目的熟悉常見(jiàn)的兩類集合的勢(shì)掌握其基本性質(zhì)重點(diǎn)與教學(xué)課件

目的熟悉常見(jiàn)的兩類集合的勢(shì)掌握其基本性質(zhì)重點(diǎn)與目的熟悉常見(jiàn)的兩類集合的勢(shì)掌握其基本性質(zhì)重點(diǎn)與目的熟悉常見(jiàn)的兩類集合的勢(shì)掌握其基本性質(zhì)重點(diǎn)與目的：熟悉常見(jiàn)的兩類集合的勢(shì)，掌握其基本性質(zhì)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：可數(shù)集合的性質(zhì)，連續(xù)勢(shì)的性質(zhì)。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)一．可數(shù)集合定義凡是與自然數(shù)對(duì)等的集稱為可數(shù)集或可列集，凡與R1對(duì)等的集稱為具有連續(xù)勢(shì)。可數(shù)集性質(zhì)：定理2任何無(wú)窮集都包含一個(gè)可數(shù)子集。定理3可數(shù)集合的無(wú)窮子集仍是可數(shù)的。

證明：假設(shè)是可數(shù)集，是的無(wú)窮子集，由定理2，含可數(shù)子集，于是，但，故，從而也是可數(shù)的。證畢。

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

定理4設(shè)是可數(shù)集，是有限集或可數(shù)集，則可數(shù)。證明：由于有限或可數(shù)，故有限或可數(shù)，所以可以寫成，或，又因可數(shù)，從而可以寫成，將按如下方法排列：當(dāng)時(shí)，將排成第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

當(dāng)將排成無(wú)論哪種情形，顯然都是可數(shù)的。證畢。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

定理5有限個(gè)或可數(shù)個(gè)有限集或可數(shù)集的并仍是有限集或可數(shù)集。證明：不妨假設(shè)是一列有限或可數(shù)集（有限個(gè)集合情形證明相仿）。將中元素排列成，（如果是有限集，則排列成）。于是表示中的第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

第個(gè)元素，記，則對(duì)任意自然數(shù)，滿足的數(shù)組必為有限個(gè)，首先按從小到大的順序進(jìn)行編號(hào)，即將編為對(duì)每個(gè)，將重新寫成

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

即按第一個(gè)下標(biāo)從小到大的順序排列，應(yīng)該注意的是中可能含一些重復(fù)的元素，暫且將重復(fù)元素留著，最后將排成在上述序列中，去掉重復(fù)元素，則剩下的是有限集或可數(shù)集。證畢。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

如果說(shuō)表示正整數(shù)，表示一個(gè)有限集與可數(shù)集之并的勢(shì)，表示個(gè)可數(shù)集之并的勢(shì)，表示可數(shù)個(gè)可數(shù)集之并的勢(shì)，則定理5蘊(yùn)含了下列各式：（1）（2）（3）（4）

定理6。

證明：記，顯然是可數(shù)集，故可數(shù)；同理每個(gè)也可數(shù)，從而可數(shù)，于是第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

是可數(shù)的，即。證畢。定理6告訴我們，盡管有理數(shù)全體在數(shù)軸上處處稠密，然而，它和自然數(shù)集卻是對(duì)等的，這與我們的直覺(jué)是多么不同！第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

問(wèn)題1：可數(shù)集合的性質(zhì)與有限集合的性質(zhì)有何異同？其本質(zhì)差別是什么？前面已經(jīng)看到，可數(shù)集是無(wú)窮集中勢(shì)最小者，下面的命題指出，任一無(wú)窮集并上一個(gè)可數(shù)集不影響它的勢(shì)。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

命題1假設(shè)是無(wú)窮集，是可數(shù)集或有限集，則。證明：由可數(shù)或有限知也可數(shù)或有限，且，故不妨假設(shè)與不相交。由定理2知含可數(shù)子集，不妨記為，則仍可數(shù)，于是與第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

對(duì)等，又與自身對(duì)等，不妨設(shè)是與的1-1對(duì)應(yīng)，是到自身的恒等映射，則令

，易知是第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

的1-1對(duì)應(yīng)，從而。證畢。

二．無(wú)限集的特征

問(wèn)題2:有限集與無(wú)限集的本質(zhì)差別是否也體現(xiàn)在一般的無(wú)限集？這種差別是否正是無(wú)限集的特征？第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

命題2是無(wú)窮集當(dāng)且僅當(dāng)它可以與其真子集對(duì)等。證明：先證必要性，若可數(shù)，則結(jié)論顯然，故不妨設(shè)不是可數(shù)集，由定理2，含可數(shù)子集，由于非可數(shù)，所以仍是無(wú)窮集，由命題1立知第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

即與其真子集對(duì)等。為證充分性，我們要證，若與其真子集對(duì)等，必是無(wú)窮集。假若不然，是有限集，不妨設(shè)為，與其真子集對(duì)等，記與對(duì)等的真子集為，是與之間的1-1對(duì)應(yīng)。則，注意第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

且因是一一的，故對(duì)不同的，。故是中個(gè)不同的元素，于是。然而。這說(shuō)明。這個(gè)矛盾意味著必是無(wú)窮集。證畢。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

在例2中，我們已經(jīng)看到與是不對(duì)等的，因此是一個(gè)不可數(shù)集合，我們也知道是最小的無(wú)窮集，所以。有一個(gè)很有意思的問(wèn)題，存不存在這樣的集合，其勢(shì)位于與之間？即。Cantor首先考慮了這個(gè)問(wèn)題，但他未能解決。他猜測(cè)，沒(méi)有這個(gè)中第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

間勢(shì)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，至今沒(méi)有人能證明是否存在這種勢(shì)，但大家普遍承認(rèn)Cantor的猜測(cè)，并將此作為集合論的一條公理。人們已經(jīng)證明，這條公理與集合論的其它公理是相互獨(dú)立的，換言之，無(wú)論是承認(rèn)還是否認(rèn)這條公理，都不會(huì)與其它公理發(fā)生沖突。

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

三．具有連續(xù)勢(shì)的集合例3只要a<b則。

令

則是(a,b)到的一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)，故。顯然當(dāng)?shù)膭?shì)均為C。同樣的勢(shì)也為C。

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

定理7如果都是勢(shì)小于或等于的集合，且其中至少有一個(gè)的勢(shì)是，則的勢(shì)是。證明：不失一般性，假設(shè)，令，則因此一定存在的子集，使，設(shè)是與之間的一個(gè)1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義，當(dāng)。易見(jiàn)便是和之間的一個(gè)1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而。另一方面第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

，由Bernstein定理知的勢(shì)為。證畢。定理7實(shí)際是說(shuō)，可數(shù)個(gè)勢(shì)不超過(guò)的集合之并，其勢(shì)也不超過(guò)，用公式表示就是：。第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

以上看到的都是直線上的點(diǎn)集，平面內(nèi)點(diǎn)集的勢(shì)又有多大呢？我們先來(lái)看整個(gè)平面的勢(shì)。有一點(diǎn)是顯然的，即。問(wèn)題在于是大于還是等于。我們可以把看作，其中的元素是數(shù)組，由于與有相同的勢(shì)，故與有相同的勢(shì)，因而只需考察的勢(shì)。如果將與按適當(dāng)順序排成一個(gè)新的數(shù)，便

第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

有可能將與的一個(gè)子集對(duì)等。不妨設(shè)。顯然我們可以按下述方式來(lái)排列，即令。到的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是一對(duì)一的呢？如果確定，對(duì)應(yīng)的第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

顯然也是唯一確定的，但是，用小數(shù)表示一個(gè)數(shù)，其表示法不一定唯一，比如1也可以表示成，因此，這里要作一個(gè)規(guī)定，即不允許出現(xiàn)只有有限個(gè)數(shù)字非零的情況，在這種規(guī)定下，表示法就唯一了。然后作對(duì)應(yīng)關(guān)系第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合與連續(xù)勢(shì)

則是到的某個(gè)子集的1－1對(duì)應(yīng)，故，進(jìn)而，這說(shuō)明。類似方法可證明下面的第3講勢(shì)的定義

--可數(shù)集合