最優(yōu)化思想黃金分割和優(yōu)選法

最優(yōu)化思想黃金分割和優(yōu)選法第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月選修3-1：數學史選講選修3-2：信息安全與密碼選修3-3：球面上的幾何選修3-4：對稱與群選修3-5：歐拉公式與閉曲面分類選修3-6：三等分角與數域擴充選修4-1：幾何證明選講選修4-6：初等數論初步選修4-2：矩陣與變換選修4-7：優(yōu)選法與試驗設計初步選修4-3：數列與差分選修4-8：統(tǒng)籌法與圖論初步

選修4-4：坐標系與參數方程選修4-9：風險與決策

選修4-5：不等式選講選修4-10：開關電路與布爾代數浙江普通高中知識拓展類選修課程實施方案必修拓展課程從國家課程選修模塊中選用：數學1-1，數學1-2，數學2-1、數學2-2、數學2-3大學初級課程：微積分、線性代數、空間解析幾何

介紹學科最新成果的課程：現代數學概覽、分形幾何

學科應用性課程：數學史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、幾何證明選講、矩陣與變換、數列與差分、坐標系與參數方程、不等式選講、初等數論初步、優(yōu)選法與試驗設計初步、風險與決策、開關電路與布爾代數、生活中的數學、數學與經濟

第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化思想

——黃金分割和優(yōu)選法第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月斐波那契數列及其應用斐波那契《計算之書》兔子問題（1202年）如果每1對成兔每月生1對幼兔，幼兔經過2個月后成為成兔，即開始繁殖，問年初的1對幼兔經過1年后能繁殖成多少對兔子？假定這一過程兔子不發(fā)生任何死亡。

第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由兔子問題抽象得遞推關系本月底幼兔總對數=上上個月底兔子總對數所以：本月底兔子總對數=上月底兔子總對數+上上個月底兔子總對數。用un表示第n個月底兔子的總對數，則有——斐波那契數列。(A.Girard,1634)

為方便，補充定義u0=1。第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月“走樓梯”問題

某人要走一架n個臺階的樓梯，某人每步向上走1個臺階或2個臺階。un表示該人從地面向上走到第n個臺階時所有不同的走法種數，求un。

第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月n階樓梯的所有走法un1(1)12(11),(2)23(111),(21),(12)34(1111),(211),(121),(112),(22)55(11111),(2111),(1211),(1121),(1112),(221),(212),(122)86

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第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月按第一步的走法分類un=un-1+un-2(n≥3)；u1=1,u2=2。斐波那契數列

解法1：第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月n階樓梯的所有走法un1(1)12(11)；(2)23(111)；(21),(12)34(1111)；(211),(121),(112)；(22)55(11111);(2111),(1211),(1121),(1112)(221),(212),(122)8

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n

賈憲三角形表達式E.Piccioli，1916第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月DeMoivre提出，J.P.M.Binet1843年證明，世稱Binet公式黃金分割率，它是美的標準之一，也是優(yōu)選法的理論基礎。該數列極限為該數列相鄰兩項之比構成的“比值”數列通項公式第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月黃金分割的美（黃金比0.618）人體各部分的比

肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關節(jié)—足尖）第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月著名建筑物中各部分的比埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629.古希臘的巴特農神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615風景照片中地平線的位置美觀矩形第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月正五角星中的線段比

（正五角星很美）

第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

舞臺報幕者的最佳站位

在整個舞臺寬度的0.618處較美小說、戲劇、戰(zhàn)爭的高潮出現：在整個作品的0.618處較好第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月華羅庚先生證明了：黃金分割點具有再生性。

黃金分割點的再生性，是“黃金分割”之所以美的數學依據。黃金分割為什么美為什么不是0.5的分割點讓人感覺愉悅，而是0.618的分割點讓人感覺愉悅呢？因為0.618的分割點反映了“恰到好處的和諧”。第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月即：如果是的黃金分割點，是的黃金分割點，與當然關于中點對稱。特殊的是，又恰是的黃金分割點。同樣，如果是的黃金分割點，則又恰是的黃金分割點，等等，一直延續(xù)下去。（再生）第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)“飯好吃f(x)”是“放水量x”的函數；但不知其具體表達式，或即使知道但太復雜；函數f(x)有何特點？單峰（谷）函數不能用數學方法尋找單峰函數的最優(yōu)點，怎么辦？.通過作試驗的方法來尋找最佳點。優(yōu)選法是以最少的試驗次數迅速找到最佳點的試驗方法。這是最優(yōu)化一種新的思維方法！第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)最“笨”的方法是分別加入1001克，1002克，…，2000克，做1千次試驗，就能發(fā)現最佳方案。華羅庚證明了，每次取試驗區(qū)間的0.618處去做試驗的方法，才是最好的，這種優(yōu)選法稱為“黃金分割法”或“0.618法”。18第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月黃金分割法步驟：用一有刻度的紙條表達1000克—2000克。在這紙條長度的0.618的地方C劃一條線，也就是按1618克做第一次試驗。然后把紙條對折，前一條線落在下一層紙的地方C/，再劃一條線（1382克處），再按1382克做第二次試驗。把兩次試驗結果比較，如果1618克的效果較差（壞點），就把1618克以外的一段紙條剪去，反之就把1382克以外的一段剪去。再把剩下的紙條對折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方C//，再劃一條線（黃金分割點），這條線在1236克處。第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月按1236克C//做第三次試驗。把1236克處C//和1382克C/的試驗效果比較，如果1236克C//的效果較差，就把1236克C//以外的短的一段紙條剪去。再對折剩下的紙條，找出第四次試驗點1472克。按1472克做試驗后，與1382克C/的效果比較，再剪去效果較差點以外的短的一段紙條。再對折尋找下一次試驗點，一次比一次接近我們的需要，直到達到我們滿意的精確度。

第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月注意，每次剪掉的都是效果較差點以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長度是上次長度的0.618倍。因此，紙條的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數函數的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點。

事實上，當紙條長度已經很小時，紙條上的任一個點都可以作為“滿意”的點了，因為最優(yōu)點就在紙條上，你取的點與最優(yōu)點的誤差一定小于紙條的長。第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1985年6月12日華羅庚先生在日本的最后一場演講（75歲）

——“工作到人生的最后一刻”第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月歸納：0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，應該放多少水？（1000g-2000g)尋找單峰（谷）函數（不知其具體表達式或太復雜）的最優(yōu)點.通過作試驗的方法尋找最佳點優(yōu)選法是以最少的試驗次數迅速找到最佳點的試驗方法。操作過程：第一個試驗點x1=a+(b-a)0.618，第二個試驗點x2=a+b-x1；對比x1,x2處結果，裁去“壞點”外邊的部分；以此類推；在確定第n個試點xn時，如果存優(yōu)范圍內相應的好點是xm，那么有xn=小+大-xm.稱“加兩頭，減中間”來確定下1個試點。經過n次試驗后留下的區(qū)間長為原區(qū)間長的0.618n-1（精度）。第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月0.618法試點為什么這樣選擇？第一、第二次試點選擇的原則：1、公平原則；——使兩個試點關于區(qū)間[a,b]的中點對稱2、繼承原則——每次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間的比例數相同。據上述原則求出第1、第2次試點的位置線段[a,b]的黃金分割點0.618法（黃金分割法）第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月250.618這個“黃金比”能產生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。由此再反觀0.618的分割點為什么在許多場合都反映了“恰到好處的和諧”。其數學依據就是“黃金分割點的再生性”。數學的美，在于數學思想深刻之美。第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月分數法例：在配置某種清洗液時，需要加入某種材料。經驗表明，加入量大于130ml肯定不好。用150ml的錐形量杯計量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml。用試驗法找出這種材料的最優(yōu)加入量。能用0.618法嗎？如果用0.618法，算出的試點不是10ml的整數倍，此法不能用。采用分數法，借助Fibonacci數列來處理。第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月分數法的操作

把實驗區(qū)間[0,130]分成13等分，分點依次設為1,2,3,…,12。選分數8/13作為黃金分割數的近似值。第一個試點為8，第二個為5，若8好，則去掉[0,5]，剩下[5，13]；8已試過，在10處做第3個試驗，若還是8好，去掉[10,13]，剩下[5，10]；在7處做第四個試驗，若7比8好，去掉[8，10]，剩下[5，8]；在6做第五個試驗，如6比7好，則6為最佳點。五次試驗后，精度為1/13。第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月分數法現實中，由于受時間、人力等影響，往往使試驗次數受到限制，此時采用分數法可以達到較好的效果。分數法與0.618法的本質是相同的。有兩種情況：1.可能的試點總數正好是某一個(Fn+1-1)；2.可能的試點總數大于某一(Fn-1)，而小于(Fn+1-1)。第28頁，課件共30頁