精算學基礎ch4生命年金

孟生旺 張連增 劉樂平教材：精算學基礎，中國人民大學出版社，2016下載地址：12主要內容生命年金生命年金的基本類型年內給付多次的生命年金變額生命年金遞推公式3生命年金生命年金：受益人生存時得到的一系列給付生命年金可被視為期限為未來壽命T的年金現(xiàn)值為隨機變量，記為Y

;躉繳凈保費是E(Y

)。生命年金的基本類型考慮期初付年金終身年金：在受益人生存時提供1個單位的年給付額，給付發(fā)生在時點0,1,2…KK

+1現(xiàn)值：Y

=1+v

+v2

++vK=

a￥4躉繳凈保費：

ax

=

ak

+1

k

px

qx+kk

=05，其中IA

為事件A的示性函數(shù)對上式取期望得：上式相當于將年金視為一系列生存保險一個常用的精算符號為精算貼現(xiàn)因子注：￥{K

?k}k

=0現(xiàn)值還可表示為Y

=vk

I￥x

k

xk

=0a=

vk

pnn

Ex

=

v

n

px躉繳凈保費也可以用終身壽險的躉繳凈保費來表示，務，在生存時每年初支付利息d，在死亡年末支付1個單位，考慮到現(xiàn)值，就可償還債務。Y的高階矩可通過Z得到，如注：K

+1Y

=

1-

v

=

1-

Zd

d對于式1

=dax

+Ax

，有如下解釋：對于1個單位的債=

1-

Axx，取期望得ad=

x

x

6Var(Z

)

2

A

-(

A

)2Var(Y

)

=d

2

d

2生命年金的基本類型考慮期初付年金n年定期年金K

=

n,

n

+1,

n

+

2,aK

+1

,

K

=

0,1,,

n

-1現(xiàn)值：

Y

=

a

,nn-1x:n

k

+1

k

x

x+k

n

n

x躉繳凈保費：

a

=

a

p

q

+

a

pk

=0n-1x:n7ak

xk

=0=

vk

p生命年金的基本類型期末付年金：給付發(fā)生在時點1,2…

K現(xiàn)值：

Y

=1+

v

+

v2

++

vK

=

aK躉繳凈保費：ax

=ax

-18生命年金的基本類型延期m年的期初付年金K

=

0,1,,

m

-1現(xiàn)值：Y

=0,vm

+

vm+1

++

vK

,

K

=

m,

m

+1,躉繳凈保費：mm|

ax

=

m

pxv

ax+mm|

ax

=

ax

-

ax:m

9例：證明以下等式（1）2

A

=1-(2d

-

d

2

)

2

ax

x（2）222)K

+1

2xxVar(v

)

=

2d

(ax-

ax)

-

d

(a-

a210K

+1（3）

Var(a

)

=2d

2

2xx(ax-

ax)

-(a-

a

)例：（2），再將（2）中的結論代入化簡。22x

x（1）

A

=1-d

￠a

，其中

對應d

￠2d2d

=

-2

ln(1-

d

)

=

-ln(1-

d

)2

=

-ln(1-

2d

+

d

2

)d

￠=

2d

-

d

22

2

22

K

+1

2x

xxxVar(v

)

=

A-

A

=1-(2d

-

d

)

a-

(1-

da

)（3）

Var(a

)

=K

+1Var(vK

+1

)11d

2年內給付多次的生命年金考慮一年給付m次，每次給付1/m的生命年金。只要受益人生存，就在時刻0,1/m,2/m,…有給付。躉繳凈保費滿足：1

=d

(m)a(m)+A(m)x

x對上式的理解：一年給付m次的生命年金可視為兩個永續(xù)年金之差，其中一個永續(xù)年金從時刻0開始，另一個從時刻K

+S

(m)開始。1

112-d

(m)

d

(m)xa(m)

=xA(m)為使用表示，和

Ax

的關系，以及那么

a(m)

=

a

(m)a

-

b(m)x

x實踐中常用的近似為a

(m)?1,b(m)?m

-1

，該近似僅在利息力較小時適用。注：xa(m)xax用到A(m)Ax

=1-

dax

，得到(m)xdii

-

i(m)=

a

-d

(m)i(m)

x

d

(m)i(m)ai

-

i(m)13b(m)

=d

(m)i(m)di引入a

(m)=d

(m)i(m),2m例：b(12)

=

1

=

0.468119514已知i

=0.06

，a65

=9.8969

，計算從65歲開始，每月初支付1000元的生存年金的精算現(xiàn)值。s(12)

-1d

(12)解：a

(12)

=s(12)a(12)=1.0002811

1A65

=1-

da65

=

0.43979612000a(12)

=12000[a

(12)a65

65-

b(12)]

=113179例：解：40:30已知i=0.06

，a40

=14.81661，a70

=8.56925，30

E40

=0.123689計算a(12)30

401540:30a(12)40:30=

a

(12)a

-

b(12)(1-

E

)=

a

(12)(a40

-

30

E40

a70

)

-

b(12)(1-

30

E40

)=13.35038例：解：T證明

Var(a

)可表示為22dx(a

-x2xa

)

-

a2162222d221ddxVar(vT

)

1Var(a

)

=T=

[

Ax-

A

]

=x[1-

2d

ax-

(1-da

)

]例：已知i

=

0.06

，A20

=

0.0652848

，A50

=

0.2490475

，計算解：d

=ln(1+0.06)

=0.0582689

，a20

。和a50i

/

d

=1.0297087dx

d

x

a

=

1

1-

i

A

a20

=16.00812a50

=12.760731718變額生命年金現(xiàn)值：考慮在時刻0,1,2…K給付r0

,r1

,r2

,

的生命年金。￥躉繳凈保費：連續(xù)給付的生命年金可通過令m趨于無窮而得到。記時刻t時的年金支付率為r(t)。現(xiàn)值：躉繳凈保費：E(Y

)=kk

{K

?k}k

=0Y

=v

r

I￥kk

k

xk

=0E(Y

)

=v

r

p考慮在時刻0,1

m

,2

m

,,K

+S

(m)-1

m給付z0

,z1

m

,z2

m

,的生命年金。躉繳凈保費的形式與上式類似。0Y

=Ttv

r(t)dt0t

x￥vt

r(t)

p

dt19生命年金的標準類型對于上一節(jié)的變額年金，令rk躉繳凈保費：(Ia)x與(IA)x

有關系：ax

=d

(Ia)x

+(IA)x現(xiàn)考慮一年給付m次，而給付額按年度遞增的情況=

k

+1k

+

j

mz

=

k

+1

,

j

=

0,1,,

m

-1m(m)x(Ia)躉繳凈保費：￥k

=0k

xx+kp

vk

ak

x

x

x￥k

=0=

p

vk

{a

(m)a

-

b(m)}k

x

x+k￥=

a

(m)k

=0￥k

=0-

b(m)

p

vk

=

a

(m)(Ia)

-

b(m)a=p

vk

a(m)k

x

x+k生命年金的標準類型=

a

(￥

)(Ia)x

-

b(￥

)ax或者通過對現(xiàn)值隨機變量取期望得到躉繳凈保費：0在上式中令m趨于無窮，就得到相應的連續(xù)生命年金（支付率r(t)=[t

+1]）的躉繳凈保費￥txt

x(Ia)

=[t

+1]v p

dt0Ta

-

Tv=

TdTtTtv

dt

=

(

Ia

)