0于是得,x=0,x=7/2四、課堂檢測2x2-7x=010.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑．解：設小圓形場地的半徑為r，根據(jù)題意(r