數(shù)理方程 特殊函數(shù)

數(shù)理方程特殊函數(shù)第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2本次課主要內(nèi)容(一)、行波法(二)、積分變換法行波法與積分變換法習(xí)題課第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3(一)、行波法1、要點回顧(1)行波法的適用范圍是什么？答：波動方程的初值問題。(2)行波法求解波動方程定解問題的要領(lǐng)是什么？答：引入變量替換，將方程化為變量可積的形式，從而求出其通解；用定解條件確定通解中的任意函數(shù)(或常數(shù))，從而求出其特解。第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月4(3)無限長弦的自由振動問題的達朗貝爾公式是什么？公式的物理意義是什么？答：(a)公式為：(b)物理意義：弦上的任意擾動總是以行波形式分別向弦的兩個方向傳播出去，傳播速度正好是弦振動方程中的系數(shù)a。(4)如何求解無限長弦的純強迫振動問題和一般強迫振動問題？第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月5答(a)純強迫振動定解問題為：求解方法：齊次化原理(b)一般強迫振動定解問題為：第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月6求解方法：利用函數(shù)分解方法對定解問題進行拆分答：(a)公式為：(5)三維自由振動的泊松公式是什么？公式的物理意義是什么？(b)物理意義：1)空間任意一點M在任意時刻t>0的狀態(tài)完全由以該點為心，at為半徑的球面上的初始擾動決定；2)當初始擾動限制在空間某局部范圍內(nèi)時，擾動有清晰的“前鋒”與“陣尾”，即惠更斯原理成立。第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月7答：(a)公式為：(5)二維齊次波動方程柯西問題的泊松公式是什么？公式的物理意義是什么？(b)物理意義：1)空間任意一點M在任意時刻t>0的狀態(tài)完全由以該點為心，at為半徑的圓盤域上的初始擾動決定；2)局部初始擾動對二維空間上任意一點的擾動有持續(xù)后效，波的傳播有清晰的前鋒而無后鋒，惠更斯原理不成立。第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月82、典型題型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西問題的解：解：特征方程為：特征線方程為：

第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月9令：變換原方程化成標準型：

通解為:代入條件得：第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月10例2、求波動方程的古沙問題第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月11解：方程通解為：由(2)得：又由(3)得：由(4)與(5)得：第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月12所以：又由(4)得：所以：(2)半無界問題的求解采用延拓或行波方法求解第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月13例3、半無限長桿的端點受到縱向力F(t)=Asinωt的作用，求解桿的振動。解：定解問題為：Fun|x=0.YS0x第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月14解：方法1：延拓法首先，當x>at時，端點的影響沒有傳到，所以有：其次，當x<at時，端點的影響已經(jīng)傳到，所以定解問題必須考慮邊界影響。將定解問題作延拓：延拓后的定解問題的解為：第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月15欲使延拓后的解限制在x≥0上時為原定解問題的解，只需讓延拓解滿足邊界條件，即：為此：令只要：又令第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月16得到：所以有：所以當x<at時，解為：第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月17方法2：行波法求解(課后作業(yè)）(3)高維波動方程的定解問題(重點)例4、求如下定解問題：第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月18分析：這是三維空間自由振動問題，所以直接代入泊松公式計算。球坐標變換為：第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月19解：由泊松公式例5、用泊松公式解如下定解問題第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月20解：由二維泊松公式得：

第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月21(二)、積分變換法1、要點回顧(1)什么叫積分變換？答：所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x)，經(jīng)過某種可逆的積分方式：變成另一類B中的函數(shù)F(P)。其中F(P)稱為像函數(shù)，f(x)稱為原像函數(shù)，k(x,P)稱為積分變換的核。(2)積分變換法求解數(shù)理方程的步驟是什么？第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月22答:(a)對方程和定解條件中的各項作針對于某變量的積分變換，得到像函數(shù)滿足的方程;(2)積分變換法求解數(shù)理方程的步驟是什么？(b)求出像函數(shù)；(c)求出原像函數(shù)。(3)

傅立葉變換與拉普拉斯變換適用的數(shù)理方程對象是什么？分別針對于什么變量作變換？答：傅立葉變換多用于求解半無界(正，余弦變換)和全無界初值問題。一般針對空間變量作變換；拉氏變換常用于第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月23帶有邊界條件的定解問題。常針對時間變量作變換。(4)敘述傅立葉變換、逆變換，傅立葉正余弦變換、逆變換和拉普拉斯變換、逆變換的定義(略）(1)、利用定義與性質(zhì)求函數(shù)的積分變換(5)敘述(4)中各種變換的主要性質(zhì)(略)和變換存在定理(略)2、典型題型第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月24例6、求下列函數(shù)的傅立葉變換只對(5)進行講解，其余留為課后練習(xí)。第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月25解法1：令由于第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月26所以得：解此微分方程得：利用相似性質(zhì)：第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月27解法2：由傅立葉變換的定義考慮復(fù)變函數(shù)沿下圖所示的圍道積分。C1C2C3C4xyo-RR第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月28由柯西積分定理得：由于所以：第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月29即得：于是由*得：同理：所以得：第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月30例8求函數(shù)f(x)的拉普拉斯變換第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月31解

:(1)由拉氏變換定義有：第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月32(2)由拉氏變換定義有：第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月33同理：(3)由拉氏變換定義有：第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月34例9求下列函數(shù)的拉氏變換解:(1)令：f(t)=tm，則f(m)(t)=m!，且：由微分定理：第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月35(2)由于由位移定理得：第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月36(3)由像函數(shù)微分性質(zhì)同理：第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月37例10

求的逆變換解因為f(s)的奇點是兩個極點s1=-α,s2=-β.前者是一階極點，后者是二階極點，所以，由展開定理：(2)、利用展開定理求拉普拉斯逆變換(重點)第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月38(4)、簡單證明題例12、設(shè)f(t)在[0,+∞]上以T為周期，且f(t)在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則：第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月39證明：令x=t-T，則可推出：對于(5)、求解數(shù)理方程第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月40例13

求解上半平面的狄氏問題

解

(1)對定解問題作對應(yīng)于空間變量x的傅立葉變換

變換后得關(guān)于y的常微分方程定解問題：第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月41*中方程的通解為：當λ>0時：(2)求像函數(shù)(3)求原像函數(shù)當λ<0時：像函數(shù)為：第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月42由卷積定理：這里：第42頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月43于是得定解為：

第43頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月44例14、求解如下定解問題：解:(1)作針對于時間變量的Laplace變換

第44頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月45(2)、求像函數(shù)：(3)、求原像函數(shù)：第45頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月46

所以原像函數(shù)：例15、求解如下定解