數(shù)學(xué)物理方法 保角變換法

數(shù)學(xué)物理方法保角變換法第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11.1保角變換法求解定解問題在許多物理問題中（如電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)等）經(jīng)常會(huì)遇到解平面場(chǎng)的拉普拉斯方程或泊松方程的問題．盡管可用前幾章的理論方法如：分離變量法或格林函數(shù)法等來解決，但當(dāng)邊值問題中的邊界形狀變得十分復(fù)雜時(shí)，分離變量法和格林函數(shù)法卻顯得十分困難，甚至不能解決．對(duì)于復(fù)雜的邊界形狀，拉普拉斯方程定解問題常采用保角變換法求解．第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

保角變換法解定解問題的基本思想：通過解析函數(shù)的變換或映射（這部分知識(shí)在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過）將Z平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問題變換為W平面上具有簡(jiǎn)單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問題，而后一問題的解易于求得．于是再通過逆變換就求得了原始定解問題的解．這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題中的解析法――保角變換法。第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月保角變換法是解決這類復(fù)雜邊界的最有效方法，特別適合于分析平面場(chǎng)的問題。例如靜電場(chǎng)的問題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問題具有較大的實(shí)用價(jià)值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi)容進(jìn)行介紹．復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問題。第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11.1.1保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關(guān)系在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù)實(shí)現(xiàn)的從Z平面到W

平面的變換在的點(diǎn)具有保角性質(zhì)，因此這種變換稱為保角變換．下面我們主要討論一一對(duì)應(yīng)的保角變換，即假定和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者如果它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一葉．第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理11.1.1如果將由到的保角變換看成為二元（實(shí)變）函數(shù)的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界．我們能證明，如果程，則經(jīng)過保角變換后得到的滿足拉普拉斯方也滿足拉普拉斯方程．第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【證明】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有(11.1.1)同理第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(11.1.2)兩式相加得到（11.1.3）第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用解析函數(shù)的C-R條件(11.1.4)以及解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì)

(11.1.5)將式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化簡(jiǎn)后得到第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意到上式已經(jīng)使用了：對(duì)于保角變換因而只要滿足拉普拉斯方程，則）也滿足拉普拉斯方程，即為第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（11.1.6）這樣我們就有結(jié)論：如果在平面上給定了的拉普拉斯方程邊值問題，則利用保角變換

，可以將它轉(zhuǎn)化為平面上的拉普拉斯方程邊值問題．第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可以證明，在單葉解析函數(shù)變換下，泊松方程(11.1.7)仍然滿足泊松方程（11.1.8）第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度發(fā)生了變化．對(duì)于波動(dòng)問題和輸運(yùn)問題，同理可以證明，亥姆霍茲方程

(11.1.9)經(jīng)變換后仍然服從亥姆霍茲方程(11.1.10)第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意到方程要比原先復(fù)雜，且前的系數(shù)可能不是常系數(shù)．

保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將復(fù)雜邊界問題變?yōu)楹?jiǎn)單邊界問題，從而使問題得到解決．下面，在介紹用保角變換法來求解拉普拉斯方程之前，先介紹常用到的一些保角變換．第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11.1.2常用的幾種保角變換(1)平移變換將z平面上的圖形整體平移一個(gè)矢量a。第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)線性變換平移旋轉(zhuǎn)伸縮第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)反演變換保角性：保圓性：保對(duì)稱性：Z平面內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱點(diǎn)P、Q變換為w平面上的像P’、Q’也關(guān)于原點(diǎn)O’對(duì)稱。OPQR第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)分式線性變換保圓性；保對(duì)稱性；上式可寫成其中：第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題1i(-1,0)(1,0)第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題21/2上半平面第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(5)冪函數(shù)變換令則該變換的特點(diǎn)是把z平面的圓周變換成w平面的圓周。特別是單位圓周變換成單位圓周；把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域變換成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域，但其張角為原來的的n倍。

第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

討論變換若均勻場(chǎng)在w平面上是具有平行于兩坐標(biāo)軸的直線族，則此變換將w平面的正實(shí)軸變換成z平面上的正實(shí)軸，其負(fù)實(shí)軸卻因負(fù)值的方根變成z平面上的正虛軸，這樣w平面的上半平面變換成z平面的第一象限，如圖所示。反之亦然.

yxz平面W平面第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(6)對(duì)數(shù)變換

對(duì)數(shù)變換是常用的一種變換。對(duì)數(shù)變換是指數(shù)變換的逆變換。先研究指數(shù)變換令，得可知：z平面上的直線x=常數(shù)變換到w平面上的圓周常數(shù)，而直線y＝常數(shù)變換成射線＝常數(shù)。第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，指數(shù)變換的特點(diǎn)是：把水平的帶形城變換成角形z(W平面)w(z平面)第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于對(duì)數(shù)變換取極坐標(biāo)系則故可見：在w平面上常數(shù)的直線在z平面表示一族圓；＝常數(shù)表示一族徑向射線。第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1試求平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，其中【解】

變換使上半平面變成平面上的帶形域,

然的，類似于上面定解問題的結(jié)果,則本定解問題可歸結(jié)為而在帶形域上的解是顯11.1.3保角變換法求解定解問題典型實(shí)例第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而

所以于是，作反變換便可求得所求問題的解為第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月試用保角變換法求解一半徑為的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼內(nèi)的電場(chǎng)分布情況．【解】即求解定解問題例2若把柱面充電到第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

作如下的保角變換 (1)作變換

把原圖象縮小為倍．即將任意的圓周變換為單位圓．

(2)再作變換

把變換為，其邊界的變換是將下半圓周對(duì)應(yīng)于負(fù)半實(shí)軸，上半圓周對(duì)應(yīng)于正半實(shí)軸．第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

（3）再作變換

把平面的上半平面變成平面上平行于實(shí)軸，寬為的一個(gè)帶形區(qū)域，其邊界的第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變換是將平面的正半實(shí)軸變換為平面的實(shí)軸，平面的負(fù)半實(shí)軸變換為平面的平行于實(shí)軸的直線所以，在變換之下，定解問題變換為第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定解問題的解（仿上例）為將變量回到平面，則第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月化成極坐標(biāo)形式，則上式又改寫成第34頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

從上面的例題我們總結(jié)出，對(duì)于平面標(biāo)量場(chǎng)的問題，不管邊界如何復(fù)雜，只要能通過保角變換把原來的邊界所圍成的區(qū)域變換成上半平面的帶形域問題就容易解決了．第35頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：用保角變換法由于等勢(shì)面為圓，故可采用對(duì)數(shù)函數(shù)變換來進(jìn)行計(jì)算。yx例3兩個(gè)同軸圓柱構(gòu)成柱形電容器，內(nèi)外半徑分別為R1、R2，電勢(shì)分別為、。求導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)。第36頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作