2020年高考數(shù)學(xué)人教B版典例透析能力提升必修2課件：223-兩條直線的位置關(guān)系

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系2.2.3兩條直線的位置關(guān)系1.會通過解方程組發(fā)現(xiàn)直線相交、平行、重合的條件.2.會判斷兩條直線相交、平行和重合,并會求兩條直線的交點坐標.3.理解用勾股定理推導(dǎo)兩條直線垂直的條件,并能熟練運用這一條件判斷兩條直線是否垂直.1.會通過解方程組發(fā)現(xiàn)直線相交、平行、重合的條件.121.兩條直線相交、平行與重合的條件(1)兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系,可以方程的系數(shù)進行判斷,方法如下:121.兩條直線相交、平行與重合的條件121212(2)兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置關(guān)系,也可用兩直線的斜率和在y軸上的截距來進行判斷,具體判斷方法如表所示.12(2)兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+12【做一做1】

直線l1與l2為兩條不重合的直線,則下列命題:①若l1∥l2,則斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,則l1∥l2;③若傾斜角α1=α2,則l1∥l2;④若l1∥l2,則傾斜角α1=α2.其中正確命題的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析：①錯,②③④正確.答案：C12【做一做1】直線l1與l2為兩條不重合的直線,則下列命122.兩條直線垂直的條件(1)設(shè)直線l1,l2的方程分別為A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.(2)設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x+b1,y=k2x+b2,則l1⊥l2?k1k2=-1.知識拓展

與直線l:Ax+By+C=0平行與垂直的直線:若直線l'與l平行,則l'可設(shè)為Ax+By+D=0;若直線l'與l垂直,則l'可設(shè)為Bx-Ay+D'=0.過點(x0,y0)且與Ax+By+C=0平行的直線可表示為A(x-x0)+B(y-y0)=0;過點(x0,y0)且與Ax+By+C=0垂直的直線可表示為B(x-x0)-A(y-y0)=0.122.兩條直線垂直的條件知識拓展與直線l:Ax+By+C12答案：A12答案：A121.關(guān)于直線的對稱問題剖析：設(shè)直線l:Ax+By+C=0,則①l關(guān)于x軸對稱的直線方程是Ax+B(-y)+C=0;②l關(guān)于y軸對稱的直線方程是A(-x)+By+C=0;③l關(guān)于原點對稱的直線方程是A(-x)+B(-y)+C=0;④l關(guān)于直線y=x對稱的直線方程是Bx+Ay+C=0;⑤l關(guān)于直線y=-x對稱的直線方程是A(-y)+B(-x)+C=0;⑥l關(guān)于點P(x0,y0)對稱的直線方程是A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.121.關(guān)于直線的對稱問題12名師點撥

點關(guān)于點的對稱點,點關(guān)于直線的對稱點,直線關(guān)于點的對稱直線,直線關(guān)于直線的對稱直線問題,其實質(zhì)都是中點問題與垂直問題的結(jié)合.12名師點撥點關(guān)于點的對稱點,點關(guān)于直線的對稱點,直線關(guān)于122.教材中的“思考與討論”已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,如何用這兩條直線的斜率k1,k2以及b1,b2,判定這兩條直線平行或者重合?證明你的結(jié)論,并說明與直線y=kx+b平行的直線可表示為y=kx+b1(b1≠b).剖析：l1∥l2的條件是k1=k2,且b1≠b2;l1與l2重合的條件是k1=k2,且b1=b2.122.教材中的“思考與討論”1212題型一題型二題型三題型四題型五判斷兩直線的位置關(guān)系

【例1】

判斷下列直線的位置關(guān)系.(1)已知兩條直線l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0;(2)已知兩條直線l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0.分析：利用判斷兩直線位置關(guān)系的條件來求解,可以用斜率形式,也可以用一般形式.題型一題型二題型三題型四題型五判斷兩直線的位置關(guān)系【例1】題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思

1.(1)判斷兩條直線平行,首先需要判斷其斜率相等(斜率存在時),即k1=k2.兩條直線斜率相等,則兩條直線可能平行也可能重合,還需要再進一步判斷截距不相等,即b1≠b2.如果兩條直線斜率不存在,兩條直線為x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;(2)判斷兩直線平行,也可用系數(shù)比(注意斜率為零和不存在).2.判斷兩直線垂直:(1)如果斜率都存在,只判斷k1k2=-1;如果一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率必等于零,從斜率的角度判斷,應(yīng)注意上面的兩種情況;(2)利用A1A2+B1B2=0判斷.題型一題型二題型三題型四題型五反思1.(1)判斷兩條直線平題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】

給出以下四條直線:①l1:2x-3y+1=0;②l2:6x+4y-1=0;③l3:6x-9y+2=0;其中互相平行的直線是

,互相垂直的直線是

.

解析：4條直線的方程可分別化為:顯然l1∥l3,l2∥l4,l1⊥l2,l1⊥l4,l3⊥l2,l3⊥l4.答案：l1與l3,l2與l4

l1與l2,l1與l4,l2與l3,l3與l4題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】給出以下四條直題型一題型二題型三題型四題型五利用兩直線的位置關(guān)系定參數(shù)

【例2】

已知兩條直線l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0.當m為何值時,直線l1與l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合?分析：根據(jù)兩條直線相交、平行、重合的條件列方程或不等關(guān)系求解.解因為直線l1:x+my+6=0,直線l2:(m-2)x+3y+2m=0,所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.(1)若l1與l2相交,則A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,整理得m2-2m-3≠0,解得m≠3,且m≠-1.故當m≠3,且m≠-1時,直線l1與l2相交.題型一題型二題型三題型四題型五利用兩直線的位置關(guān)系定參數(shù)【題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五所以m=3.故當m=3時,直線l1與l2重合.綜上所述,(1)當m≠3,且m≠-1時,兩直線相交;(2)當m=-1時,兩直線平行;(3)當m=3時,兩直線重合.反思

利用兩直線的位置關(guān)系確定參數(shù)值時一定不要忽視特殊情況,即斜率為零或斜率不存在的情況,再者注意對結(jié)果進行檢驗.題型一題型二題型三題型四題型五所以m=3.故當m=3時,直線題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練2】

若直線ax+2y=0和2x+(a+1)y+1=0垂直,則實數(shù)a的值為(

)解析：由兩條直線垂直,可得a×2+2×(a+1)=0,解得a=-答案：A題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練2】若直線ax+2題型一題型二題型三題型四題型五求與已知直線平行或垂直的直線方程

【例3】

已知點A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.求:(1)過點A和直線l平行的直線方程;(2)過點A和直線l垂直的直線方程.分析：本題可根據(jù)兩條直線平行與垂直時斜率間的關(guān)系,求出所求直線的斜率后用點斜式求解,也可利用直線系方程來求解.題型一題型二題型三題型四題型五求與已知直線平行或垂直的直線方題型一題型二題型三題型四題型五即3x+4y-14=0.(方法二)設(shè)過點A且平行于直線l的直線l1的方程為3x+4y+m=0.由點A(2,2)在直線l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.故直線l1的方程為3x+4y-14=0.(2)(方法一)設(shè)過點A與l垂直的直線為l2.題型一題型二題型三題型四題型五即3x+4y-14=0.題型一題型二題型三題型四題型五(方法二)設(shè)過點A與l垂直的直線l2的方程為4x-3y+m=0.因為l2經(jīng)過點A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.故l2的方程為4x-3y-2=0.反思

求經(jīng)過點A(x0,y0)與直線l:Ax+By+C=0平行或垂直的直線方程,當l的斜率存在(求垂直直線時,要求斜率不為零)時,可利用直線方程的點斜式求直線方程,也可利用待定系數(shù)法根據(jù)直線系方程求直線方程.題型一題型二題型三題型四題型五(方法二)設(shè)過點A與l垂直的直題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】

求經(jīng)過點A(2,1)且與直線2x+ay-10=0垂直的直線l的方程.解(方法一)①當a=0時,已知直線化為x=5,此時直線斜率不存在,則所求直線l的斜率為0,因為直線l過點A(2,1),所以直線l的方程為y-1=0(x-2),即y=1.②當a≠0時,題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點A(2題型一題型二題型三題型四題型五即ax-2y-2a+2=0.所求直線l的方程為y=1或ax-2y-2a+2=0.又因為y=1是ax-2y-2a+2=0的一個特例,因此上述兩條直線可合寫成ax-2y-2a+2=0.(方法二)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ax-2y+D=0,又因為點A在直線l上,所以2a-2×1+D=0,所以D=2-2a,所以所求直線l的方程為ax-2y+2-2a=0.題型一題型二題型三題型四題型五即ax-2y-2a+2=0.題型一題型二題型三題型四題型五對稱問題

【例4】

光線由點A(-1,4)射出,在直線l:2x+3y-6=0上反射,已知反射光線過點

,求反射光線所在直線的方程.分析：根據(jù)反射規(guī)律,反射光線所在直線除了經(jīng)過點B外,還經(jīng)過A關(guān)于l的對稱點A'.題型一題型二題型三題型四題型五對稱問題【例4】光線由點A題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五反思

點關(guān)于直線的對稱問題一般要利用中點坐標公式及直線的垂直來綜合解決,至于光的反射問題一定要看清誰做鏡面,及入射光與反射光經(jīng)過的點.題型一題型二題型三題型四題型五反思點關(guān)于直線的對稱問題一般題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】

求點P(2,1)關(guān)于直線l:x+2y-2=0對稱的點P'的坐標.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】求點P(2,1題型一題型二題型三題型四題型五易錯辨析

易錯點1:忽視討論直線斜率不存在的情況致錯【例5】

當a為何值時,直線x+2ay-1=0和直線(3a-1)x-ay-1=0平行?題型一題型二題型三題型四題型五易錯辨析易錯點1:忽視討論直題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五易錯點2:混淆兩直線平行與重合的條件致錯【例6】

若直線ax+2y-8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行,求a的值.錯解:因為兩直線平行,所以a·(a+1)=2×1,解得a=-2或1,即a的值為-2或1.錯因分析：錯解只是利用了兩直線平行,其斜率相等這一條件,而沒有考慮它們的截距是否不相等,這時得到的a的值可能使兩條直線重合,因此應(yīng)牢記兩直線平行的條件是“斜率相等,截距不相等”.正解:依題意,應(yīng)有即實數(shù)a的值等于1.題型一題型二題型三題型四題型五易錯點2:混淆兩直線平行與重合12341已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于(

)A.