湖南省長沙市黃興中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖南省長沙市黃興中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若隨機(jī)變量x～N（1，4），P（x≤0）=m，則P（0＜x＜2）=（） A．1﹣2m B． C． D． 1﹣m參考答案：A略2.甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借A、B、C、D四類課外書（每類課外書均有若干本），已知每人均只借閱一本，每類課外書均有人借閱，且甲只借閱A類課外書，則不同的借閱方案種類為（

）A．48

B．54

C．60

D．72參考答案：C分兩類：乙、丙、丁、戊四位同學(xué)、、、四類課外書各借1本，共種方法；乙、丙、丁、戊四位同學(xué)、、三類課外書各借1本，共有中方法，故方法總數(shù)為60種.故選C.

3.函數(shù)的圖像大致為（

）參考答案：D4.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差為d，則“d=2”是“a1，a2，a4成等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】把a(bǔ)2，a4用公差d和常數(shù)表示，再由a1，a2，a4成等比數(shù)列列式求得d．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的公差為d，∴a2=d+2，a4=3d+2，又a1，a2，a4成等比數(shù)列，∴（d+2）2=2（3d+2），解得：d=2或0，故選：A．5.函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為

A．（0,1）

B．（1,2）

C．（2,3）

D．（3,4）參考答案：B6.函數(shù)的最小正周期為（

）A.π B.2π C.3π D.4π參考答案：A【分析】把，化成或者形式，然后根據(jù)公式,可以直接求解。【詳解】由，可得：，，所以本題選A?！军c(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式、輔助角公式、周期公式。7.若執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，那么輸出的值是A.B.2C.D.參考答案：B8.已知數(shù)列的前項和為，，，則為(

)A.50 B.55 C.100 D.110參考答案：D9.已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，則（）A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2αC．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式化簡所給的條件，可得結(jié)論．【解答】解：∵已知sinθ+cosθ=2sinα，則1+sin2θ=4sin2α，即sin2θ=4sin2α﹣1，又sin2θ=2sin2β，∴4sin2α﹣1=2sin2β，即4?﹣1=2?，即cos2β=2cos2α，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.命題“”的否定為

（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（x+3），則f（﹣1）=．參考答案：﹣2考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)給出的函數(shù)解析式求出f（1）的值，然后利用函數(shù)的奇偶性求f（﹣1）．解答：解：因為當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（x+3），所以f（1）=log2（1+3）=2．又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案為﹣2．點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．12.等差數(shù)列的前項和為Sn，a3=3，S4=10，則

．參考答案：設(shè)首項為，公差為．則求得，，則，13.如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是

.

參考答案：.試題分析：根據(jù)程序框圖可得計算出的為：，為了計算，當(dāng)時，代替，并用代替，進(jìn)入下一次運(yùn)算；而當(dāng)時，代替，恰好，用代替得，，在這次運(yùn)算中結(jié)束循環(huán)體并輸出的值，因此，判斷框內(nèi)應(yīng)填.考點(diǎn)：程序框圖.14.若函數(shù)有六個不同的單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是_______________．參考答案：(2,3)略15.若函數(shù)的最小正周期是π，則實數(shù)=__________．參考答案：±2函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）最小正周期是,即所以±2故答案為±2

16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則

．參考答案：由函數(shù)圖象可知函數(shù)的周期，又則，則則

17.我校計劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件則我校招聘的教師人數(shù)最多是

名.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該年級抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這100名學(xué)生每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到頻率分布直方圖（部分）如圖．（Ⅰ）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表；并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生50

住宿生10

總計60

100K2=參考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①組、第②組、第③組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．（2）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），推導(dǎo)出第①組1人，第②組4人，第③組10人，從而X的所有可能取值為0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表如下：

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生502575住宿生101525總計6040100…K2=≈5.556…由于K2＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（2）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖可知：P1=×30=，P2=×30=，P3=×30=，∴第①組1人，第②組4人，第③組10人．…則X的所有可能取值為0，1，2，3，，∴，…..∴X的分布列為：P0123X．…..19.已知集合A是函數(shù)y=lg（20+8x﹣x2）的定義域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B，（Ⅰ）若A∩B=?，求a的取值范圍；（Ⅱ）若￢p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算；2E：復(fù)合命題的真假；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】（Ⅰ）分別求函數(shù)y=lg（20+8x﹣x2）的定義域和不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集化簡集合A，由A∩B=?得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到a的取值范圍；（Ⅱ）求出?p對應(yīng)的x的取值范圍，由?p是q的充分不必要條件得到對應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由條件得：A={x|﹣2＜x＜10}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=φ，則必須滿足所以，a的取值范圍的取值范圍為：a≥9；（Ⅱ）易得：?p：x≥10或x≤﹣2，∵?p是q的充分不必要條件，∴{x|x≥10或x≤﹣2}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，則∴a的取值范圍的取值范圍為：0＜a≤3．20.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求證：AD⊥DC1；（2）求證：A1B//平面ADC1．參考答案：證明：（1）因為AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．

因為平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．

因為DC1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．

（2）(證法一)連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為A1C的中點(diǎn)．因為D為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A1B．

因為OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．

(證法二)取B1C1的中點(diǎn)D1，連結(jié)A1D1，D1D，D1B．則D1C1BD．所以四邊形BDC1D1是平行四邊形．所以D1B//C1D．因為C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可證A1D1//平面ADC1．因為A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．

因為A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．

略21.已知數(shù)列，為常數(shù)，且，為的前項和，且（1）求的值；（2）試判斷是不是等差數(shù)列，若是，求其通項公式；若不是，說明理由。（3）記，求證：參考答案：（1），則（2）由，得：，則，兩式相減可得：，由累積可得：，當(dāng)時也滿足該式，故是是等差數(shù)列（3）由（2）得：，所以，則22.（本小題滿分12分）在中，角的對邊分別為，若．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，的面積為，求邊長．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）或．（Ⅰ）由，得，...............2分即，

.......................................3分在內(nèi),．.....................