2022-2023學年上海市浦東新區(qū)南匯中學高一（上）期中數學試卷（含解析）

2022-2023學年上海市浦東新區(qū)南匯中學高一（上）期中數學試卷一、填空題：（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．已知集合，若全集，則．2．陳述句“或”的否定形式是．3．不等式的解為．4．設，，若是的必要條件，則實數的取值范圍為．5．已知關于的不等式的解集為，則．6．設，，則．7．若，，則（結果用、表示）．8．已知，則的最小值為．9．已知為常數，集合，集合，且，則的所有取值構成的集合為．10．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是．11．設集合，3，5，，若非空集合同時滿足：①，②（A），（其中表示中元素的個數，（A）表示集合中最小的元素）稱集合為的一個好子集，則的所有好子集的個數為．12．已知，，且，則的最小值為．二、選擇題：（共4小題，每小題3分，滿分12分）13．設命題甲：“”，命題乙：“”，那么命題甲是命題乙的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．若，，則下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則15．已知、、，下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確的個數是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．設集合，，，，其中，，下列說法正確的是A．對任意，是的子集，對任意，不是的子集 B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．對任意，使得不是的子集，對任意，不是的子集 D．對任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集三、解答題：（第17題8分，第18題8分，第19題10分，第20題12分，第21題14分，共52分）17．（8分）設集合，，若，求實數的取值范圍．18．（8分）設，，，是四個正數．（1）已知，比較與的大?。唬?）已知，求證：，，，中至少有一個小于1．19．某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學?？盏亟ㄔ煲婚g室內面積為的矩形溫室，在溫室內劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，如圖所示，在相鄰區(qū)域之間間隔，三塊矩形區(qū)域的前、后與內墻各保留寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內墻保留寬的通道．設矩形溫室的室內長為，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為．（1）用表示；（2）當為何值時，最大，并求出該最大值．20．（12分）若設為曼哈頓擴張距離，它由個絕對值之和組成，其中為正整數．（1）若，求的取值范圍；（2）若對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；（3）是否存在最小值？若存在，求出該最小值，若不存在，說明理由．21．法國數學家佛朗索瓦韋達，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數學之父”，他最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數符號，推進了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數方程的跟與系數之間的關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理．韋達定理有著廣泛的應用，是高中階段非常重要的知識內容，為了致敬前輩數學家，請同學們利用韋達定理完成以下問題．（1）關于的方程的一個實數根為2，求另一實數根及實數的值；（2）關于的方程有兩個實數根、，若，求實數的值；（3）已知集合，，有且僅有3個元素，這3個元素恰為直角三角形的三條邊長，求，的值．

2022-2023學年上海市浦東新區(qū)南匯中學高一（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．已知集合，若全集，則或．解：因為集合，全集，所以或．故答案為：或．2．陳述句“或”的否定形式是且．解：由命題的否定方法，的否定為，的否定為，所以“或”的否定形式是且．故答案為：且．3．不等式的解為或．解：即即解得或故答案為或4．設，，若是的必要條件，則實數的取值范圍為，．解：是的必要條件，，，的取值范圍為，．故答案為：，．5．已知關于的不等式的解集為，則．解：關于的不等式的解集是，所以方程的解為：和3，由根與系數的關系知，，，解得，所以．故答案為：．6．設，，則．解：，，則，原式，故答案為：．7．若，，則（結果用、表示）．解：由題意可得，故答案為：．8．已知，則的最小值為．解：，，，當且僅當時，取等號．故答案為：9．已知為常數，集合，集合，且，則的所有取值構成的集合為，，．解：由已知可得集合，，因為，則，，，，，當時，，當時，，當時，，當，時，不成立，故的取值集合為，，，故答案為：，，．10．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是．解：當時，不等式為，此時解集為，符合題意，當，即時，由開口向上的二次函數可知不可能為空集，故不符合題意，舍去，當即時，此時△，解得，綜上所述，實數的取值范圍是．故答案為：．11．設集合，3，5，，若非空集合同時滿足：①，②（A），（其中表示中元素的個數，（A）表示集合中最小的元素）稱集合為的一個好子集，則的所有好子集的個數為8．解：①當，即集合中元素的個數為1時，的可能情況為：，，，，②當，即集合中元素的個數為2時，的可能情況為：，，，，，，③當，即集合中元素的個數為3時，的可能情況為：，5，，的所有好子集的個數為8．故答案為：8．12．已知，，且，則的最小值為．解：令，，則，且，，，當且僅當取等號，即，，時成立．故答案為：．二、選擇題：（共4小題，每小題3分，滿分12分）13．設命題甲：“”，命題乙：“”，那么命題甲是命題乙的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：由得，由得，由于，故命題甲是命題乙的充分不必要條件，故選：．14．若，，則下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則解：對于，若，則，故錯誤；對于，若，則，故正確；對于，若，則，，故錯誤；對于，若，則，故錯誤．故選：．15．已知、、，下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確的個數是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①，若，，則，所以①錯誤．②，若，則，所以②正確．④，若，如，，，則，所以④錯誤．③，若，即，同號，所以，所以③正確．所以正確的個數是2個．故選：．16．設集合，，，，其中，，下列說法正確的是A．對任意，是的子集，對任意，不是的子集 B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．對任意，使得不是的子集，對任意，不是的子集 D．對任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集解：對于集合，，可得當，即，可得，即有，可得對任意，是的子集；當時，，，可得是的子集，故錯誤，正確；當時，，且，可得不是的子集．綜上可得，對任意，是的子集，存在，使得是的子集，故錯誤，錯誤．故選：．三、解答題：（第17題8分，第18題8分，第19題10分，第20題12分，第21題14分，共52分）17．（8分）設集合，，若，求實數的取值范圍．解：若，則，即故．若，則，即，即．（7分）因為，即，所以．解得，故實數的取值范圍為，（12分）18．（8分）設，，，是四個正數．（1）已知，比較與的大??；（2）已知，求證：，，，中至少有一個小于1．解：（1）由，且，，兩邊同乘以得，，由于，，，，均為正數，所以，故．（2）證明：假設，，，都不小于1，即，，，均大于等于1，即，，，，由均值不等式得：，故，當且僅當時等號成立，這與矛盾，故假設不成立，原命題成立．19．某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學校空地建造一間室內面積為的矩形溫室，在溫室內劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，如圖所示，在相鄰區(qū)域之間間隔，三塊矩形區(qū)域的前、后與內墻各保留寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內墻保留寬的通道．設矩形溫室的室內長為，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為．（1）用表示；（2）當為何值時，最大，并求出該最大值．解：（1）由題意得矩形溫室的室內長為，則矩形溫室的室內寬為，則三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為，由題意得，解得，，且；（2）由（1）可得，，，（當且僅當時取等號），，此時長為．故長度為60米，的最大值676平方米，20．（12分）若設為曼哈頓擴張距離，它由個絕對值之和組成，其中為正整數．（1）若，求的取值范圍；（2）若對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；（3）是否存在最小值？若存在，求出該最小值，若不存在，說明理由．解：（1），當時，，解得：，與取交集得，當時，，故，當時，，解得：，與取交集得，綜上：的取值范圍是；（2）對一切實數恒成立，因為，故，實數的取值范圍為，．（3），，其中的幾何意義為：在數軸上一點到的距離之和，要想距離之和最小，其中時，取得最小值，當時，取得最小值，當時，取得最小值，綜上：當時，取得最小值，最小值為，故的最小值為9．21．法國數學家佛朗索瓦韋達，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數學之父”，他最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數符號，推進了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數方程的跟與系數之間的關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理．韋達定理有著廣泛的應用，是高中階段非常重要的知識內容，為了致敬前輩數學家，請同學們利用韋達定理完成以下問題．（1）關于的方程的一個實數根為2，求另一實數根及實數的值；（2）關于的方程有兩個實數根、，若，求實數的值；（3）