2023年高考數學復習講義進階方案-第1講空間幾何體（學生版）

第1講空間幾何體

【要點提煉】

考點一表面積與體積

1.旋轉體的側面積和表面積

(1)SHtw=2JirLS^^=2nr(r+l)(r為底面半徑，1為母線長).

(2)Si?iw=nrl,S1gm&=nr(r+1)(r為底面半徑，1為母線長).

(3)S以表=4nR2(R為球的半徑).

2.空間幾何體的體積公式

VfjnShf為底面面積，h為高)；

Vfj=wSh(S為底面面積，h為同j)；

O

4

V球=]nRJ(R為球的半徑).

【熱點突破】

【典例】1(1)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值足7，SA與圓錐底面所成

O

角為45°.若4SAB的面積為5標，則該圓錐的側面積為

(2)如圖，已知正三棱柱ABC-ABG的各棱長均為2,點D在棱AAi上，則三棱錐D—BBC的

體積為________

【拓展訓練】1(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為0”。2,過直線0Q2的平面截該圓

柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.B.12n

C.8mnD.10Jt

(2)如圖，在RtaABC中，AB=BC=1,D和E分別是邊BC和AC上異于端點的點，DE_LBC,

將ACDE沿DE折起，使點C到點P的位置，得到四棱錐P-ABDE,則四棱錐P—ABDE的體積

的最大值為.

【要點提煉】

考點二多面體與球

解決多面體與球問題的兩種思路

(1)利用構造長方體、正四面體等確定直徑.

(2)利用球心0與截面圓的圓心0,的連線垂直于截面圓的性質確定球心.

【典例】2(1)已知三棱錐P-ABC滿足平面PAB_L平面ABC,AC_LBC,AB=4,/APB=30°,

則該三棱錐的外接球的表面積為.

(2)(2020?全國UD已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積

為.

【拓展訓練】2(1)已知A,B是球0的球面上兩點，NA0B=90°,C為該球面上的動點.若

三棱錐0-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為()

A.36兀B.64nC.144兀D.256兀

(2)中國古代數學經典《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面

為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐

稱之為鱉膈，如圖為一個陽馬與一個鱉腌的組合體，已知PAL平面ABCE,四邊形ABCD為正

方形，AD=4,ED=V3,若鱉HP-ADE的外接球的體積為”但“，則陽馬P-ABCD的外接

球的表面積為.

專題訓練

一、單項選擇題

1.水平放置的aABC的直觀圖如圖，其中B'O'=C'0'=1,A'O'=當，那么原AABC

是一個（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

2.（2020?全國I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱

錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三

角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A#T「乖+1口乖+1

bnu

A.4-24-2

3.已知一個圓錐的側面積是底面積的2倍，記該圓錐的內切球的表面積為S.,外接球的表

面積為S2,則潺于（）

02

A]B.|C]D.1

4.（2020?大連模擬）一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，如圖，需要設計各面

是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形，

高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至

少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體

的費用最少為（）

A.4500元B.4000元C.2880元D.2380元

5.如圖所示，在正方體ABCD-ABiCD中，動點E在BBi上，動點F在A￡上，0為底面ABCD

的中心，若BE=x,AF=y,則三棱錐0-AEF的體積（）

A.與x,y都有關

B.與x,y都無關

C.與x有關，與y無關

D.與y有關，與x無關

6.在梯形ABCD中，ZABC=y,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋

轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

2n4n5兀

A.-r-B.~r-C.fD.2n

j力j

7.（2020?全國I）已知A,B,C為球0的球面上的三個點，為AABC的外接圓.若。

的面積為4n,AB=BC=AC=OO”則球0的表面積為（）

A.64nB.48久C.36nD.32n

8.（2020?武漢調研）已知直三棱柱ABC—ABC的6個頂點都在球0的表面上,若AB=AC=1,

2

M=2小,ZBAC=—JI,則球0的體積為（）

9.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球對接而成，在該封閉

的幾何體內部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小

圓柱體積的最大值為（）

2000n4000五

A.-g—B.~27

C.81JTD.128Jt

10.已知在三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且長度相等.若點P,A,B,C都在半

徑為1的球面上，則球心到平面ABC的距離為（）

A』B.|C.|D.平

二、多項選擇題

11.（2020?棗莊模擬）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD—ABCD內灌進一些水，固定

容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是

)

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，AC始終與水面所在平面平行

D.當容器傾斜如圖③所示時，AE?AH為定值

12.（2020?青島檢測）己知四棱臺ABCD-ABCD的上、下底面均為正方形，其中AB=2*,

AiBi=^/2,AA尸BB產CG=DDi=2,則下列敘述正確的是（）

A.該四棱臺的高為成

B.AA,1CC,

C.該四棱臺的表面積為26

D.該四棱臺外接球的表面積為16n

三、填空題

13.（2020?浙江）已知圓錐的側面積（單位：cn?）為2頁，且它的側面展開圖是一個半圓，則

這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是.

14.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm,母線長最短50cm,最長80cm