(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件蘇教版

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件蘇教版11.等比數(shù)列的概念2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等比中項(xiàng)4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教材研讀5.等比數(shù)列的性質(zhì)1.等比數(shù)列的概念2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等比中項(xiàng)4.等比考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)突破考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定

1.等比數(shù)列的概念(1)文字語(yǔ)言:如果一個(gè)數(shù)列從第①

二

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

比都等于②

同一個(gè)常數(shù)

,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.(2)符號(hào)語(yǔ)言:

=q(n∈N*,an≠0,q≠0).教材研讀?教材研讀42.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列,則第n項(xiàng)an=③

a1qn-1

.3.等比中項(xiàng)若a,G,b成等比數(shù)列,則G叫做a和b的等比中項(xiàng),且G=④

±

.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等比中項(xiàng)54.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則其前n項(xiàng)和Sn=

4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式65.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)an=am⑦

qn-m

(n,m∈N*).(2)等比數(shù)列{an}中,對(duì)任意的m、n、p、q∈N*,若m+n=p+q,則⑧

aman=

apaq

.特殊地,若m+n=2p,則aman=⑨

.(3)等比數(shù)列{an}中依次每m項(xiàng)的和仍成

等比數(shù)列

,即Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍成

等比數(shù)列

,其公比為

qm(q≠-1)

.5.等比數(shù)列的性質(zhì)7設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,……成等比數(shù)列(m∈N*).(3)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之

和為S偶,則

=q.知識(shí)拓展與等比數(shù)列相關(guān)的結(jié)論設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.知識(shí)拓展8(5)若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則通常設(shè)為

,x,xq.

(4){an},{bn}是等比數(shù)列,則{λan},

,{anbn},

也是等比數(shù)列(λ≠0,n∈N*).(5)若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則通常設(shè)為?,x,xq.(4){a91.(教材習(xí)題改編)已知兩個(gè)數(shù)k+9和6-k的等比中項(xiàng)是2k,則k=

.答案3或-

解析由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),解得k=3或-

.1.(教材習(xí)題改編)已知兩個(gè)數(shù)k+9和6-k的等比中項(xiàng)是2k102.(教材習(xí)題改編)設(shè){an}是等比數(shù)列,有下列四個(gè)命題:(1){

}是等比數(shù)列;(2){anan+1}是等比數(shù)列;(3)

是等比數(shù)列;(4){lg|an|}是等比數(shù)列.其中正確命題的個(gè)數(shù)是

.答案3解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則{

}和{anan+1}都是公比為q2的等比數(shù)列,(1)(2)正確;

是公比為

的等比數(shù)列,(3)正確;{lg|an|}是等差數(shù)列,(4)錯(cuò)誤.2.(教材習(xí)題改編)設(shè){an}是等比數(shù)列,有下列四個(gè)命題:(113.(教材習(xí)題改編)等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,則a4=

.答案8或

解析由{an}是等比數(shù)列,得a1a2a3=

=8,a2=2,則

解得a1=-1,a3=-4或a1=-4,a3=-1,則a4=8或

.3.(教材習(xí)題改編)等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=-124.(2018江蘇溧水中學(xué)月考)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),它的前

三項(xiàng)依次為1,a+1,2a+5,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.答案

an=3n-1

解析由題意得(a+1)2=2a+5,a+1>0,解得a=2(舍負(fù)),則等比數(shù)列{an}的

公比是3,首項(xiàng)是1,則an=3n-1.4.(2018江蘇溧水中學(xué)月考)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都135.(2018南京高三模擬)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*,且a1=1,S6=3S3,則a7的值為

.答案4解析由S6=3S3得等比數(shù)列{an}的公比q≠1,則

=

,化簡(jiǎn)得1-q6=3(1-q3),解得q3=2,又a1=1,所以a7=a1q6=4.5.(2018南京高三模擬)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S14考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算典例1(1)(2018江蘇三校高三聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,

若S1+S2+S3=10,S2+S3+S4=15,則公比q=

.(2)(2018揚(yáng)州高三調(diào)研)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a3=2,S12=

4S6,則a9的值為

.考點(diǎn)突破答案(1)1(2)2或6考點(diǎn)突破答案(1)1(2)2或615解析(1)當(dāng)q=1時(shí),S1+S2+S3=6a1=10,a1=

,S2+S3+S4=9a1=15,符合題意;當(dāng)q≠1時(shí),S1+S2+S3=

(3-q-q2-q3)=10,S2+S3+S4=

(3-q2-q3-q4)=15,無(wú)解,故q=1.(2)由S12=4S6得等比數(shù)列的公比q≠1,則

=

,化簡(jiǎn)得1-q12=4(1-q6),解得q6=1或q6=3,即q=-1或q=±

,又a3=2,所以a9=a3q6=2或6.解析(1)當(dāng)q=1時(shí),S1+S2+S3=6a1=10,a116方法技巧解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,

通過列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q,問題便可迎刃而解.(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,

當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=

=

.方法技巧17易錯(cuò)警示本例題(2)容易漏解,判斷出q≠1后從“1-q12=4(1-q6)”的兩邊同時(shí)約去1

-q6導(dǎo)致遺漏q=-1的情況,所以在約分時(shí)要慎重.易錯(cuò)警示181-1

(2018江蘇無(wú)錫普通高中期末)等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a5=8,則a7=

.答案32解析由題意知q3=

=8,q=2,則a7=a5q2=32.1-1

(2018江蘇無(wú)錫普通高中期末)等比數(shù)列{an19典例2

(2018江蘇五校高三學(xué)情檢測(cè))已知數(shù)列{an},{bn}滿足:bn=an+3an+1,n∈N*.(1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值;(2)設(shè)an=bn+bn+1,a1=-1,a2=

,求證:數(shù)列{bn}從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列.考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明典例2

(2018江蘇五校高三學(xué)情檢測(cè))已知數(shù)列{an20解析(1)當(dāng)n=1,2時(shí),可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,從而可得a1=4.(2)證明:由a1=-1,a2=

,可得b1=a1+3a2=-

,b2=a1-b1=-

,因?yàn)閎n=an+3an+1,an=bn+bn+1,所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,n∈N*,又b2=-

≠0,所以

=-

,n∈N*且n≥2,所以數(shù)列{bn}從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列.解析(1)當(dāng)n=1,2時(shí),可得a1+3a2=1,a2+3a21等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法方法解讀適合題型定義法在an≠0(n∈N*)的前提下,若

=q(q為非零常數(shù))或

=q(q為非零常數(shù),n≥2且n∈N*),則{an}是等比數(shù)列已知遞推關(guān)系式,或者是對(duì)an與Sn的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化為數(shù)列

{an}中相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系等比中項(xiàng)法數(shù)列{an}中,an≠0,如果根據(jù)已知條件能化簡(jiǎn)得到

=an·an+2(n∈N*),或者是證明此式成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列證明三項(xiàng)成等比數(shù)列通項(xiàng)公式法觀察已知信息,或者是計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式,若可以寫成an=c·qn-1

(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列能明確通項(xiàng)公式,用于填空題前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則數(shù)列{an}

是等比數(shù)列能明確前n項(xiàng)和公式,用于填空題方法技巧等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法方法解讀適合題型定義法在an≠222-1

(2018江蘇無(wú)錫高三期末)已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0,且

,

,…,

,…成等比數(shù)列(k1<k2<…<kn<…),公比為q.(1)若k1=1,k2=3,k3=8,求

的值;(2)當(dāng)

為何值時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列?2-1

(2018江蘇無(wú)錫高三期末)已知等差數(shù)列{an23解析(1)由已知可得a1,a3,a8成等比數(shù)列,所以(a1+2d)2=a1(a1+7d),整理可

得4d2=3a1d.因?yàn)閐≠0,所以

=

.(2)設(shè)數(shù)列{kn}為等比數(shù)列,則

=k1k3.因?yàn)?/p>

,

,

成等比數(shù)列,且d≠0,解析(1)由已知可得a1,a3,a8成等比數(shù)列,所以(a124所以[a1+(k1-1)d][a1+(k3-1)d]=[a1+(k2-1)d]2.整理得a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3-

-k1-k3+2k2).因?yàn)?/p>

=k1k3,所以a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3).因?yàn)?k2≠k1+k3,所以a1=d,即

=1.當(dāng)

=1時(shí),an=a1+(n-1)d=nd,所以

=knd.又因?yàn)?/p>

=

qn-1=k1dqn-1,所以kn=k1qn-1.所以

=

=q,所以數(shù)列{kn}為等比數(shù)列.綜上,當(dāng)

=1時(shí),數(shù)列{kn}為等比數(shù)列.所以[a1+(k1-1)d][a1+(k3-1)d]=[a125考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用角度一等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)典例3(1)(2018江蘇如東高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試(二))在等比數(shù)列{an}中,各

項(xiàng)均為正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,則a4+a8=

.(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a4a7=3,則log3a1+log3a2+…+log3a10=

.考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用典例3(1)(2018江26答案(1)

(2)5解析(1)在等比數(shù)列{an}中,a6a10+a3a5=

+

=41,則(a4+a8)2=51,又各項(xiàng)均為正值,所以a4+a8=

.(2)log3a1+log3a2+…+log3a