計算方法第四章4-6節(jié)課件

4.4

牛頓法

4.4.1

牛頓法及其收斂性

設已知方程有近似根（假定)，將函數(shù)在點展開，有于是方程可近似地表示為（4.1）

牛頓法是一種線性化方法，逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解.其基本思想是將非線性方程1這是個線性方程，記其根為，則的計算公式為（4.2）這就是牛頓(Newton)法.幾何解釋：

方程的根可解釋為曲線與軸的交點的橫坐標圖4-3（圖4-3).2設是根的某個近似值，過曲線上橫坐標為的點引切線，并將該切線與軸的交點的橫坐標作為的新的近似值.注意到切線方程為這樣求得的值必滿足（4.1），從而就是牛頓公式（4.2）的計算結(jié)果.由于這種幾何背景，牛頓法也稱切線法.由定理4，可以直接得到牛頓法的收斂性.（4.2）（4.1）3由于假定是的一個單根，即，則由上式知

(4.2)的迭代函數(shù)為在根的鄰近是平方收斂的.于是依據(jù)定理4可以斷定，牛頓法又因（4.2）4故由（2.9）可得（4.3）

例7（4.4）

解取迭代初值，迭代結(jié)果列于表7-5中.用牛頓法解方程這里牛頓公式為所給方程（4.4）實際上是方程的等價形式.（2.9）5

若用不動點迭代到同一精度可見牛頓法的收斂速度是很快的.要迭代17次.6

4.4.2

牛頓法應用舉例

對于給定的正數(shù)，應用牛頓法解二次方程可導出求開方值的計算程序（4.5）這種迭代公式對于任意初值都是收斂的.事實上，對（4.5）式施行配方手續(xù)，易知7以上兩式相除得據(jù)此反復遞推有（4.6）記8對任意，總有，時，

解取初值，對按（4.5）式迭代3次便得到精度為的結(jié)果

例8求.整理（4.6）式，得故由上式推知，即迭代過程恒收斂.當（見表4-6).（4.6）（4.5）9由于公式（4.5）對任意初值均收斂，并且收斂的速度很快，因此可取確定的初值,如編成通用程序.（4.5）10

4.4.3

簡化牛頓法與牛頓下山法

牛頓法缺點：（1）每步迭代要計算及，計算量較大且有時計算較困難；（1）簡化牛頓法，（4.7）迭代函數(shù)（2）初始近似只在根附近才能保證收斂，如給的不合適可能不收斂.其迭代公式為也稱平行弦法.牛頓法優(yōu)點：收斂快；11若在根附近成立，即取則迭代法（4.7）局部收斂.在（4.7）中取，則稱為簡化牛頓法，這類方法計算量省，但只有線性收斂，其幾何意義是用平行弦與軸交點作為的近似.如圖4-4所示.圖4-4即（4.7）（4.7）12（2）牛頓下山法.牛頓法收斂性依賴初值的選取.如果偏離所求根較遠，則牛頓法可能發(fā)散.例如，用牛頓法求方程（4.8）在附近的一個根.設取迭代初值，用牛頓法公式（4.9）計算得13迭代3次得到的結(jié)果有6位有效數(shù)字.但如果改用作為迭代初值，則依牛頓法公式（4.9）迭代一次得這個結(jié)果反而比更偏離了所求的根.為了防止迭代發(fā)散，對迭代過程再附加一項要求，即具有單調(diào)性：（4.10）滿足這項要求的算法稱下山法.（4.9）14

將牛頓法與下山法結(jié)合起來使用，即在下山法保證函數(shù)值穩(wěn)定下降的前提下，用牛頓法加快收斂速度.將牛頓法的計算結(jié)果與前一步的近似值適當加權平均作為新的改進值（4.11）其中稱為下山因子，（4.12）(4.12)稱為牛頓下山法.（4.11）即為15選擇下山因子時從開始，逐次將減半進行試算，若用此法解方程（4.8），當時由（4.9）求得直到能使下降條件（4.10）成立為止.，它不滿足條件（4.10）.通過逐次取半進行試算，當時可求得此時有，顯然.而由計算時,均能使條件（4.10）成立.計算結(jié)果如下：（4.10）（4.9）（4.8）（4.10）（4.10）16即為的近似.則可得到，從而使收斂.一般情況只要能使條件（4.10）成立，（4.10）17

4.4.4

重根情形

設，整數(shù)，則為方程的重根，只要仍可用牛頓法（4.2）計算，此時迭代函數(shù)的導數(shù)為此時有且，所以牛頓法求重根只是線性收斂.（4.2）18則.（4.13）求重根，則具有2階收斂，但要知道的重數(shù)

.構(gòu)造求重根的迭代法，還可令，若是的重根，則若取用迭代法Ⅰ：

19從而可構(gòu)造迭代法Ⅱ：

（4.14）它是2階收斂的.故是的單根.對它用牛頓法，其迭代函數(shù)為20

例9方程的根是二重根，

解（1）牛頓法用上述三種方法求根.先求出三種方法的迭代公式：（2）用（4.13）式（3）用（4.14）式取初值，計算結(jié)果如表7-7.（4.13）21從結(jié)果看出，經(jīng)過三步計算，方法（2）及（3）均達到10位有效數(shù)字，而由于牛頓法只有線性收斂，所以要達到同樣精度需迭代30次.224.5

弦截法當函數(shù)比較復雜時，計算往往較困難，值的計算.為此可以利用已求函數(shù)值來回避導數(shù)還要算.用牛頓法求方程的根，每步除計算外，23

設是的近似根，利用構(gòu)造一次插值多項式，并用的根作為新的近似根.（5.1）由于因此有（5.2）24（5.2）可以看作將牛頓公式中的導數(shù)用差商取代的結(jié)果.接著討論幾何意義.曲線上橫坐標為的點分別記為，則弦線的斜率等于差商值,25按（5.2)式求得的實際上是弦線與軸交點的橫坐標.表4-5這種算法因此而稱為弦截法.其方程為（5.2）26而弦截法（5.2），在求時要用到前面兩步的結(jié)果，弦截法與切線法（牛頓法）都是線性化方法，但兩者有本質(zhì)的區(qū)別.切線法在計算時只用到前一步的值.因此使用這種方法必須先給出兩個開始值.

例10

解用弦截法解方程設取作為開始值，用弦截法求得的結(jié)果見表4-8，（5.2）27實際上，弦截法具有超線性的收斂性.比較例7牛頓法的計算結(jié)果可以看出，弦截法的收斂速度也是相當快的.

定理6這里是方程的正根.假設在根的鄰域內(nèi)且對任意有，具有二階連續(xù)導數(shù)，那么當鄰域Δ充分小時，又初值階收斂到根.弦截法（5.2）將按（5.2）284.6

解非線性方程組的牛頓迭代法

考慮方程組（6.1）其中均為的多元函數(shù).用向量記號記,（6.2）(6.1）就可寫成29非線性方程組求根問題是前面介紹的方程（即）求根的直接推廣.若已給出方程（6.2）的一個近似根，將函數(shù)的分量在用多元函數(shù)的非線性函數(shù)時，稱方程組（6.1）為非線性方程組.當，且中至少有一個是自變量只要把前面介紹的單變量函數(shù)看成向量函數(shù)則可將單變量方程求根方法推廣到方程組（6.2）.泰勒展開，并取其線性部分，則可表示為（6.2）30令上式右端為零，得到線性方程組（6.3）其中（6.4）31求解線