2019版河北省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《課題33：與圓有關(guān)的位置關(guān)系》課件

課題33與圓有關(guān)的位置關(guān)系課題33與圓有關(guān)的位置關(guān)系1基礎(chǔ)知識梳理考點(diǎn)一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定考點(diǎn)四切線長定理及三角形的外接圓、內(nèi)切圓基礎(chǔ)知識梳理考點(diǎn)一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二直線與圓2中考題型突破題型一考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型二考查直線與圓的位置關(guān)系題型三考查切線長定理中考題型突破題型一考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型二考查3易錯(cuò)一盲目套用“d=r?直線與圓相切”而導(dǎo)致錯(cuò)解易錯(cuò)二對切線的判定定理不理解而導(dǎo)致錯(cuò)解易錯(cuò)三考慮問題不全面而出現(xiàn)丟解等錯(cuò)誤易混易錯(cuò)突破易錯(cuò)一盲目套用“d=r?直線與圓相切”而導(dǎo)致錯(cuò)解易錯(cuò)二4考點(diǎn)年份題號分值考查方式1.直線與圓的位置關(guān)系20182510以解答題的形式,與直角三角形的性

質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理,弧長等

知識相結(jié)合,考查直線與圓的位置關(guān)

系、切線的性質(zhì)等2017239以解答題的形式,把切線的性質(zhì)與圖形

變換、全等三角形、直角三角形的性

質(zhì)、銳角三角函數(shù)、弧長等知識相結(jié)

合,進(jìn)行綜合考查20162510以解答題的形式,把切線的性質(zhì)與圖形

變換、勾股定理、垂徑定理、銳角三

角函數(shù)、弧長等知識相結(jié)合,進(jìn)行綜合

考查2.切線的性質(zhì)2018152以選擇題的形式,與圖形的平移、角平

分線的定義等知識相結(jié)合,考查三角形

的內(nèi)心的知識備考策略:直線與圓的位置關(guān)系不但是圓的重點(diǎn)內(nèi)容,也是平面幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,因此一直是我省中考的必考內(nèi)容,常與圖形變換、勾股定理、圖形的全等與相似、銳角三角函數(shù)等知識相結(jié)合,進(jìn)行綜合

考查.由于這類題目綜合性較強(qiáng)、難度較大,所以常作為中考的壓軸題.切線長定理是新課標(biāo)實(shí)施后的新增內(nèi)容,預(yù)計(jì)今后我省中考對切線長定理的考查可能會(huì)有所加強(qiáng).河北考情探究考點(diǎn)年份題號分值考查方式1.直線與圓的位置關(guān)系20182515考點(diǎn)一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種,分別是①

點(diǎn)在圓外

,②

點(diǎn)在圓上

和③

點(diǎn)在圓內(nèi)

.如圖,設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則(1)點(diǎn)在圓外?④

d>r

,如點(diǎn)A;(2)點(diǎn)在圓上?d=r,如點(diǎn)⑤

B

;(3)點(diǎn)在⑥

圓內(nèi)

?d<r,如點(diǎn)⑦

C

.基礎(chǔ)知識梳理

基礎(chǔ)知識梳理?6考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,則直線l與☉O的位置關(guān)系如表所

示:直線與圓的位置關(guān)系d與r的關(guān)系交點(diǎn)的個(gè)數(shù)示意圖相離d>r沒有公共點(diǎn)

相切d=r有且只有⑧

一個(gè)

公共點(diǎn)

相交⑨

d<r

有⑩

兩個(gè)

公共點(diǎn)

考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的d與r的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)示意圖71.切線的概念和性質(zhì)(1)切線的定義:直線和圓只有

一個(gè)

公共點(diǎn)時(shí),這條直線叫圓的切線,這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(2)切線的性質(zhì):圓的切線

垂直

于過切點(diǎn)的半徑.其中,“過切點(diǎn)的半徑”也可理解為過切點(diǎn)的直徑或過切點(diǎn)和圓心的直線.考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定1.切線的概念和性質(zhì)考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定82.切線的判定判定切線有以下三種方法:(1)經(jīng)過半徑外端并且

垂直

于這條半徑的直線是圓的切線.(2)到圓心的距離

等于

半徑的直線是圓的切線.(3)和圓只有

一個(gè)

公共點(diǎn)的直線是圓的切線.2.切線的判定9考點(diǎn)四切線長定理及三角形的外接圓、內(nèi)切圓1.切線長定理:過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線

平分兩條切線的夾角.2.三角形的外接圓:三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上,這個(gè)圓叫做三角形的外

接圓,外接圓的圓心是三角形三邊

垂直平分線

的交點(diǎn),叫做三角形的外心.不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.3.三角形的內(nèi)切圓:和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的

圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的

內(nèi)心

.考點(diǎn)四切線長定理及三角形的外接圓、內(nèi)切圓2.三角形的外接圓10題型一考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系該題型主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,主要內(nèi)容有:根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之間的關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,或根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行線段的計(jì)

算等.中考題型突破中考題型突破11典例1

(2018泰安中考)如圖,☉M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P是☉M

上的任意一點(diǎn),PA⊥PB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)

于原點(diǎn)O對稱,則AB的最小值為

(C)

A.3

B.4

C.6

D.8典例1

(2018泰安中考)如圖,☉M的半徑為2,圓心12答案

C連接OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值.連接OM,交☉M于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí),OP'取得最小值,如圖所示.

答案

C連接OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.13過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,則OQ=3,MQ=4.根據(jù)勾股定理,得OM=5.又∵M(jìn)P'=2,∴OP'=3.∴AB=2OP'=6.名師點(diǎn)撥

本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,其關(guān)鍵是找到能使AB最小時(shí)

點(diǎn)P的位置,為此需利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進(jìn)行

線段的轉(zhuǎn)化,即根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”求PO的最小值,即可得到AB的最

小值.過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,則OQ=3,MQ=4.名師點(diǎn)撥

14變式訓(xùn)練1

(2018滄州模擬)在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹,位置

如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等).現(xiàn)計(jì)劃修建一座以O(shè)為圓心,OA為半

徑的圓形水池,要求池中不留樹木,則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為

(A)

A.E、F、G

B.F、G、HC.G、H、E

D.H、E、F變式訓(xùn)練1

(2018滄州模擬)在公園的O處附近有E、15答案

A設(shè)圖中小正方形的邊長為1,則OA=

=

.觀察可知,OE=OF=2<

,∴點(diǎn)E、F都在☉O內(nèi),則樹E、樹F需要被移除;OG=1<

,∴點(diǎn)G在☉O內(nèi),則樹G需要被移除;根據(jù)勾股定理,得OH=

=2

>

,∴點(diǎn)H在☉O外,則樹H不需要被移除.答案

A設(shè)圖中小正方形的邊長為1,則OA=?=?.16題型二考查直線與圓的位置關(guān)系該題型主要考查直線與圓的位置關(guān)系,它是圓的重點(diǎn)內(nèi)容,主要包括:根據(jù)圓

心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系,判斷直線與圓的位置關(guān)系,利用切線的性

質(zhì)計(jì)算或證明,根據(jù)切線的判定定理判定一條直線是不是圓的切線等.題型二考查直線與圓的位置關(guān)系17典例2

(2018宜賓中考)如圖,AB為圓O的直徑,C為圓O上一點(diǎn),D為BC延長線

上一點(diǎn),且BC=CD,CE⊥AD于點(diǎn)E.(1)求證:直線EC為圓O的切線;(2)設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F,AF的延長線與CE交于點(diǎn)P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,

PF=4,求sin∠PEF的值.

典例2

(2018宜賓中考)如圖,AB為圓O的直徑,C18答案(1)證明:∵CE⊥AD于點(diǎn)E,∴∠DEC=90°.∵BC=CD,∴C是BD的中點(diǎn).又∵O是AB的中點(diǎn),∴OC是△BDA的中位線.∴OC∥AD.∴∠OCE=∠CED=90°.∴OC⊥CE.又∵點(diǎn)C在圓上,∴CE是圓O的切線.(2)連接AC,如圖所示.答案(1)證明:∵CE⊥AD于點(diǎn)E,∴∠DEC=90°.19

∵AB是直徑,點(diǎn)F在圓上,∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA.∵∠EPF=∠EPA,∴△PEF∽△PAE.∴PE2=PF·PA.

20∵∠CBF=∠PCF=∠CAF,∠CPF=∠CPA,∴△PCF∽△PAC.∴PC2=PF·PA.∴PE=PC.在Rt△PEF中,sin∠PEF=

=

.名師點(diǎn)撥

在證明一條與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線時(shí),作出過該公共點(diǎn)

的半徑,然后證明這條半徑與直線垂直,這種證明方法可簡記為“作半徑、證

垂直、得切線”.∵∠CBF=∠PCF=∠CAF,∠CPF=∠CPA,名師點(diǎn)撥21變式訓(xùn)練2

(2017河北中考)如圖,AB=16,O是AB中點(diǎn),點(diǎn)C在線段OB上(不與

點(diǎn)O,B重合),將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧

于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè),連接OP.(1)求證:AP=BQ;(2)當(dāng)BQ=4

時(shí),求優(yōu)弧

的長(結(jié)果保留π);(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部,求OC的取值范圍.

變式訓(xùn)練2

(2017河北中考)如圖,AB=16,O是22答案(1)證明:連接OQ.∵AP,BQ分別與優(yōu)弧

相切,∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠APO=∠BQO=90°.又OA=OB,OP=OQ,∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.(2)∵BQ=4

,OB=

AB=8,∠BQO=90°,∴sin∠BOQ=

.∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4,∴優(yōu)弧

的長為

=

.(3)設(shè)點(diǎn)M為Rt△APO的外心,則M為OA的中心,

∴OM=4.當(dāng)點(diǎn)M在扇形COD的內(nèi)部時(shí),OM<OC,∴4<OC<8.答案(1)證明:連接OQ.(3)設(shè)點(diǎn)M為Rt△APO的外心23題型三考查切線長定理該題型主要考查切線長定理,主要內(nèi)容包括:利用切線長定理計(jì)算或證明,利

用尺規(guī)作圖作三角形的內(nèi)切圓,根據(jù)三角形的內(nèi)切圓進(jìn)行線段的計(jì)算等.典例3

(2018新疆中考)如圖,PA與☉O相切于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB⊥OP,垂足為

C,交☉O于點(diǎn)B.連接PB,AO,并延長AO交☉O于點(diǎn)D,與PB的延長線交于點(diǎn)E.(1)求證:PB是☉O的切線;(2)若OC=3,AC=4,求sinE的值.

題型三考查切線長定理典例3

(2018新疆中考)如圖24答案(1)證明:連接OB,∵PO⊥AB,∴AC=BC.∴PA=PB.在△PAO和△PBO中,

∴△PAO≌△PBO.∴∠OAP=∠OBP=90°.∴PB是☉O的切線.答案(1)證明:連接OB,25

(2)連接BD,∵AD是☉O的直徑,∴∠ABD=90°,∵AB⊥OP,∴∠BCP=∠ABD.

∴BD∥OP,且BD=2OC=6.在Rt△ACO中,根據(jù)勾股定理,得OA=

=

=5.

26∵∠AOP=∠AOP,∠PAO=∠ACO=90°,∴△ACO∽△PAO,得

=

,解得OP=

.在Rt△PAO中,根據(jù)勾股定理,得PA=

=

=

.∴PB=PA=

.∵BD∥PO,∴△EBD∽△EPO.∴

=

,即

=

,解得BE=

.∴PE=PB+BE=

.∴sinE=

=

.∵∠AOP=∠AOP,∠PAO=∠ACO=90°,∴PE=P27名師點(diǎn)撥

在與切線有關(guān)的計(jì)算中,如果題目中出現(xiàn)兩條切線且這兩條切線

相交于一點(diǎn),一定要注意利用切線長定理進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.如本題,通過把PA

轉(zhuǎn)化為PB后,利用相似三角形即可求得線段BE的長,為求sinE的值提供了一

個(gè)必需的條件.名師點(diǎn)撥

在與切線有關(guān)的計(jì)算中,如果題目中出現(xiàn)兩條切線28變式訓(xùn)練3

(2018湖南長沙中考)如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的中線,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延長線于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.(1)求CE的長;(2)求證:△ABC為等腰三角形;(3)求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

變式訓(xùn)練3

(2018湖南長沙中考)如圖,在△ABC中29答案(1)∵AD是邊BC上的中線,∴

=

,∵CE∥AD,∴△ADB∽△ECB,∴

=

=

=

.∵AD=3,∴CE=2AD=6.(2)證法一:∵CE∥AD,∴∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠AEC.又∵∠BAD=∠CAD,∴∠ACE=∠AEC,∴AC=AE.又AD是△BCE的中位線,∴AB=AE,答案(1)∵AD是邊BC上的中線,∴?=?,30∴AB=AC,∴△ABC為等腰三角形.證法二:如圖,延長AD到點(diǎn)F,使DF=AD,連接FC.

在△ABD和△FCD中,∴AB=AC,∴△ABC為等腰三角形.31

∴△ABD≌△FCD,∴AB=FC,∠BAD=∠CFD.又∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠CFD,∴AC=FC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(3)由(2)可知AD既是邊BC的垂直平分線,又是∠BAC的平分線,∴△ABC的

外心P與內(nèi)心Q均在直線AD上.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r.?∴△ABD≌△FCD,32在△ABD中,BD=

BC=4,AD=3,AD⊥BC,∴AB=5.在Rt△BDP中,有R2=42+|R-3|2,解得R=

>3,∴點(diǎn)P在△ABC的外部,如圖.

在△ABD中,BD=?BC=4,AD=3,AD⊥BC,∴AB33∴PD=R-AD=

-3=

.∵S△ABC=

×8×3=

×(5+5+8)r,∴r=QD=

,∴PQ=PD+QD=

+

=

.故P,Q兩點(diǎn)之間的距離為

.∴PD=R-AD=?-3=?.34易錯(cuò)一盲目套用“d=r?直線與圓相切”而導(dǎo)致錯(cuò)解易混易錯(cuò)突破典例1

(2018唐山模擬)如果直線l上一點(diǎn)M與圓O的圓心的距離等于圓O的

半徑,那么這條直線與圓O的位置關(guān)系是

(C)A.相交

B.相切C.相交或相切

D.以上都不正確易混易錯(cuò)突破典例1

(2018唐山模擬)如果直線l上一35易錯(cuò)警示

在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),不要一看到距離,就把這個(gè)距離誤

認(rèn)為是d,因?yàn)橹本€上一點(diǎn)與一個(gè)圓的圓心的距離不一定是圓心到直線的距

離,圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于這個(gè)距離.解析設(shè)圓的半徑為r,過點(diǎn)O作OP⊥l,垂足為P,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),點(diǎn)O到直

線l的距離等于r,則直線l與☉O相切;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí),點(diǎn)O到直線l的距

離小于r,則直線l與☉O相交.綜上所述,直線l與☉O相切或相交.答案

C易錯(cuò)警示

在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),不要一看到距離,36典例2

(2017衡水模擬)如圖所示,OA、OB是☉O的兩條半徑,下列有關(guān)☉O

的切線的判定:①經(jīng)過點(diǎn)A的直線是☉O的切線;②垂直于OA的直線是☉O的

切線;③經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于OB的直線是☉O的切線;④經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于OA的

直線是☉O的切線.其中,正確的有

(B)

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)易錯(cuò)二對切線的判定定理不理解而導(dǎo)致錯(cuò)解易錯(cuò)二對切線的判定定理不理解而導(dǎo)致錯(cuò)解37易錯(cuò)警示

本題的易錯(cuò)之處是對切線的判定定理不理解,因此不能做出正確

的判斷,應(yīng)注意圓的切線需要同時(shí)具備兩個(gè)條件:第一,過切點(diǎn);第二,與過切點(diǎn)

的半徑垂直.解析因?yàn)榻?jīng)過A點(diǎn)的直線有無數(shù)條,而經(jīng)過A點(diǎn)的切線只有一條,所以①不

正確;因?yàn)榇怪庇贠A的直線有無數(shù)條,只有經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于OA的直線才是

☉O的切線,所以②不正確;因?yàn)榘霃絆B不經(jīng)過點(diǎn)A,所以③不正確;根據(jù)切線

的判定定理可知④正確,故選B.答案

B易錯(cuò)警示

本題的易錯(cuò)之處是對切線的判定定理不理解,因此38易錯(cuò)三考慮問題不全面而出現(xiàn)丟解等錯(cuò)誤典例3

(2017廊坊模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的☉P的圓心

坐標(biāo)為(-3,0),將☉P沿x軸正方向平移,使☉P與y軸相切,則平移的距離為

(B)

A.1

B.1或5

C.3

D.5易錯(cuò)三考慮問題不全面而出現(xiàn)丟解等錯(cuò)誤39易錯(cuò)警示

本題的易錯(cuò)之處是考慮問題不全面,只考慮到圓在y軸左側(cè)時(shí)與y

軸相切,而忽略了圓在y軸右側(cè)時(shí)與y軸相切的情況,因而出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤.解析當(dāng)☉P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí),平移的距離為1;當(dāng)☉P位于y軸

的右側(cè)且與y軸相切時(shí),平移的距離為5.故選B.答案

B易錯(cuò)警示

本題的易錯(cuò)之處是考慮問題不全面,只考慮到圓在401.若☉O的面積是25π

cm2,點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離為4cm,那么點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)

系是

(C)A.點(diǎn)A在☉O外

B.點(diǎn)A在☉O上C.點(diǎn)A在☉O內(nèi)

D.點(diǎn)A不在☉O內(nèi)隨堂鞏固檢測隨堂鞏固檢測412.如圖,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點(diǎn)B,連接OA,OB,若∠ABC=65°,則∠A等于

(B)

A.20°

B.25°

C.35°

D.75°2.如圖,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點(diǎn)B,連接OA,O423.如圖所示,∠AOB=30°,P為OA上一點(diǎn),且OP=5cm,若以P為圓心,r為半徑的

圓與OB相切,則半徑r為

(C)

A.5cm

B.

cmC.

cm

D.

cm3.如圖所示,∠AOB=30°,P為OA上一點(diǎn),且OP=5434.(2018眉山中考)如圖所示,AB是☉O的直徑,PA切☉O于點(diǎn)A,線段PO交☉O

于點(diǎn)C,連接BC,若∠P=36°,則∠B等于

(A)

A.27°

B.32°

C.36°

D.54°4.(2018眉山中考)如圖所示,AB是☉O的直徑,PA切☉445.如圖,PA、PB是☉O的切線,切點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)C是☉O上不與點(diǎn)A、B重

合的任意一點(diǎn),如果∠P=40°,那么∠ACB的度數(shù)是

(D)

A.140°

B.110°C.70°

D.70°或110°5.如圖,PA、PB是☉O的切線,切點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)C是☉456.如圖所示,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓的