2022年江蘇省常州市華羅庚實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年江蘇省常州市華羅庚實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正實(shí)數(shù)，記m為和中較小者，則m的最大值為

__________。參考答案：略2.函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2的一條對(duì)稱軸的方程是(

)參考答案：A化簡(jiǎn)，∴將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，取得最值，故選.3.已知函數(shù)f（x+2）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=x2+1，則當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=（）A．x2+1B．x2﹣8x+5C．x2+4x+5D．x2﹣8x+17參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先由函數(shù)f（x+2）是R上的偶函數(shù)，求出對(duì)稱軸，然后將所求區(qū)間利用運(yùn)算轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到x＞2時(shí)，求解函數(shù)的解析式．解答：解：∵函數(shù)f（x+2）是R上的偶函數(shù)，函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱，可得f（x）=f（4﹣x），∵x＞2時(shí)，f（x）=x2+1，由x＜2時(shí)，﹣x＞2，4﹣x＞6，可得∴f（4﹣x）=（4﹣x）2+1=x2﹣8x+17，∵f（x）=f（4﹣x）=x2﹣8x+17．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及將未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化化歸思想，是個(gè)中檔題．4.若函數(shù)y=sinx+f（x）在[﹣，]內(nèi)單調(diào)遞增，則f（x）可以是（）A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx參考答案：D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；余弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【分析】A、C在[﹣，]內(nèi)單調(diào)遞增是不正確的；對(duì)于B，y=sinx+cosx，化簡(jiǎn)判斷單調(diào)性即可判斷正誤；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．【解答】解：由題意可知A、C顯然不滿足題意，排除；對(duì)于B，y=sinx+cosx=sin（x+），在[﹣，]內(nèi)不是單調(diào)遞增，所以不正確；對(duì)于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，滿足題意，所以f（x）可以是﹣cosx．故選D【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，?？碱}型．5.設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且的最小值為A． B． C．1 D．2參考答案：B6.若定義在R上的偶函數(shù)滿足且時(shí),則方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)ks5uA.

2個(gè)

B.

3個(gè)

C.4個(gè)

D.多于4個(gè)參考答案：C7.為了得到函數(shù)的圖像,可以將函數(shù)的圖像A、向右平移個(gè)單位

B、向左平移個(gè)單位C、向左平移個(gè)單位

D、向右平移個(gè)單位參考答案：D略8.閱讀右面的程序框圖，則輸出的=（

）

A．14

B．30

C．20

D．55參考答案：B略9.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.參考答案：A令，則∵∴，即在上恒成立∴在上單調(diào)遞減∵∴，即∴，即故選A點(diǎn)睛：本題首先需結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的大小關(guān)系，判斷自變量的大小關(guān)系.10.下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的a=2，則輸入的a，b可能是（

）A．15,18

B．14,18

C．12,18

D．9,18參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20-80mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車；血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車．據(jù)《法制晚報(bào)》報(bào)道，2010年3月15日至3月28日，全國(guó)查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人，如圖是對(duì)這28800人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為_(kāi)____________．參考答案：4320略12.銳角△ABC的角A、B、C所對(duì)的三邊和面積S滿足條件且A<B<C,則的取值范圍是___________參考答案：13.14．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)≥時(shí)，，那么，不等式的解集是____________．參考答案：（-7,3）14.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為,若,則角=______.參考答案：略15.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為，則圓錐的體積為

．參考答案：過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△及其內(nèi)切圓和外切圓，且兩圓同圓心，即△的內(nèi)心與外心重合，易得△為正三角形，由題意的半徑為，∴△的邊長(zhǎng)為，∴圓錐的底面半徑為，高為，∴．16.如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔15000m，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)108s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹閗m．參考答案：15﹣10【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】先求AB的長(zhǎng)，在△ABC中，可求BC的長(zhǎng)，進(jìn)而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山頂?shù)暮０胃叨龋窘獯稹拷猓喝鐖D，∠A=15°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km）∴在△ABC中，BC=20sin15°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin75°=20sin15°sin75°=10山頂?shù)暮０胃叨?（15﹣10）km．故答案為15﹣10．17.某工廠生產(chǎn)10個(gè)產(chǎn)品，其中有2個(gè)次品，從中任取3個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則3個(gè)產(chǎn)品中至多有1個(gè)次品的概率為

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．⑴求證：∥平面；⑵求證：平面平面．

參考答案：19.已知直線l過(guò)圓的圓心且平行于x軸，曲線C上任一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到l的距離小1．（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（異于原點(diǎn)）作圓M的兩條切線，斜率分別為，過(guò)點(diǎn)P作曲線G的切線，斜率為，若成等差數(shù)列，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：(1)(2)【分析】（1）由已知可得點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，即曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，從而可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1）可設(shè)，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)所作圓的兩切線方程為：，，由圓心到直線的距離等于半徑可得，也適合，由韋達(dá)定理，結(jié)合成等差數(shù)列，可得，解方程即可得結(jié)果.【詳解】（1）易知直線，∵曲線上任一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到的距離小1，∴點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，∴曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程，∵∴曲線的方程為.（2）由（1）知曲線，設(shè)，則，曲線上過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，設(shè)過(guò)點(diǎn)所作圓的兩切線方程為：，，即：，，又，即，*.同理也適合*式，故，是方程的兩個(gè)不相等的根，∴，∵成等差數(shù)列，∴∴，解得，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的軌跡方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.20.(本小題滿分13分，(I)小問(wèn)6分，(II)小問(wèn)7分．)我校高2014級(jí)迎新晚會(huì)的舞臺(tái)天花板上有前、后兩排共4個(gè)燈架，每排2個(gè)，每個(gè)燈架上安裝了5盞射燈，每盞射燈發(fā)光的概率為．若一個(gè)燈架上至少有3盞射燈正常發(fā)光，則這個(gè)燈架不需要維修，否則需要維修．(I)求恰有兩個(gè)燈架需要維修的概率；(II)若前排每個(gè)燈架的維修費(fèi)用為100元，后排每個(gè)燈架的維修費(fèi)用為200元，記為維修燈架的總費(fèi)用，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：21.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品。以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)。

（Ⅰ）將T表示為x的函數(shù) （Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T，不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的利潤(rùn)T的數(shù)學(xué)期望。參考答案：

22.已知數(shù)列{an}中,.(Ⅰ)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

參考答案：(Ⅰ)證明:因?yàn)樗詣t

（3分）又因?yàn)?/p>