天津南開區(qū)津英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

天津南開區(qū)津英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D∵，∴故選：D

2.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略3.已知復(fù)數(shù)，則下列命題中錯誤的是（）A．

B．

C．的虛部為

D．在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)再第一象限參考答案：C4.二項(xiàng)式的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 A．3項(xiàng)

B．4項(xiàng)

- C．5項(xiàng)

D．6項(xiàng)參考答案：C6、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A6.正三棱錐底面邊長為,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐外接球面積為 （）A． B． C． D．參考答案：B略7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.設(shè)集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.已知雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為（）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略10.南高老校區(qū)有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生1500人．為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個300人的樣本．則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為（

）A．50

B．100

C．150

D．20參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知多項(xiàng)式滿足，則

，

．參考答案：5,7212.已知三棱錐P-ABC外接球的表面積為100π，PA⊥面，則該三棱錐體積的最大值為____。參考答案：【分析】根據(jù)球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的極值點(diǎn)是

．參考答案：

e

14.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，則m=___________.參考答案：-6因?yàn)閍∥b，所以－2m－4×3=0，解得m=-6．15.若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為

． 參考答案：略16.電腦系統(tǒng)中有個“掃雷”游戲，要求游戲者標(biāo)出所有的雷，游戲規(guī)則是:一個方塊下面有一個雷或沒有雷，如果無雷，掀開方塊下面就會標(biāo)有數(shù)字（如果數(shù)字是0，常省略不標(biāo)），此數(shù)字表明它周圍的方塊中雷的個數(shù)（至多八個），如圖甲中的“3”表示它的周圍八個方塊中有且僅有3個雷.圖乙是張三玩的游戲中的局部，根據(jù)圖乙中信息，上方第一行左起七個方塊中（方塊上標(biāo)有字母），能夠確定下面一定沒有雷的方塊有

，下面一定有雷的方塊有

.（請?zhí)钊胨羞x定方塊上的字母）圖甲

圖乙參考答案：BDEF(3分)；AC（2分）略17.已知點(diǎn)（2,3）在雙曲線C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距為4，則它的離心率為_____________.參考答案：2本題考查了雙曲線離心率的求解策略，考查了雙曲線中的基本量難度較小。由條件知半焦距，將點(diǎn)代入雙曲線方程得①，又②，聯(lián)立兩式解得，解得離心率.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分

）甲將經(jīng)營的某淘寶店以57.2萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有40萬元無息貸款沒有償還的乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計息），直到還清.已知：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售單價P（元/件）的關(guān)系如圖所示的折線段；③該店每月需各種開支2000元.（I）寫出月銷量Q（百件）與銷售單價P（元/件）的關(guān)系，并求該店的月利潤L（元）關(guān)于銷售單價P（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（該店的月利潤=月銷售利潤－該店每月支出，不包括轉(zhuǎn)讓費(fèi)及貸款）；（II）當(dāng)商品的價格為每件多少元時，該店的利潤最大？并求該店的月利潤的最大值；（III）若乙只依靠該店，最早可望在多少年后無債務(wù)？參考答案：（1） …………2分因此， …………4分即（略）.

（2）當(dāng)； 當(dāng) 因?yàn)樵獣r，月利潤最大，為4050元.

…………8分

（3）設(shè)可在n年后脫貧（元債務(wù)），依題意有解得，即最早在20年后無債務(wù).

…………12分19.在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．（I）已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中點(diǎn)Q，連結(jié)GQ、QH，推導(dǎo)出平面GQH∥平面ABC，由此能證明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取FC中點(diǎn)Q，連結(jié)GQ、QH，∵G、H為EC、FB的中點(diǎn)，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F(xiàn)（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由題意可知面ABC的法向量為=（0，0，3），設(shè)=（x0，y0，z0）為面FCB的法向量，則，即，取x0=1，則=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為．20.如圖，三棱柱的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)面是菱形且垂直于底面，＝60°，M是的中點(diǎn)．（1）求證：BMAC；（2）求二面角的正切值；（3）求三棱錐的體積．參考答案：（1）略

（2）所求二面角的正切值是2

（3）21.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，.（Ⅰ）求C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）若直線l與曲線C1，C2分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)M，N，求的最大值.參考答案：（Ⅰ），.（Ⅱ）2【分析】（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可直接得出與的直角坐標(biāo)方程，兩式聯(lián)立，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）不妨設(shè)，點(diǎn)，的極坐標(biāo)分別為，，用極坐標(biāo)的方法得到，化簡整理，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.由解得或，故與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，.（Ⅱ）不妨設(shè)，點(diǎn)，的極坐標(biāo)分別為，所以所以當(dāng)時，取得最大值2.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及極坐標(biāo)系下的弦長問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.22.（本小題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在的平分線上。

(1)求證：DE//平面ABC；(2)求二面角E—BC—A的余弦值；參考答案：解：方法一：（1）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，則平面ACD平面ABC平面ABC，作EF平面ABC，那么EF//DO，根據(jù)題意，點(diǎn)F落在BO上，，易求得所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF；平面ABC，平面ABC，平面ABC…………6分（2）作FGBC，垂足為G，連接EG；平