考研數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)點(diǎn)建議課件

第三章流體靜力學(xué)3.1作用在流體上的力3.2流體靜力學(xué)基本方程及靜止流場基本特性3.3某些流體靜力學(xué)基本問題3.4靜止流體作用于壁面的總壓力3.5非慣性坐標(biāo)系中的靜止液體2023/7/221內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.1作用在流體上的力3.1.1質(zhì)量力定義作用在流體上的非接觸力，或稱為遠(yuǎn)程力。單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力定義為質(zhì)量力又稱為徹體力f=f（x，y，z，t）

2023/7/222內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.1.2表面力流體微團(tuán)表面單位面積受到的表面力定義為3.1作用在流體上的力2023/7/223內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)2023/7/224內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.1.3靜止流場中的應(yīng)力性質(zhì)靜止流場中的表面力是沿受力面法線方向的正應(yīng)力或法向應(yīng)力靜止流體中的法向應(yīng)力值是各向同性的，即僅僅是空間位置和時(shí)間的標(biāo)量函數(shù)。作用在體積為V、表面積為A的靜止流體團(tuán)上的總表面力為2023/7/225內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.2流體靜力學(xué)基本方程及靜止流場基本特性3.2.1流體靜力學(xué)基本方程靜止的必要條件：對(duì)于如圖所示的流體微團(tuán)，受到的總作用力為根據(jù)奧-高定理2023/7/226內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)2023/7/227內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)根據(jù)流體靜止的必要條件流體靜力學(xué)基本方程2023/7/228內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)基本方程知識(shí)補(bǔ)充2023/7/229內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.2.2靜止流場基本特性一流體靜止時(shí)質(zhì)量力必須滿足的條件兩邊取旋度以上二式，兩邊同時(shí)點(diǎn)積2023/7/2210內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)2質(zhì)量力有勢(shì)不可壓縮流體流體靜力學(xué)基本方程兩邊取旋度流體靜止的必要條件不可壓縮流體靜止的必要條件2023/7/2211內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)根據(jù)矢量定義，不可壓縮流體的質(zhì)量力可表示為流體質(zhì)量力滿足這個(gè)關(guān)系就稱為質(zhì)量力有勢(shì)，U被稱為質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)，因此質(zhì)量力有勢(shì)是不可壓縮流體靜止的必要條件。負(fù)號(hào)表示質(zhì)量力做正功等于質(zhì)量力勢(shì)的減少。靜止條件下，不可壓縮流體的質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)2023/7/2212內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)有勢(shì)質(zhì)量力場中靜止流體的分界面在分界面上在分界面上任意取微元線段dl，則沿該線段的全壓力差為2023/7/2213內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)在分界面上任意處，由于兩種流體的壓力和質(zhì)量力勢(shì)均相等，所以在線段dl上兩種流體的壓力增量和質(zhì)量力勢(shì)增量也相當(dāng)。即兩種不同流體分界面上上的壓力為常數(shù)，即分界面是等壓面、等勢(shì)面2023/7/2214內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)正壓流場定義流體的密度只是壓力的函數(shù)的流場稱為正壓流場。在正壓流場中在等溫過程中正壓流場的流體靜力學(xué)基本方程為兩邊取旋度正壓流場中等壓面與等密度面重合靜止流場基本特性2023/7/2215內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)由于等壓面與等密度面重合，則因此結(jié)論處于靜止的正壓流場，其質(zhì)量力必然有勢(shì)；反之，在質(zhì)量力有勢(shì)的條件下，非正壓流場不可能處于靜止?fàn)顟B(tài)，處于靜止?fàn)顟B(tài)的必然是正壓流場。靜止流場基本特性2023/7/2216內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.3某些流體靜力學(xué)基本問題3.3.1重力場靜止液體中壓力分布與物體受力1重力場中靜止液體的壓力分布2023/7/2217內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)物體所受的浮力——阿基米德定律

完全浸沒或部分浸沒在液體中的物體，要受到液體對(duì)它的作用力，其合力稱為浮力。與靜止液體接觸的物體，其表面所受的浮力為以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，物體所受的合力矩為：2023/7/2218內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)（1）完全浸沒物體的浮力根據(jù)奧—高定理該式表明，物體所受的浮力等于其所排開的液體的重量（重力），方向垂直向上。2023/7/2219內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)（2）部分浸沒物體的浮力如圖所示，且假設(shè)自由液面上的大氣壓是均勻的。浮力的表達(dá)式2023/7/2220內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)（3）浸沒物體的浮力力矩→由此可確定物體的浮力中心2023/7/2221內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)物體的浮力中心設(shè)浮力中心為浮力中心的矢徑為根據(jù)浮力中心的坐標(biāo)為2023/7/2222內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.4

靜止流體作用于壁面的總壓力

在設(shè)計(jì)各種閥、擋水閘、堤壩、容器和校核管道強(qiáng)度時(shí)，會(huì)遇到靜止流體對(duì)固體壁面的總壓力計(jì)算問題，包括平面壁和曲面壁的總壓力計(jì)算。

3.4.1、作用于平面壁上的總壓力

一、確定總壓力的方向：

由流體靜壓強(qiáng)特性知：總壓力方向垂直指向受壓面。二、確定平面壁上所受的總壓力大小：

如圖，一塊任意形狀的平板ab斜放在液體中某一位置，首先選取直角坐標(biāo)系oxy，沿ab取為oy軸，oxy平面與水面的交線取為ox軸。為方便起見，將oxy坐標(biāo)平面連2023/7/2223內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

同平板繞坐標(biāo)原點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)90o如下圖所示。平板面積為A，形心為C，作用點(diǎn)為D（常稱壓力中心），平板斜置的傾角為α，左側(cè)受水壓力，C點(diǎn)液下深度為hc，D點(diǎn)液下深度為hD。在平板上任取一微元面積dA，dA中心在水下的深度為h，作用于平面壁上的總壓力2023/7/2224內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

上述水深與坐標(biāo)平面的坐標(biāo)值間有如下關(guān)系：設(shè)dA上承受的壓力為p，則此微元面積上的總壓力為

因平板上各點(diǎn)的水壓力屬平行力系，可以直接積分。

作用于平面壁上的總壓力2023/7/2225內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)（6）式即為作用于平面壁上總壓力大小計(jì)算公式?？倝毫Υ笮〉扔谄桨逍涡奶帀簭?qiáng)PC與平面壁受壓面積A的乘積。（6）其中是面積A對(duì)x軸的靜面矩，應(yīng)等于

2023/7/2226內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

三、確定總壓力的作用點(diǎn)：假設(shè)受壓面是軸對(duì)稱面（此軸與oy軸平行），則總壓力的作用點(diǎn)必位于此對(duì)稱軸上。所以，這里只需確定yD的值即可確定總壓力的作用點(diǎn)。由理論力學(xué)中的合力矩定理，有：

其中為受壓面積對(duì)ox軸的慣性矩，用表示。根據(jù)慣性矩平行移軸定理有：2023/7/2227內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

其中為該受壓面對(duì)通過它的形心并與x軸平行的軸的慣性矩。于是有

即壓力中心D點(diǎn)一般在形心C點(diǎn)的下面。在工程實(shí)際中，受壓面多為以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱面，yD算出后，壓力中心D的位置就完全確定。若受壓面不是軸對(duì)稱面，則確定yD后尙需確定xD，可類似上述yD的推導(dǎo)來推出xD。

作用于平面壁上的總壓力2023/7/2228內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)——受壓面A對(duì)ox軸的面積二次矩（慣性矩）平行軸定理作用于平面壁上的總壓力2023/7/2229內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)常見圖形的yC和IC圖形名稱矩形三角形2023/7/2230內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)梯形圓半圓2023/7/2231內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

例題：如圖，涵洞進(jìn)口裝有一圓形平板閘門，閘門平面與水平面成60o，鉸接于B點(diǎn)并可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，門的直徑d=1m，門的中心位于上游水面下4m，門重G=980N。當(dāng)門后無水時(shí)，求從A處將門吊起所需的力T。

解：閘門所受水的總壓力P=ρghcAx=9.8×4×π×0.5×0.5×sin60o=26.66kN作用于平面壁上的總壓力2023/7/2232內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)壓力中心D到B的距離B到T的垂直距離B到G的垂直距離根據(jù)理論力學(xué)平衡理論

作用于平面壁上的總壓力2023/7/2233內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)例：封閉容器水面的絕對(duì)壓強(qiáng)P0=137.37kPa，容器左側(cè)開2×2m的方形孔，覆以蓋板AB，當(dāng)大氣壓Pa=98.07kPa時(shí)，求作用于此蓋板的水靜壓力及作用點(diǎn)解：設(shè)想打開封閉容器液面上升高度為60°p01m2mo4my2023/7/2234內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)60°o4myyCyDCD作用于平面壁上的總壓力2023/7/2235內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)2.圖解法依據(jù)作用點(diǎn)：V的形心處——2h/3p0

p0

或作用于平面壁上的總壓力2023/7/2236內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)作壓強(qiáng)分布圖作用于平面壁上的總壓力2023/7/2237內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)作用于平面壁上的總壓力2023/7/2238內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)用分割法求作用點(diǎn)：對(duì)AA’求矩2023/7/2239內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)例：T為何值，才可將閘門打開？（1）用分割法求P大小，作用點(diǎn)為D；（2）對(duì)A點(diǎn)求矩θGlATPD或（從形心C處算起）C2023/7/2240內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

3.4.2.作用在曲面壁上的力工程中承受流體壓力作用的曲面常為二向曲面。因此，現(xiàn)以二向曲面為例求其總壓力。如圖，ab為承受液體壓力的圓柱曲面即二向曲面，其面積為A。自由液面通大氣，即自由液面相對(duì)壓強(qiáng)為零。在曲面ab上任取一微元面積dA，它的液下水深為h，液體作用在微元面積2023/7/2241內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

dA上的總壓力為dP。由于曲面壁上不同微元面積上的作用力的方向不同，因此求總壓力時(shí)不能直接在曲面壁上積分。常將dP進(jìn)行分解，再積分。將dP分解為水平和垂直的兩個(gè)分量dPx、dPz，然后分別在整個(gè)面積A上求積分，得Px、Pz。一、總壓力的水平分力Px

式中：Ax為面積A在yoz平面的投影，為面積Ax對(duì)oy軸的靜面矩，所以

2023/7/2242內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

（8）式即為流體作用在曲面壁上的總壓力水平分力公式。此式說明水平分力等于液體作用在曲面投影面積Ax上的總壓力。二、總壓力的垂直分力Pz

式中Az為面積A在自由液面xoy平面或其延伸面上的投影面積。為以曲面ab為底，投影面積Az為頂以及曲面周邊各點(diǎn)向上投影的所有垂直母線所包圍的一個(gè)空間體積稱為壓力體積，以V表示。

作用在曲面壁上的力2023/7/2243內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

上式說明作用在曲面上總壓力的垂直分力等于壓力體的液重，它的作用線通過壓力體的重心。如果壓力體與受壓面同側(cè)稱為實(shí)壓力體，垂直分力向下，如下圖a所示。如果壓力體與受壓面異側(cè)稱為虛壓力體，垂直分力向上，如下圖b所示。流體作用在曲面上的總壓力是水平分力與垂直分力的合力。大小為：總壓力與x軸之間夾角的正切為：作用在曲面壁上的力2023/7/2244內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

例題：如圖為一溢流壩上的弧形閘門。已知：R=8m，門寬b=4m，α=30o，試求：作用在該弧形閘門上的靜水總壓力。解：閘門所受的水平分力為Px，方向向右即：2023/7/2245內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)閘門所受的垂直分力為Pz，方向向上閘門所受水的總壓力總壓力的方向作用在曲面壁上的力2023/7/2246內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)3.5非慣性坐標(biāo)系中的靜止液體3.5.1、直線等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體如圖，盛有液體的容器在與水平面成α角的斜面由上向下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a。當(dāng)α為零時(shí)，顯然液面為水平面。設(shè)加速度為a時(shí)液面與水平面成β角傾斜。設(shè)定xoz坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的中點(diǎn)相對(duì)于此運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系來說，單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力有兩個(gè)：一是垂直向下的單位質(zhì)量重力，另一是與加速度反向的單位質(zhì)量慣性力。單位質(zhì)量力的三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量2023/7/2247內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)由等壓面方程有將上式積分可得勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的等壓面方程2023/7/2248內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

這是一族平行平面，它們對(duì)水平面的傾角顯然，自由表面還是等壓面，自由表面上的z坐標(biāo)用zs表示，按自由表面的邊界條件x=0，z=0，定出積分常數(shù)c=0，故自由表面方程應(yīng)是2023/7/2249內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

或直線勻加速的相對(duì)平衡液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程積分得出積分常數(shù)可由邊界條件x=0，z=0處p=p0得出于是

為計(jì)壓點(diǎn)在傾斜自由液面下的淹沒深度。2023/7/2250內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

例題：容器內(nèi)盛有液體垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速運(yùn)動(dòng)，試求此時(shí)的自由表面方程和液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。解：自由表面方程由得出現(xiàn)，說明自由表面依然是水平面。壓強(qiáng)分布規(guī)律則由可得出，現(xiàn)由于，并在本情況中，故2023/7/2251內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)例一灑水車以等加速a=0.98m/s2在平地行駛，靜止時(shí)，B點(diǎn)處水深1m，距o點(diǎn)水平距1.5m，求運(yùn)動(dòng)時(shí)B點(diǎn)的水靜壓強(qiáng)解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)aoBzx2023/7/2252內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)例一盛有液體的容器，沿與水平面成α角的斜坡以等加速度a向下運(yùn)動(dòng)，容器內(nèi)的液體在圖示的新的狀態(tài)下達(dá)到平衡，液體質(zhì)點(diǎn)間不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，求液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律解：注意：坐標(biāo)的方向及原點(diǎn)的位置2023/7/2253內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

3.5.2、等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對(duì)平衡

如圖，盛有液體的直立圓柱筒繞其中心軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，由于液體的粘性，使筒內(nèi)液體都以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，此時(shí)液體的自由表面已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面。下面推導(dǎo)這種以等角速度旋轉(zhuǎn)的相對(duì)平衡情況的等壓面方程和壓強(qiáng)分布規(guī)律。取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，z軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn)上。此時(shí)流體所受的質(zhì)量力亦是兩個(gè)：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，與r軸方向一致。2023/7/2254內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量

代入歐拉平衡微分方程綜合式積分得2023/7/2255內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)

由x=0，y=0，z=0處p=p0得c=p0，代入上式整理得這就是等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對(duì)平衡時(shí)壓強(qiáng)分布的一般表達(dá)式。自由表面是一個(gè)等壓面，p=p0=pa=0，并將新自由表面的z坐標(biāo)用zs表示，則自由表面方程為設(shè)p為任一常數(shù)c1，可得各等壓面方程為2023/7/2256內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)可見，等壓面族是一組以圓筒為中心軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。注意：坐標(biāo)原點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后自由面的最底點(diǎn)2023/7/2257內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)應(yīng)用（1）：離心鑄造機(jī)中心開孔ω2023/7/2258內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)工程流體力學(xué)——流體靜力學(xué)例澆鑄生鐵車輪的砂型，已知h=180mm，D=600mm，鐵水密度ρ=7000kg/m3，求M點(diǎn)的壓強(qiáng)；為使鑄件密實(shí)，使砂型以n=600r/min的速度旋轉(zhuǎn)，則M點(diǎn)的壓強(qiáng)是多少？解：當(dāng)砂型旋轉(zhuǎn)壓強(qiáng)增大約100倍2023/7/2259內(nèi)蒙