2020年高考數(shù)學人教B版典例透析能力提升必修2課件：231-圓的標準方程

2.3

圓的方程2.3圓的方程2.3.1圓的標準方程2.3.1圓的標準方程1.掌握圓的標準方程,能根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程;能根據(jù)圓的標準方程求出圓的圓心和半徑,并運用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題.2.掌握利用待定系數(shù)法求圓的標準方程的方法,并能借助圓的幾何性質(zhì)處理與圓心及半徑有關(guān)的問題.3.會判斷點與圓的位置關(guān)系.1.掌握圓的標準方程,能根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方1231.圓的定義平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓,定點是圓心,定長是圓的半徑.設(shè)M(x,y)是☉C上的任意一點,點M在☉C上的條件是|CM|=r,r為☉C的半徑.名師點撥

圓的常用幾何性質(zhì)如下:(1)圓心在過切點,且與切線垂直的直線上;(2)圓心必是兩弦中垂線的交點;(3)不過圓心的弦,弦心距d,半弦長m及半徑r滿足r2=d2+m2;(4)直徑所對的圓周角是90°,即圓的直徑的兩端點與圓周上異于端點的任意一點的連線互相垂直.1231.圓的定義123【做一做1】

已知圓O的一條弦長為2,且此弦所對圓周角為60°,則該圓的半徑為

.

123【做一做1】已知圓O的一條弦長為2,且此弦所對圓周角1232.圓的方程(1)圓心在坐標原點,半徑為r的圓的標準方程為x2+y2=r2.(2)圓心坐標為(a,b),半徑為r的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.1232.圓的方程123歸納總結(jié)幾種特殊形式的圓的標準方程

123歸納總結(jié)幾種特殊形式的圓的標準方程123【做一做2】

圓心是O(-3,4),半徑為5的圓的方程為

(

)A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25答案：D123【做一做2】圓心是O(-3,4),半徑為5的圓的方程1233.點與圓的位置關(guān)系設(shè)點P(x0,y0)和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,則點P在圓上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2?|PC|=r;點P在圓外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2?|PC|>r;點P在圓內(nèi)?(x0-a)2+(y0-b)2<r2?|PC|<r.1233.點與圓的位置關(guān)系123【做一做3-1】

下面各點在圓(x-1)2+(y-1)2=2上的是(

)A.(1,1) B.(2,1) C.(0,0) 答案：C【做一做3-2】

點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(

)A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不確定解析：因為(m2)2+52=m4+25>24,所以點P在圓外.答案：A123【做一做3-1】下面各點在圓(x-1)2+(y-1)121.圓的圖形不是函數(shù)的圖象剖析：根據(jù)函數(shù)知識,對于平面直角坐標系中的某一曲線,如果垂直于x軸的直線與此曲線至多有一個交點,那么這條曲線是函數(shù)的圖象,否則,不是函數(shù)的圖象.對于平面直角坐標系中的圓,垂直于x軸的直線與其至多有兩個交點,因此圓不是函數(shù)的圖象.但是存在圖象是圓弧形狀的函數(shù).121.圓的圖形不是函數(shù)的圖象122.求圓關(guān)于一個點或一條直線對稱的圓的方程的問題剖析：要求圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2關(guān)于點P(x0,y0)對稱的圓的方程,首先找圓心C(a,b)關(guān)于點P(x0,y0)的對稱點,得到對稱圓的圓心,半徑不變.如:求圓(x+1)2+y2=4關(guān)于原點對稱的圓的方程.因為已知圓的圓心是(-1,0),它關(guān)于原點的對稱點是(1,0),所以所求的圓的方程為(x-1)2+y2=4.同理求圓關(guān)于直線mx+ny+p=0對稱的圓的方程,只需求圓心關(guān)于直線的對稱點.如:已知圓C與圓(x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對稱,求圓C的方程,我們可以設(shè)圓心(1,0)關(guān)于y=-x對稱的點為(a,b),則122.求圓關(guān)于一個點或一條直線對稱的圓的方程的問題題型一題型二題型三題型四題型五求圓的標準方程

【例1】

根據(jù)下列條件分別求圓的標準方程:(1)圓心為(3,4),半徑等于;(2)以M(-4,-5),N(6,-1)為直徑兩端點;(3)圓心為(1,-3),經(jīng)過點(-3,-1);(4)圓心為(2,-5),且與直線4x-3y-3=0相切;(5)圓心在直線x=2上,且與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2).(6)求經(jīng)過點A(4,1),且與直線x-y-1=0相切于點B(2,1)的圓的方程.分析：(1)(2)(3)(4)(5)根據(jù)各個條件,分別確定圓心坐標和半徑大小,寫出標準方程.(6)設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,根據(jù)題目條件列出關(guān)于a,b,r的方程組.解方程組求得a,b,r的值,即得圓的方程.題型一題型二題型三題型四題型五求圓的標準方程【例1】根據(jù)題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思

1.在求圓的標準方程時,要注意中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩點的距離公式的正確運用.2.列方程組時要充分借助圓的幾何性質(zhì),發(fā)現(xiàn)圖中幾何元素的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為a,b,r的方程;3.解方程組時,要充分利用加減消元法,不要盲目運用代入消元法.要將兩者結(jié)合起來.題型一題型二題型三題型四題型五反思1.在求圓的標準方程時,題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練1】

求下列圓的方程.(1)圓心在直線y=-2x上,且與直線y=1-x相切于點(2,-1);(2)圓心C(3,0),且截直線y=x+1所得弦長為4.(3)求經(jīng)過點P1(4,9)和P2(6,3),且以P1P2為直徑的圓的標準方程.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練1】求下列圓的方程題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五判斷點與圓的位置關(guān)系

【例2】

(1)圓的直徑端點為(2,0),(2,-2),求此圓的方程,并判斷A(5,4),B(1,0)是在圓上、圓外,還是在圓內(nèi);(2)若點P(-2,4)在圓(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求實數(shù)m的取值范圍.分析：(1)求出圓心坐標和半徑可得圓的標準方程.判斷點在圓上、圓外、圓內(nèi)的方法是:根據(jù)已知點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷.(2)利用點在圓的外部建立不等式求m的取值范圍.題型一題型二題型三題型四題型五判斷點與圓的位置關(guān)系【例2】題型一題型二題型三題型四題型五解(1)由已知得圓心坐標為C(2,-1),半徑r=1.則圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=1.∴A,B兩點都在圓外.(2)∵點P(-2,4)在圓的外部,∴(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又∵方程表示圓,∴有m>0.因此實數(shù)m的取值范圍是0<m<5.題型一題型二題型三題型四題型五解(1)由已知得圓心坐標為C(題型一題型二題型三題型四題型五反思

一般地,以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑兩端點的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.例如本例(1)中,由于直徑端點分別為(2,0)和(2,-2),因此圓的方程為(x-2)(x-2)+y(y+2)=0,整理即得(x-2)2+(y+1)2=1.題型一題型二題型三題型四題型五反思一般地,以A(x1,y1題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練2】

下列各點中在圓(x+3)2+(y-1)2=5的外部的是(

)A.(-2,0) B.(-3,3) C.(-1,4) D.(-1,2)解析：因為(-1+3)2+(4-1)2=4+9=13>5,所以點(-1,4)在圓外部.答案：C題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練2】下列各點中在圓題型一題型二題型三題型四題型五求圓關(guān)于點(線)對稱的圓

分析：對稱圓的圓心坐標變化、半徑不變,另外也可利用相關(guān)點法來求.題型一題型二題型三題型四題型五求圓關(guān)于點(線)對稱的圓分析題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思

本例中方法一更簡單一些.但需掌握點關(guān)于直線的對稱點坐標的求法.題型一題型二題型三題型四題型五反思本例中方法一更簡單一些.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練3】

若圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關(guān)于原點對稱,則圓C的方程是(

)A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1解析：圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關(guān)于原點對稱,則圓心C(2,-1),故圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=1.答案：A題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練3】若圓C與圓(x題型一題型二題型三題型四題型五圓的標準方程的實際應用

【例4】

如圖,一座圓拱橋,當水面在l位置時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬多少米?分析：建立平面直角坐標系,求出圓拱橋所在圓的標準方程,再利用方程解決相關(guān)問題.題型一題型二題型三題型四題型五圓的標準方程的實際應用【例4題型一題型二題型三題型四題型五解以圓拱橋拱頂為坐標原點,以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖.設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點為A,B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2,①將點A的坐標(6,-2)代入方程①,得36+(r-2)2=r2,解得r=10.所以圓的方程為x2+(y+10)2=100.②當水面下降1

m后,可設(shè)點A'的坐標為(x0,-3)(x0>0),題型一題型二題型三題型四題型五解以圓拱橋拱頂為坐標原點,以過題型一題型二題型三題型四題型五反思

建立的平面直角坐標系不同,圓的方程也不同.建立平面直角坐標系時,要盡量使方程簡單,并有利于目標實現(xiàn).本題若選擇其他方法建立平面直角坐標系也不影響結(jié)論.題型一題型二題型三題型四題型五反思建立的平面直角坐標系不同題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練4】

已知某隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道?題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓練4】已知某隧道的截題型一題型二題型三題型四題型五易錯辨析

易錯點一:對幾何關(guān)系把握不準確致錯【例5】

已知圓C的半徑為2,且與y軸和直線4x-3y=0都相切,試求圓C的標準方程.錯解:由題意可設(shè)圓C的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=4,因為圓C與y軸相切,可知a=2,題型一題型二題型三題型四題型五易錯辨析易錯點一:對幾何關(guān)系題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五易錯點二:對圓的標準方程理解不深致錯【例6】

已知圓的方程是(3x-3)2+(3y+4)2=9,則該圓的圓心坐標為

,半徑等于

.

錯解:由圓的方程知圓心坐標為(3,-4),半徑r=3.錯因分析：對圓的標準方程的形式理解不深刻,所給出的圓的方程中,x與y的系數(shù)不是1,故不是標準方程,因此所得結(jié)論錯誤.題型一題型二題型三題型四題型五易錯點二:對圓的標準方程理解不123451圓C:(x-a)2+(y+1)2=3的圓心坐標是(

)A.(a,1) B.(a,-1) C.(-a,1) D.(-a,-1)答案：B123451圓C:(x-a)2+(y+1)2=3的圓心坐標是123452以點A(-5,4)為圓心,且與x軸相切的圓的標準方程為

(

)A.(x+5)2+(y-4)2=16B.(x-5)2+(y+4)2=16C.(x+5)2+(y-4)2=25D.(x-5)2+(y+4)2=25解析：因為圓與x軸相切,所以r=4.故圓的標準方程為(x+5)2+(y-4)2=16.答案：A123452以點A(-5,4)為圓心,且與x軸相切的圓的標準123453圓(