高等數(shù)學(xué)D二重積分概念

高等數(shù)學(xué)D二重積分概念第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

多元函數(shù)積分學(xué),包括二重積分、三重積分,曲線積分與曲面積分.它們是定積分概念的推廣.

與一元函數(shù)定積分有關(guān)的是被積函數(shù)和積分區(qū)間,當(dāng)被積函數(shù)為二元或三元函數(shù),積分范圍為平面或空間區(qū)域時(shí),這種積分就是二重或三重積分;當(dāng)積分范圍是一條曲線或一塊曲面時(shí),那就是曲線積分或曲面積分.上頁下頁第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月第8.1節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

第八章上頁下頁8.1.1二重積分的概念8.1.2二重積分的性質(zhì)1、理解二重積分的概念;2、了解重積分的性質(zhì),理解二重積分的中值定理.基本要求第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面，求其體積.“大化小,以不變代變,求近似和,取極限”上頁下頁第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“以不變代變”在每個(gè)3)“求近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體(也表面積)上頁下頁第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月4)“取極限”令上頁下頁第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2.非均勻平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,以不變代變,求近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.上頁下頁第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2)“以不變代變”中任取一點(diǎn)3)“求近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量上頁下頁第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,以不變代變,求近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:上頁下頁第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),上頁下頁第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作上頁下頁第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.上頁下頁第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二重積分的幾何意義與物理意義:上頁下頁當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí),二重積分是曲頂柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，幾何意義：的平面薄片的質(zhì)量.表示密度為物理意義：特殊地：若為D的面積，則二重積分是曲頂柱體體積的負(fù)值．第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1.2、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則上頁下頁第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有上頁下頁第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此上頁下頁第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)曲頂柱體的豎坐標(biāo)連續(xù)變化時(shí),曲頂柱體的體積積分中值定理的幾何意義：等于以為高的同底平頂柱體的體積.稱為平均高度.在D上的上頁下頁第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上上頁下頁第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

估計(jì)下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D上頁下頁第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

判斷積分的正負(fù)號(hào).解:

分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)上頁下頁第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)上頁下頁第21頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:上頁下頁第22頁，課件共23頁，創(chuàng)作于20