復(fù)變函數(shù)與積分變換4.2泰勒級數(shù)_第1頁
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§3泰勒級數(shù)定理(泰勒展開定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時,設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個圓周,把它記作K,它與它的內(nèi)部全含于D,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.z0Kzrz唯一性：任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù).利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級數(shù),這被稱作直接展開法。如例如,求ez

在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)

=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級數(shù).因?yàn)?/p>

例1

把函數(shù)展開成z的冪級數(shù).例2求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級數(shù).-1OR=1xy注：而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個奇點(diǎn)i,而這兩個奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.

在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),

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