2022-2023學(xué)年重慶墊江縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年重慶墊江縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙兩名同學(xué)八次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缜o葉圖所示，則甲同學(xué)成績的眾數(shù)與乙同學(xué)成績的中位數(shù)依次為（）A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86參考答案：B【考點】莖葉圖．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蛞来闻帕?，處在中間位置的一個數(shù)（或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)），求出即可．【解答】解：由莖葉圖知，甲的8個得分中，按照從小到大的順序依次排列，處在中間位置的兩個數(shù)是85和85，所以中位數(shù)是85，同理，乙的中位數(shù)是85．故選：B．【點評】本題考查了中位數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)在處取得極小值,則函數(shù)的圖象可能是 （

）

參考答案：A3.已知數(shù)列中，，，若為等差數(shù)列，則=( )A．0 B．

C．

D．2參考答案：A略4.已知為等差數(shù)列，且有，則（

）A．28

B．24

C．20

D．16參考答案：C5.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且PF1⊥PF2，求點P的橫坐標為（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)橢圓方程求得橢圓的半焦距c，根據(jù)PF1⊥PF2，推斷出點P在以為半徑，以原點為圓心的圓上，進而求得該圓的方程與橢圓的方程聯(lián)立求得交點的坐標，則根據(jù)點P所在的象限確定其橫坐標．【解答】解：由題意半焦距c==，又∵PF1⊥PF2，∴點P在以為半徑，以原點為圓心的圓上，由，解得x=±，y=±∴P坐標為（，）．故選：D．【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓與圓的位置關(guān)系．考查了考生對橢圓基礎(chǔ)知識的綜合運用．屬基礎(chǔ)題．6.已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．參考答案：A略7.若且，則下列四個數(shù)中最大的是（

）

A．B．C．2abD．a(chǎn)參考答案：B略8.若長方體的三個面的對角線長分別是，則長方體體對角線長為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：設(shè)同一頂點的三條棱分別為，則得，則對角線長為9.對“a、b、c至少有一個是正數(shù)”的反設(shè)是（）A．a(chǎn)、b、c至少有一個是負數(shù) B．a(chǎn)、b、c至少有一個是非正數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是非正數(shù) D．a(chǎn)、b、c都是正數(shù)參考答案：C【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】找出題中的題設(shè)，然后根據(jù)反證法的定義對其進行否定．【解答】解：∵命題“a、b、c至少有一個是正數(shù)”可得題設(shè)為，“a、b、c至少有一個是正數(shù)”，∴反設(shè)的內(nèi)容是：a、b、c都是非正數(shù)；故選：C．10.下列選項中，與其他三個選項所蘊含的數(shù)學(xué)推理不同的是（）A．獨腳難行，孤掌難鳴 B．前人栽樹，后人乘涼C．物以類聚，人以群分 D．飄風(fēng)不終朝，驟雨不終日參考答案：B【考點】合情推理的含義與作用．【分析】利用歸納推理、演繹推理的定義，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，根據(jù)歸納推理是由特殊到一般的推理過程，可得A，C，D是歸納推理，B是演繹推理，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y＝xlnx的導(dǎo)數(shù)是＿＿＿＿＿。參考答案：lnx+1；略12.已知是橢圓的兩個焦點,A,B分別是該橢圓的右頂點和上頂點，點P在線段AB上，則的最小值為

參考答案：

解：，考慮的幾何意義即可得，點在線段上，則，∴13.拋物線的焦點坐標為_________參考答案：14.設(shè)全集U=R，集合，，則_．參考答案：【分析】利用已知求得：，即可求得：，再利用并集運算得解.【詳解】由可得：或所以所以所以故填：【點睛】本題主要考查了補集、并集的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。15.在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)b，若使直線與圓有交點的概率為，則a=

．參考答案：

16.下列說法中，正確的有_______．①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；②根據(jù)2×2列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出，而，則有99%的把握認為兩個分類變量有關(guān)系；③是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機變量，當?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量不相關(guān)；④某項測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則．參考答案：②④【分析】由回歸直線的性質(zhì)判斷①；由獨立性檢驗的性質(zhì)判斷②③；由正態(tài)分布的特點判斷④.【詳解】回歸直線恒過點，但不一定要過樣本點，故①錯誤；由，得有99%的把握認為兩個分類變量有關(guān)系，故②正確；的值很小時，只能說兩個變量的相關(guān)程度低，不能說明兩個變量不相關(guān)，故③錯誤；,，故④正確；故答案為：②④【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率等，屬于中等題.17.5名同學(xué)排成一排照相，其中同學(xué)甲站在中間，則不同的排法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）.參考答案：24【分析】根據(jù)題意，不用管甲，其余4人全排列即可，根據(jù)排列數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，甲在中間位置固定了，不用管，其它4名同學(xué)全排列即可，所以排法種數(shù)共有種.故答案為：24.【點睛】本題是排列問題，有限制條件的要先安排，最后安排沒有條件要求的即可，屬于一般基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.頂點在原點，焦點在y軸的正半軸的拋物線的焦點到準線的距離為2．（1）求拋物線的標準方程；（2）若直線l：y=2x+1與拋物線相交于A，B兩點，求AB的長度．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線的標準方程；（2）直線l：y=2x+1與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及拋物線的定義，即可求AB的長度．【解答】解：（1）由題意，焦點在y軸的正半軸的拋物線的焦點到準線的距離為2，可知p=2．…∴拋物線標準方程為：x2=4y…（2）直線l：y=2x+l過拋物線的焦點F（0，1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…聯(lián)立得x2﹣8x﹣4=0…∴x1+x2=8…∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4=20…【點評】本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵．19.（本小題滿分12分）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，平面，∥，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）（法一）連接AC交BD于點O，連接FO.過點O作OH∥AE交EC于點H，連接HF，因為O是AC的中點，所以H是EC的中點，所以，因為EA∥CF，且EA=2CF，所以O(shè)H∥CF且OH=CF，又因為所以四邊形OCFH為菱形，而垂直于平面ABCD，所以從而，從而四邊形OCFH為正方形進而又因為四邊形ABCD為正方形，所以;又且從而面，則又且所以平面.

（法二）以點A為坐標原點，AD所在的直線為x軸，AB所在直線為y軸，AE所在直線為z軸建立直角坐標系，則，所以從而有·=0，·=0所以又因為從而面

（2）由（1）知向量為平面的法向量設(shè)平面的法向量為則即；令得故所以二面角的余弦值為

20.設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求，，，的值并寫出其通項公式；（Ⅱ）用三段論證明數(shù)列是等比數(shù)列．

參考答案：解：（Ⅰ）由，得；；；，猜想．

（Ⅱ）因為通項公式為的數(shù)列，若，是非零常數(shù)，則是等比數(shù)列；因為通項公式，又；所以通項公式的數(shù)列是等比數(shù)列．略21.已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）當a=時，求f（x）的極值；（2）若a∈（，1），f（x）存在兩個極值點x1，x2，試比較f（x1）+f（x2）與f（0）的大?。?）求證e＞n!（n≥2，n∈N）參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點，再求極值之和，構(gòu)造當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+﹣2，運用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（3）當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，設(shè)t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，運用累加法和等差數(shù)列的求和公式及對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得證．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定義域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）遞減，（2，+∞）遞增，故f（x）的極小值為f（2）=ln2﹣1，沒有極大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，則a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+=ln[（1﹣2a）2]+﹣2

設(shè)t=2a﹣1，當＜a＜1，0＜t＜1，則設(shè)f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上遞減，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，綜上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）證明：當0＜t＜1時，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，設(shè)t=（