實(shí)用生物統(tǒng)計(jì)

實(shí)用生物統(tǒng)計(jì)第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1隨機(jī)變量和分布函數(shù)隨機(jī)變量的直觀定義：實(shí)驗(yàn)中得到的取值有隨機(jī)性的量隨機(jī)變量的類型：離散型和連續(xù)型概率分布表，概率函數(shù)，密度函數(shù)分布函數(shù)：設(shè)X為一隨機(jī)變量，則函數(shù)F(x)=P(X<x)(-∞<x<+∞)稱為X的分布函數(shù)。第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月分布函數(shù)的性質(zhì)：不減F(-∞)=0,F(+∞)=1左連續(xù)性第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月概率與密度函數(shù)的關(guān)系：積分概率與分布函數(shù)的關(guān)系：P(a<=X<b)=F(b)-F(a)第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2離散型隨機(jī)變量兩點(diǎn)分布：一次隨機(jī)試驗(yàn)，成功概率為p01qp二項(xiàng)分布：n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次成功概率為p，成功X次的概率為：第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月超幾何分布：對N件產(chǎn)品（其中有M件次品）進(jìn)行不放回抽樣檢查，在n件樣品中的次品數(shù)X的分布是超幾何分布：

0≤k≤n≤N,k≤M

若N>>n,可用二項(xiàng)分布近似。幾何分布：連續(xù)進(jìn)行獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，首次成功時的實(shí)驗(yàn)次數(shù)X的概率分布稱為幾何分布：g(k,p)=P(X=k)=qk-1pk=1,2,3……

第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月負(fù)二項(xiàng)分布：連續(xù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，以X記第k次成功時總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，則X服從負(fù)二項(xiàng)分布:泊松(Poisson)分布：在二項(xiàng)分布中，當(dāng)事件出現(xiàn)概率特別小(p→0)，而實(shí)驗(yàn)次數(shù)又非常多（n→∞），使np→λ（常數(shù)）時，二項(xiàng)分布就趨近于泊松分布，為

x=0,1,2,……第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布的性質(zhì)：1）平穩(wěn)性2）獨(dú)立增量性（無后效性）3）普通性第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布：密度函數(shù)：分布函數(shù)：第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)分布：密度函數(shù)：分布函數(shù)：第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布：密度函數(shù)：分布函數(shù)：第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：密度函數(shù)和分布函數(shù)：正態(tài)分布也可以作為二項(xiàng)分布的極限。當(dāng)n

時，若q,p均不趨于0，此時的二項(xiàng)分布以N(np,npq）為其極限。第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)X～N(μ，σ2)，令

則U~N(0,1)，即：第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4隨機(jī)向量例2.3袋中裝有4只白球和6只黑球，有放回摸球二次，令每次摸到白球記為1，摸到黑球記為0，則有如下的二維隨機(jī)變量：取值:（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）概率：

第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月若改為不放回摸球，則二維隨機(jī)變量改為：取值：（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）概率：連續(xù)型：第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月多維隨機(jī)變量與聯(lián)合分布函數(shù)定義：稱n元函數(shù)F（x1,x2,…xn）=P(X1<x1,X2<x2,…Xn<xn)為n維隨機(jī)變量（X1，X2，…Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)。P(a1≤X1<b1,a2≤X2<b2）=F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月邊際分布：分量子集所服從的分布。聯(lián)合分布可以決定邊際分布，反之則不成立。隨機(jī)變量的獨(dú)立性：設(shè)F(x1,x2,…xn)為隨機(jī)向量X=(X1,X2,…

Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)，若對任意x1,x2,…xn，有：F(x1,x2,…xn)=F1(x1)·F2(x2)…Fn(xn)

則稱隨機(jī)變量X1,X2,…Xn互相獨(dú)立。

第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征射手甲、乙，誰的成績好？擊中環(huán)數(shù)8910甲的概率0.30.10.6乙的概率0.20.50.3甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，它取值為x1,x2,x3…，對應(yīng)的概率為p1,p2,p3…，若級數(shù)絕對收斂，則把它的極限稱為X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E(X)。反之，若不絕對收斂，則說X的數(shù)學(xué)期望不存在。

第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月二項(xiàng)分布：

第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何分布：

Pk=qk-1p，k=1,2,……

第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布：

第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為f(x),當(dāng)積分

絕對收斂時，我們稱它的極限為X的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記為E(X)。若積分不絕對收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。

第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布：第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布：

（令，則）第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和運(yùn)算（C，K為常數(shù)）

性質(zhì)：E（C）=CE（X+C）=E（X）+CE（KX）=K·E（X）

E（KX+C）=K·E（X）+C證：令g(X)=KX+C，則：X若為連續(xù)型，設(shè)f(x)為其密度函數(shù)，有：

第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月X若為離散型：設(shè)P(xi)=pi，有：其余各式均為此式的特例。運(yùn)算：若X1，X2，…Xn期望均存在，則：E（a1X1+a2X2+…+anXn）=a1E(X1)+a2E(X2)+…+anE(Xn)第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

離散型：X的概率分布為：P(X=xi)=pi,，Y=g(X)為

X的函數(shù)，則

Y的期望為：連續(xù)型：X的分布密度函數(shù)為：f(x)；Y=g(X)為X的函數(shù)，則若積分絕對收斂，則稱其值為Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望，記為E(g(X))。

第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的定義定義：若E(X-E(X))2存在，則稱它為隨機(jī)變量的方差，并記為D(X)。稱為X的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差。證明：D(X)=E(X2)-[E(X)]2證：D(X)=E(X-E(X))2=E[X2-2X·E(X)+(E(X))2]=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月兩點(diǎn)分布：X：10E(X)=pP：pqD(X)=E[X-E(X)]2=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq二項(xiàng)分布：P(X=i)=pi=第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（第二項(xiàng)是均值，令k=i-2）∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=n(n-1)p2+np-n2p2=np-np2

=npq第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何分布：P（X=i）=pi=qi-1p,i=1,2,……

E(X)=1/p第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

∴第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布：第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻分布：E(X)=(a+b)/2第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布：E(X)=μ第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的性質(zhì):(C,K為常數(shù))證：只需證明最后一式：第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)向量的期望和方差定義：隨機(jī)向量X=（x1,x2,…xn）的數(shù)學(xué)期望為(E(x1),E(x2),…E(xn))，方差為（D(x1),D(x2),…D(xn)）,其中E(xi)和D(xi)分別代表xi服從的邊際分布的數(shù)學(xué)期望和方差。第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差定義：對兩個隨機(jī)變量X，Y，稱E[(X-E(X))(Y-E(X))]為它們的協(xié)方差，記為COV(X，Y)?？梢宰C明，若X1，X2的方差存在，它們的協(xié)方差也存在。相關(guān)系數(shù)定義：稱為X1，X2的相關(guān)系數(shù)，記為r12。第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）對相關(guān)系數(shù)r,有：|r|≤1當(dāng)|r|=1時，意味著兩隨機(jī)變量有線性關(guān)系：（K，C為常數(shù)，K>0）r=1,X1=KX2+Cr=-1,X1=-KX2+C第46頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)若r=0,則稱X1與X2不相關(guān)。下列事實(shí)等價：(i)cov(X1，X2)=0(ii)

X1與X2不相關(guān)(iii)

E(X1·X2)=E(X1)·E(X2)(iv)

D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)第47頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：（i）與(ii)等價顯然?！遚ov(X1，X2)=E[(X1-E(X1))·(X2–E(X2))]=E[X1X2-X1·E(X2)-X2·E(X1)+E(X1)·E(X2)]=E(X2X2)-E(X1)·E(X2)∴(i),(iii)等價D(X1+X2)=E[X1-E(X1)+X2–E(X2)]2=E[(X1-E(X1))2+(X2–E(X2))2+2(X1-E(X1))(X2–E(X2))]=D(X1)+D(X2)+2cov(X1,X2)∴（i）與(iv)等價第48頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)若X，Y獨(dú)立，則X，Y不相關(guān)，但逆不成立。n個隨機(jī)變量的期望和方差：若X1，X2…Xn不相關(guān)，則：E(X1·X2…Xn)=E(X1)·E(X2)…E(Xn)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)第49頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月矩原點(diǎn)矩：對正整數(shù)k,mk=E(Xk)稱為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩。數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩。中心矩：對正整數(shù)k，Ck=E(X-E(X))k稱為隨機(jī)變量X的k階中心矩。方差是二階中心矩。

第50頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月其他數(shù)字特征中位數(shù)：是同時滿足P(X≥x)