新人教A版必修一4.4.3不同函數(shù)增長的差異課件（46張）

4.4.3不同函數(shù)增長的差異

三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)單調(diào)性在(0,+∞)上單調(diào)遞增圖象(隨x的增大)逐漸與y軸平行逐漸與x軸平行直線逐漸上升指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越快y的增長速度越來越慢y值逐漸增加增長關(guān)系存在一個x0,當(dāng)x>x0時,ax>kx>logax【思考】存在一個x0,當(dāng)x>x0時,為什么ax>xn>logax(a>1,n>0)一定成立?提示:當(dāng)a>1,n>0時,由y=ax,y=xn,y=logax的增長速度,存在x0,當(dāng)x>x0時,三個函數(shù)的圖象由上到下依次為指數(shù),冪,對數(shù),故一定有ax>xn>logax.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)函數(shù)的衰減速度越來越慢. (

)(2)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型. (

)(3)若a>1,n>0,對于任意x0∈R,一定有 (

)提示:(1)√.由函數(shù)y=的圖象可知其衰減速度越來越慢.(2)√.一次函數(shù)的圖象是直線,因此其增長速度不變.(3)×.如23<32.2.某種商品進(jìn)價為4元/件,當(dāng)日均零售價為6元/件時,日均銷售100件,當(dāng)單價每增加1元時,日均銷售量減少10件,試計(jì)算該商品在銷售過程中,若每天固定成本為20元,則預(yù)計(jì)單價為多少時,日利潤最大 (

)

元/件 元/件 元/件 元/件【解析】選B.設(shè)單價為(6+x)元,日均銷售量為(100-10x)件,則日利潤y=(6+x-4)(100-10x)-20=-10x2+80x+180=-10(x-4)2+340(0<x<10),所以當(dāng)x=4時,ymax=340,即單價為10元/件時,日利潤最大.3.甲、乙兩人在一次賽跑中,路程y與時間x的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說法正確的是 (

)A.甲比乙先出發(fā) B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙兩人的速度相同 D.甲先到達(dá)終點(diǎn)【解析】選D.根據(jù)圖象可以看出,甲、乙兩人同一時間從同一地點(diǎn)出發(fā),兩人路程一樣,顯然甲所用時間短,所以甲先到達(dá)終點(diǎn).類型一幾種函數(shù)模型增長的差異【典例】1.下列函數(shù)中隨x的增大而增長速度最快的是

(

)

A.y= B.y=100lnxC.y=100x D.y=100·2x2.下表是某次測量中兩個變量x,y的一組數(shù)據(jù),若將y表示為關(guān)于x的函數(shù),則最可能的函數(shù)模型是 (

)x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對數(shù)函數(shù)模型【思維·引】1.根據(jù)不同函數(shù)增長速度的特點(diǎn)判斷.2.利用函數(shù)值y隨x的增大的變化特點(diǎn)判斷.【解析】1.選A.指數(shù)函數(shù)y=ax,在a>1時呈爆炸式增長,并且隨a值的增大,增長速度越快.2.選D.觀察圖表中函數(shù)值y隨自變量x變化規(guī)律,隨著自變量x增加,函數(shù)值也在增加,但是增加的幅度越來越小,所以它最可能的函數(shù)模型為對數(shù)函數(shù).【類題·通】常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升,其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)模型:對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.(4)冪函數(shù)模型:冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.【習(xí)練·破】已知a,b,c,d四個物體沿同一方向同時開始運(yùn)動,假設(shè)其經(jīng)過的路程和時間x的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2,f2(x)=f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果運(yùn)動時間足夠長,則運(yùn)動在最前面的物體一定是 (

)

【解析】選D.根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn),指數(shù)函數(shù)是一個變化最快的函數(shù).當(dāng)運(yùn)動時間足夠長時,最前面的物體一定是按照指數(shù)函數(shù)運(yùn)動的物體.【加練·固】下表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為 (

)x-2-10123y

0.251.013.9916.0563.98A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.對數(shù)函數(shù)模型 D.指數(shù)函數(shù)模型【解析】選D.由表格數(shù)據(jù)可知x每增加1個單位,y的值大約為原來值的4倍,故函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型.【習(xí)練·破】函數(shù)的圖象,如圖所示:(1)試根據(jù)函數(shù)增長差異找出曲線C1,C2對應(yīng)的函數(shù).(2)以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn),對f(x),g(x)的大小進(jìn)行比較.【解析】(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lgx.(2)當(dāng)x<x1時,g(x)>f(x);當(dāng)x1<x<x2時,f(x)>g(x);當(dāng)x>x2時,g(x)>f(x).【加練·固】函數(shù)x,g(x)=lnx+1,h(x)=的圖象如圖所示,試分別指出各曲線對應(yīng)的函數(shù),并以1,a,b,c,d,e為分界點(diǎn)比較三者的大小.【解析】由冪函數(shù)增長介于指數(shù)爆炸與對數(shù)增長之間,可明顯得出曲線C1對應(yīng)的函數(shù)是x,曲線C2對應(yīng)的函數(shù)是h(x)=,曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是g(x)=lnx+1.由圖象可得:當(dāng)x<1時,f(x)>h(x)>g(x);當(dāng)1<x<e時,f(x)>g(x)>h(x);當(dāng)e<x<a時,g(x)>f(x)>h(x);當(dāng)a<x<b時,g(x)>h(x)>f(x);當(dāng)b<x<c時,h(x)>g(x)>f(x);當(dāng)c<x<d時,h(x)>f(x)>g(x);當(dāng)x>d時,f(x)>h(x)>g(x).類型三不同函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用角度1增長曲線的選擇【典例】高為H,滿缸水量為M的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的大致圖象是(

)【思維·引】根據(jù)魚缸的形狀,判斷h變化時水的體積V變化的快慢,選擇變化曲線.【解析】選B.當(dāng)h=H時,體積是M,故排除由H到0變化的過程中,由于水缸中間粗,兩頭細(xì),當(dāng)h<時,V的變化速度越來越快,當(dāng)h>時,V的變化速度越來越慢,綜合分析可知選B.【素養(yǎng)·探】在增長曲線的選擇過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象,根據(jù)變量增長得快慢,想象函數(shù)曲線的變化,從而選擇恰當(dāng)?shù)那€描述實(shí)際問題.本例中,若將魚缸的形狀變?yōu)槿鐖D的形狀,則應(yīng)選擇哪一個曲線?【解析】選D.當(dāng)h=H時,體積是M,故排除由H到0變化的過程中,h<時,V的變化速度越來越慢,當(dāng)h>時,V的變化速度越來越快,綜合分析可知選D.【思維·引】把最大速度代入函數(shù)關(guān)系式,利用對數(shù)運(yùn)算解題.【解析】當(dāng)v=12000時,2000×ln=12000,所以ln=6,所以=e6-1.答案:e6-1【類題·通】1.函數(shù)增長快慢對函數(shù)曲線的影響隨著自變量的增大,如果函數(shù)值增長越來越快,則函數(shù)的圖象越“陡”,類似于指數(shù)函數(shù)的圖象;如果函數(shù)值增長越來越慢,則函數(shù)的圖象越“緩”,類似于對數(shù)函數(shù)的圖象.2.函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用,可根據(jù)增長得快慢特征選擇、建立函數(shù)模型,再利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算解決問題,已經(jīng)給出函數(shù)模型的,則直接代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)計(jì)算解決.【習(xí)練·破】1.如圖所示,液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中,開始時,漏斗盛滿液體,經(jīng)過3分鐘漏完.已知圓柱中液面上升的速度是一個常量,H是圓錐形漏斗中液面下落的高度,則H與下落時間t(分)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是 (

)【解析】選B.由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口,因?yàn)閳A柱中液面上升的速度是一個常量,即漏斗中液體漏出的速度是一定的,因此H增長的速度越來越大.2.家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化,滿足關(guān)系式Q