廣西壯族自治區(qū)桂林市金石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市金石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.表示實(shí)數(shù)集，集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（）A．3π B．2π C．π D．4π參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖知幾何體是三棱錐為棱長(zhǎng)為1的正方體一部分，并畫出直觀圖，由正方體的性質(zhì)求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出該棱錐的外接球的表面積．【解答】解：根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐P﹣ABC為棱長(zhǎng)為1的正方體一部分，直觀圖如圖所示：則三棱錐P﹣ABC的外接球是此正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑是R，由正方體的性質(zhì)可得，2R=，解得R=，所以該棱錐的外接球的表面積S=4πR2=3π，故選A．3.下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．已知服從正態(tài)分布，且，則B．已知命題;命題．則命題“”是假命題C．設(shè)回歸直線方程為，當(dāng)變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加2個(gè)單位D．已知直線,，則的充要條件是=-3

參考答案：B4.以雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心，焦矩為直徑的圓與雙曲線交于M點(diǎn)（第一象限），F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸垂線，垂足恰為OF2的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A．﹣1 B． C．+1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意M的坐標(biāo)為M（），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意M的坐標(biāo)為M（），代入雙曲線方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．5.已知函數(shù)則不等式的解集是

A.

B.

C.

D.參考答案：C6.下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0，+∞）的偶函數(shù)是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性然后求解值域，推出結(jié)果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函數(shù)，值域?yàn)椋篬1，+∞）．y=|x|是偶函數(shù)，值域?yàn)閇0，+∞）．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷以及函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【考點(diǎn)】相等向量與相反向量．【專題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，得出M為AB的中點(diǎn)，從而求出的值．【解答】解：如圖所示，∵M(jìn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，∴M為AB的中點(diǎn)，∴=（+）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性表示與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．7.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

(

)

參考答案：A8.火車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中火車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖象可能是參考答案：B9.設(shè)a∈R，則“＜1”是“a＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由＜1得a＜0或a＞1，∴“＜1”是“a＞1”成立的必要不充分條件，故選：B．10.已知定義在上的函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則c=________.參考答案：3由余弦定理，因?yàn)椋?，有，解?試題立意：本小題考查正余弦定理，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想.12.若實(shí)數(shù)X、y滿足不等式組，則的最大值為

．參考答案：略13.已知，且是第三象限的角，則的值為

．參考答案：由題意得，根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系，所以，故答案為：

14.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(x+2)×f(x)=k(k為常數(shù))，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=x2+1， 則f(5)=

▲

．參考答案：2

略15.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列結(jié)論：①y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值為4；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；則其中正確結(jié)論的序號(hào)為．參考答案：①②③④【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解；②根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；③結(jié)合三角函數(shù)的有界性和最值進(jìn)行求解判斷；④根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷；【解答】解：①函數(shù)的周期T=，故y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)正確；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）正確；③當(dāng)4sin（2x+）=1時(shí)，y=f（x）的最大值為4，正確；④當(dāng)x=時(shí)，f（）=4sin（2×+）=4sin=4為最大值，即f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，正確．故正確的是①②③④，故答案為：①②③④【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16.雙曲線過(guò)其左焦點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若雙曲線右頂點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍為

.參考答案：（1，2）由題知：若使雙曲線右頂點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)則應(yīng)有：

又,

.故選A17.若全集，集合，則

.參考答案：本題考查集合的運(yùn)算，難度較小.因?yàn)?，所?三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，且AC⊥BD．（Ⅰ）求證：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求證：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判斷直線B1D與平面ACD1是否垂直?并說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：∵AD∥BC，，，∴．

∵，，…（2分），∴．

…………（3分）又因?yàn)椋嗥矫?/p>

．

……（4分）又因?yàn)?，?/p>

．

……（5分）

（Ⅱ）證明：∵，

∴…………（6分）又∵，，∴．………（7分）又∵．∴．

……………（8分）（Ⅲ）結(jié)論：直線與平面不垂直．證明：假設(shè)，由，得．

……（9分）由棱柱中，，，可得，．

又∵，∴．

……（11分）∴．又∵，∴．…（12分）∴．這與四邊形為矩形，且矛盾．故直線不垂直．

…（13分）19.命題，其中，命題實(shí)數(shù)滿足或，且是的必要不充分條件，求的取值范圍。參考答案：略20.某市隨機(jī)抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬(wàn)元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果年上繳稅收不少于60萬(wàn)元的企業(yè)可申請(qǐng)政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個(gè)，試估計(jì)有多少企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠；（Ⅲ）從企業(yè)中任選4個(gè)，這4個(gè)企業(yè)年上繳稅收少于20萬(wàn)元的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200個(gè)企業(yè)中有1200×0.12個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬(wàn)元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．解答：解：（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200個(gè)企業(yè)中有144個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬(wàn)元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的有關(guān)性質(zhì)、隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.為把中國(guó)武漢大學(xué)辦成開放式大學(xué)，今年櫻花節(jié)武漢大學(xué)在其屬下的藝術(shù)學(xué)院和文學(xué)院分別招募8名和12名志愿者從事兼職導(dǎo)游工作，將這20志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：厘米）若身高在175cm及其以上定義為“高個(gè)子”，否則定義為“非高個(gè)子”且只有文學(xué)院的“高個(gè)子”才能擔(dān)任兼職導(dǎo)游．（1）根據(jù)志愿者的身高莖葉圖指出文學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)（2）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少（3）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者．用ζ表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出ζ的分布列，并求ζ的數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；分層抽樣方法；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用莖葉圖子集求解文學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)即可．（2）由莖葉圖，按照分層抽樣抽取的5人中“高個(gè)子”人數(shù)，“非高個(gè)子”人數(shù)；然后求解概率．（3）文學(xué)院的高個(gè)子只有3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3；求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知文學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)為：…（2分）（2）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，∴按照分層抽樣抽取的5人中“高個(gè)子”為人，“非高個(gè)子”為人；則至少有1人為高個(gè)子的概率P=1﹣…（6分）（3）由題可知：文學(xué)院的高個(gè)子只有3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3；故，，，，即ξ的分布列為：ξ0123PEζ=0×+1×+2×+3×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，莖葉圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．22.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，甲組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示. （Ⅰ）如果甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成績(jī)一樣，求X及甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；（Ⅱ）如果X=7，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180的概率.（注：方差