模糊計(jì)算和模糊推理

模糊計(jì)算和模糊推理經(jīng)典二值（布爾）邏輯在經(jīng)典二值（布爾）邏輯體系中，所有的分類都被假定為有明確的邊界；（突變）任一被討論的對象，要么屬于這一類，要么不屬于這一類；一個(gè)命題不是真即是假，不存在亦真亦假或非真非偽的情況。（確定）1天氣冷熱雨的大小風(fēng)的強(qiáng)弱人的胖瘦年齡大小個(gè)子高低2模糊數(shù)學(xué)模糊概念模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間無明顯分界線年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨。模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。3模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與基本思想產(chǎn)生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發(fā)表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個(gè)人屬于聰明的程度為0.8,另一個(gè)人屬于聰明的程度為0.3等.4模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展1975年之前，發(fā)展緩慢；1980以后發(fā)展迅速；1990-1992FuzzyBoom

雜志種類1978年，Int.J.ofFuzzySetsandSystems每年1卷共340頁，1999年8卷每卷480頁Int.J.ofApproximateReasoningInt.J.FuzzyMathematicsInt.J.Uncertainty,Fuzziness,knowledge-basedSystems5IEEE系列雜志主要雜志25種，涉及模糊內(nèi)容20,000余種

國際會(huì)議IFSA(Int.FuzzySystemsAssociation)EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU模糊代數(shù)，模糊拓?fù)?，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支

涉及學(xué)科分類、識(shí)別、評(píng)判、預(yù)測、控制、排序、選擇；6模糊產(chǎn)品洗衣機(jī)、攝象機(jī)、照相機(jī)、電飯鍋、空調(diào)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟(jì)、文學(xué)、音樂7國內(nèi)狀況1976年傳入我國1980年成立中國模糊數(shù)學(xué)與模糊系統(tǒng)學(xué)會(huì)1981年創(chuàng)辦《模糊數(shù)學(xué)》雜志1987年創(chuàng)辦《模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)》雜志我國已成為全球四大模糊數(shù)學(xué)研究中心之一（美國、西歐、日本、中國）8為什么研究模糊數(shù)學(xué)人工智能的要求取得精確數(shù)據(jù)不可能或很困難沒有必要獲取精確數(shù)據(jù)模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科，而且也形成了一種嶄新的思維方法，它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維，使得模糊推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，模糊理論和模糊技術(shù)將對于人類社會(huì)的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用。9模糊性與隨機(jī)性之區(qū)別隨機(jī)性事件本身具有明確含意事件是否出現(xiàn)的不確定性[0,1]上概率分布函數(shù)描述模糊性事物的概念本身是模糊的概念的外延的模糊－不確定性：模糊性[0,1]上的隸屬函數(shù)描述101.1經(jīng)典集合集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。所謂集合，是指具有某種特定屬性的對象的全體。討論某一概念的外延時(shí)總離不開一定的范圍。這個(gè)討論的范圍，稱為“論域”，論域中的每個(gè)對象稱為“元素”。1模糊數(shù)學(xué)理論11表示集合的幾種方法（1）列舉法：列寫出集合中的全體元素。適用于元素有限的集合。（2）定義法：以集合中元素的共性來描述集合的一種方法。適用于有許多元素而不能一一列舉的集合。模糊數(shù)學(xué)理論12集合的特征函數(shù)：設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對任意，令則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。模糊數(shù)學(xué)理論13例：設(shè)有論域：U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，求其特征函數(shù)。解：特征函數(shù)如下：

1當(dāng)u=1,3,5CA(u)=0當(dāng)u=2,4{14

稱為F的隸屬函數(shù)，稱為u對A的隸屬度。模糊子集F完全由其隸屬函數(shù)所刻畫。隸屬函數(shù)把U中的每一個(gè)元素都映射為[0,1]上的一個(gè)值，表示該元素隸屬于F的程度，值越大表示隸屬的程度越高。當(dāng)?shù)闹祪H為0或1時(shí)，模糊子集F就退化為一個(gè)普通的集合，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)。15例：設(shè)有論域：U={高山，劉水，秦聲}

確定一個(gè)模糊集A，以表示他們分別對“學(xué)習(xí)好”的隸屬程度。

假設(shè)他們的平均成績分別為：98分，72分，86分，設(shè)映射為平均成績除以100。則有隸屬度：μA(高山)=0.98，μA(劉水)=0.72，μA(秦聲)=0.86模糊集A={0.98,0.72,0.86}對于一般的模糊子集A可表示為A={μ1,μ2,…,μn},其中μi表示論域中第i個(gè)元素對A的隸屬度。16171.3模糊集的扎德表示法若U為離散域，即論域U是有限集合時(shí)，模糊集合可以表示為：123“/”不是表示相除，它只是一個(gè)記號(hào)，其分母是論域中的元素，分子是該元素對模糊子集F的隸屬度。也不是表示相加，它只是一個(gè)記號(hào)。18μF(ui)/ui表示ui對模糊集F的隸屬度。當(dāng)某個(gè)隸屬度為0時(shí)，可以略去不寫。如：A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.5/u4B=1/u1+0.7/u2+0.5/u4它們是相同的模糊集。19無論論域是有限的還是無限的，連續(xù)的還是離散的，扎德都用如下記號(hào)作為模糊子集的一般表示形式：這里的積分號(hào)不是數(shù)學(xué)中的積分，也不是求和，只是表示論域中各元素與其隸屬度對應(yīng)關(guān)系的總括，是一個(gè)記號(hào)。2021220.523例：設(shè)U={u1,u2,u3}A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3求：A∩B,A∪B及24解：A∩B=0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3A∪B=0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3=0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u32526μA(u)μA(u)μA(u)>0}μA(u)=1}

截集是把模糊集向普通集合轉(zhuǎn)化的一個(gè)重要概念。271.5模糊集的截集281.5模糊集的截集例:設(shè)有模糊集：

A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且λ分別為1，0.6，0.5，0.3,分別求其相應(yīng)的λ截集、核及支集。29解：（1）λ截集A1={u3}A0.6={u2,u3,u4}A0.5={u2,u3,u4,u5}A0.3={u1,u2,u3,u4,u5}（2）核、支集KerA={u3}SuppA={u1,u2,u3,u4,u5}A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5302普通集合上的“關(guān)系”笛卡爾乘積(直積，代數(shù)積)

設(shè)U與V是兩個(gè)集合，則稱

U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}為U與V的笛卡爾乘積。若R是U×V上的一個(gè)子集，則稱R為從U到V的一個(gè)關(guān)系。記為：對于U×V中的元素(u,v)，若(u,v)∈R，則稱u與v有關(guān)系R，否則，稱U與v沒有關(guān)系R。

312普通集合上的“關(guān)系”例3、設(shè)U={紅桃，方塊，黑桃，梅花}V={A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J,Q,K}求U×V解：U×V＝{(紅桃，A)，（紅桃,2），……，（梅花,K）}，共52個(gè)元素。323模糊關(guān)系在普通集合上定義的“關(guān)系”都是確定性關(guān)系，u和v或者有某種關(guān)系，或者沒有這種關(guān)系。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中，很多事物的關(guān)系并不是十分明確的，如：人與人之間的相像關(guān)系，人與事物之間的愛好關(guān)系等。33模糊二元關(guān)系R是以U×V為論域的一個(gè)模糊子集，序偶(u,v)的隸屬度為uR(u,v)343模糊關(guān)系對于有限論域U={u1,u2,…,um}，V={v1,v2,…,vn},則U對V的模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)可以用m×n階模糊矩陣R來表示，即

R=(rij)m×n353模糊關(guān)系例：設(shè)有一組學(xué)生U:U={張三，李四，王五

}他們對球類運(yùn)動(dòng)V:V={籃球，排球，足球，乒乓球

}有不同的愛好，其愛好程度可以用下面的模糊關(guān)系來表示：36：U與V可以是相同的論域，此時(shí)，稱R為U上的模糊關(guān)系。37模糊集的笛卡爾乘積模糊集A和B的笛卡爾乘積為：38模糊關(guān)系的合成3940

設(shè)R1與R2分別是U×V及V×W上的兩個(gè)模糊關(guān)系，則R1與R2的合成是指從U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，記為：R1°R2其隸屬函數(shù)為

μR1°R2

(u,w)={μR1(u,v)μR2(v,w)}模糊關(guān)系的合成41例：設(shè)有如下兩個(gè)模糊關(guān)系：

0.40.50.1R1=0.20.60.20.50.30.20.20.8R2=0.40.60.60.4求R1°R2

()()方法：取R1的第i行元素分別與R2的第j列的對應(yīng)元素相比較，兩個(gè)數(shù)中取其小者，然后再在所得的一組最小數(shù)中取最大的一個(gè)，并以此數(shù)作為

R1°R2第i行第j列的元素。42

模糊推理

模糊命題1張三是一個(gè)年輕人。2李四的身高為1.75m左右。3他考上大學(xué)的可能性在60％左右。4明天八成是個(gè)好天氣。5今年冬天不會(huì)太冷的可能性很大。模糊概念模糊數(shù)據(jù)對相應(yīng)事件發(fā)生的可能性或確信程度作出判斷。43

模糊推理

模糊命題含有模糊概念、模糊數(shù)據(jù)的語句稱為模糊命題。它的一般表示形式為：x is A

或者 x is A (CF)

其中，A是模糊概念或者模糊數(shù)，用相應(yīng)的模糊集及隸屬函數(shù)刻畫；x是論域上的變量，用以代表所論述對象的屬性；CF是該模糊命題的可信度，它既可以是一個(gè)確定的數(shù)，也可以是一個(gè)模糊數(shù)或者模糊語言值。44模糊謂詞設(shè)x∈U，F(xiàn)為模糊謂詞，即U中的一個(gè)模糊關(guān)系，則模糊命題可表示為

xisF其中的模糊謂詞F可以是大、小、年輕、年老、冷、暖、長、短等。模糊量詞模糊邏輯中使用的模糊量詞，如極少、很少、幾個(gè)、少數(shù)、多數(shù)、大多數(shù)、幾乎所有等。這些模糊量詞可以很方便地描述類似于下面的命題：大多數(shù)成績好的學(xué)生學(xué)習(xí)都很刻苦。很少有成績好的學(xué)生特別貪玩。模糊概率、模糊可能性和模糊真值設(shè)λ為模糊概率，π為模糊可能性，τ為模糊真值，則對命題還可以附加概率限定、可能性限定和真值限定：

(xisF)isλ(xisF)isπ(xisF)isτ其中，λ可以是“或許”、“必須”等；π可以是“非?？赡堋薄ⅰ昂懿豢赡堋钡?；τ可以是“非常真”、“有些假”等。例如，“常青很可能是年輕的”可表示為

(Age(Chang

qing)isyoung)islikely模糊知識(shí)的表示45模糊修飾語設(shè)m是模糊修飾語，x是變量，F(xiàn)謂模糊謂詞，則模糊命題可表示為xismF，模糊修飾語也稱為程度詞，常用的程度詞有“很”、“非?！?、“有些”、“絕對”等。模糊修飾語的表達(dá)主要通過以下四種運(yùn)算實(shí)現(xiàn)：①求補(bǔ)

表示否定，如“不”、“非”等，其隸屬函數(shù)的表示為

②集中

表示“很”、“非?！钡?，其效果是減少隸屬函數(shù)的值：

③擴(kuò)張表示“有些”、“稍微”等，其效果是增加隸屬函數(shù)的值：

模糊知識(shí)的表示46

④加強(qiáng)對比

表示“明確”、“確定”等，其效果是增加0.5以上隸屬函數(shù)的值，減少0.5以下隸屬函數(shù)的值：

則“非常真”、“有些真”、“非常假”、“有些假”可定義為

在以上4種運(yùn)算中，集中與擴(kuò)張用的較多。例如，語言變量“真實(shí)性”取值“真”和“假”的隸屬函數(shù)定義為：

模糊知識(shí)的表示47模糊知識(shí)的表示（1）模糊產(chǎn)生式規(guī)則的一般形式是：IF E THEN H (CF,λ)其中，E是用模糊命題表示的模糊條件；H是用模糊命題表示的模糊結(jié)論；CF是知識(shí)的可信度因子，它既可以是一個(gè)確定的數(shù)，也可以是一個(gè)模糊數(shù)或模糊語言值。λ是匹配度的閾值，用以指出知識(shí)被運(yùn)用的條件。例如：IF xisATHENyisB(CF,λ)（2）推理中所用的證據(jù)也用模糊命題表示，一般形式為x is A’或者x is A’ (CF)（3）模糊推理要解決的問題：證據(jù)與知識(shí)的條件是否匹配；如果匹配，如何利用知識(shí)及證據(jù)推出結(jié)論。

48模糊匹配與沖突消解在模糊推理中，知識(shí)的前提條件中的A與證據(jù)中的A’不一定完全相同，因此首先必須考慮匹配問題。例如：IF xis小 THEN yis大 (0.6) xis較小兩個(gè)模糊集或模糊概念的相似程度稱為匹配度。常用的計(jì)算匹配度的方法主要有貼近度、語義距離及相似度等。1.貼近度設(shè)A與B分別是論域U={u1,u2,…,un}上的兩個(gè)模糊集，則它們的貼近度定義為：(A,B)=[A?B+(1-A⊙B)]/2其中內(nèi)積外積492.語義距離(1)海明距離(2)歐幾里得距離(3)明可夫斯基距離(4)切比雪夫距離匹配度為：1-d(A,B)503.相似度(1)最大最小法(2)算術(shù)平均法(3)幾何平均最小法51(4)相關(guān)系數(shù)法(5)指數(shù)法52匹配度舉例設(shè)U={a,b,c,d}A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d貼近度：A?B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7)=0.7A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0.7)=0.3(A,B)=1/2[A?B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.753匹配度舉例設(shè)U={a,b,c,d}A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d海明距離：d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075(A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.92554匹配度舉例設(shè)U={a,b,c,d}A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d相似度：最大最小法：r(A,B)=((0.3∧0.2)+(0.4∧0.5)+(0.6∧0.6)+(0.8∧0.7))/((0.3∨0.2)+(0.4∨0.5)+(0.6∨0.6)+(0.8∨0.7))=1.9/2.2=0.8655(1)分別計(jì)算出每一個(gè)子條件與其證據(jù)的匹配度例如對復(fù)合條件E=x1isA1ANDx2isA2ANDx3isA3及相應(yīng)證據(jù)E’:x1isA’1,x2isA’2,x3isA’3分別算出Ai與A’i的匹配度δmatch(Ai,A’i),i=1,2,3。復(fù)合條件的模糊匹配56(2)求出整個(gè)前提條件與證據(jù)的總匹配度。目前常用的方法有“取極小”和“相乘”等。δmatch(E,E’)=min{δmatch(A1,A’1),δmatch(A2,A’2),δmatch(A3,A’3)}δmatch(E,E’)=δmatch(A1,A’1)×δmatch(A2,A’2)×δmatch(A3,A’3)(3)檢查總匹配度是否滿足閾值條件，如果滿足就可以匹配，否則為不可匹配。復(fù)合條件的模糊匹配57模糊推理模糊推理實(shí)際上是按照給定的推理模式，通過模糊集合與模糊關(guān)系的合成來實(shí)現(xiàn)的。主要討論：模糊關(guān)系的構(gòu)造模糊推理的基本方法58模糊關(guān)系Rm

Rm是由扎德提出的一種構(gòu)造模糊關(guān)系的方法。設(shè)F和G分別是論域U和V上的兩個(gè)模糊集，則Rm定義為其中，×號(hào)表示模糊集的笛卡爾乘積。例6.19

設(shè)U=V={1，2，3}，F(xiàn)和G分別是U和V上的兩個(gè)模糊集，且F=1/1+0.6/2+0.1/3,G=0.1/1+0.6/2+1/3，求U×V上的Rm

解：模糊推理1.模糊關(guān)系的構(gòu)造(1/3)如：Rm(2,3)=(0.6∧1)∨(1-0.6)=0.6∨0.4=0.659模糊關(guān)系Rc

Rc是由麥姆德尼(Mamdani)提出的一種構(gòu)造模糊關(guān)系的方法。設(shè)F和G分別是論域U和V上的兩個(gè)模糊集，則Rc義為

例：對例6.12所給出的模糊集

F=1/1+0.6/2+0.1/3,G=0.1/1+0.6/2+1/3其Rc為如Rc(3,2)：

模糊推理1.模糊關(guān)系的構(gòu)造(2/3)60

模糊關(guān)系Rg

Rg是米祖莫托(Mizumoto)提出的一種構(gòu)造模糊關(guān)系的方法。設(shè)F和G分別是論域U和V上的兩個(gè)模糊集，則Rg定義為其中

例：對例6.12所給出的模糊集

F=1/1+0.6/2+0.1/3,G=0.1/1+0.6/2+1/3其Rg為模糊推理1.模糊關(guān)系的構(gòu)造(3/3)61模糊假言推理設(shè)F和G分別是U和V上的兩個(gè)模糊集，且有知識(shí)

IFxisFTHENyisG若有U上的一個(gè)模糊集F'，且F可以和F'匹配，則可以推出yisG'

，且G'是V上的一個(gè)模糊集。這種推理模式稱為模糊假言推理，其表示形式為：知識(shí)：IFxisFTHENyisG

證據(jù)：xisF'---------------------------------------------------------

結(jié)論：yisG'模糊推理2.模糊推理的基本方法(1/7)在這種推理模式下，模糊知識(shí)

IFxisFTHENyisG表示在F與G之間存在著確定的因果關(guān)系，設(shè)此因果關(guān)系為R。則有

G'=F'οR其中的模糊關(guān)系R，可以是Rm、Rc或Rg中的任何一種。

62例6.13

對例4.19所給出的F、G，以及所求出的Rm，設(shè)有已知事實(shí)：｛xis較?。?，并設(shè)“較小”的模糊集為：較小=1/1+0.7/2+0.2/3，求在此已知事實(shí)下的模糊結(jié)論。解：本例的模糊關(guān)系Rm已在例6.12中求出，設(shè)已知模糊事實(shí)“較小”為F'，F(xiàn)'與Rm的合成即為所求結(jié)論G'。

={0.4,0.6,1}即所求出的模糊結(jié)論G'為G'=0.4/1+0.6/2+1/3模糊推理2.模糊推理的基本方法(2/7)63模糊拒取式推理設(shè)F和G分別是U和V上的兩個(gè)模糊集，且有知識(shí)

IFxisFTHENyisG若有V上的一個(gè)模糊集G’，且G可以和G’匹配，則可以推出xisF’，且F’是U上的一個(gè)模糊集。這種推理模式稱為模糊拒取式推理，其表示形式為：知識(shí)：IFxisFTHENyisG

證據(jù)：yisG'---------------------------------------------------------

結(jié)論：xisF'

在這種推理模式下，模糊知識(shí)

IFxisFTHENyisG也表示在F與G之間存在著確定的因果關(guān)系，設(shè)此因果關(guān)系為R，則有

F'=RοG'其中的模糊關(guān)系R，可以是Rm、Rc或Rg中的任何一種。模糊推理2.模糊推理的基本方法(3/7)64例6.14

設(shè)F、G如例4.19所示，已知事實(shí)為｛yis較大｝且“較大”的模糊集為：較大=0.2/1+0.7/2+1/3，若已知事實(shí)與G匹配，以模糊關(guān)系Rc為例，在此已知事實(shí)下推出F‘。

解：本例的模糊關(guān)系Rc已在前面求出，設(shè)模糊概念“較大”為G