高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題復(fù)習(xí)

1.已知雙曲線C上的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2的距離之差為6，則雙曲線的方程為(x^2/9)-(y^2/4)=1。雙曲線的漸近線為y=±(2/3)x。根據(jù)雙曲線的定義，離心率為c/a，其中c為焦距，a為實(shí)軸長(zhǎng)。由F1、F2和P的位置關(guān)系可得|PF1|:|PF2|=3:2，根據(jù)向量叉積的計(jì)算公式，可以求得△PF1F2的面積為12。因此，離心率為c/a=2/3。2.圖中給出了雙曲線x^2/16-y^2/9=1的左支和焦點(diǎn)F。根據(jù)題意可知，雙曲線上的點(diǎn)P與P7-i關(guān)于y軸對(duì)稱。因此，P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F=2(P1F+P2F+P3F-F)=2(2a)=4a，其中a為雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)。代入a=3，可得P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F=24。3.P是雙曲線x^2/4-y^2/2=1的左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c。根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心就是雙曲線的中心點(diǎn)(0,0)。因此，內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為0，選項(xiàng)A、B、C均不正確。根據(jù)焦距的定義可知，2c=2√2。根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓的半徑r等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)a。因此，a=√2，離心率為c/a=√2/√2=1，內(nèi)切圓的半徑r=√2。根據(jù)勾股定理可得，PF1^2=4+2=6，PF2^2=4+4=8。因此，|PF1|:|PF2|=√6:√8=√3:2√2。由于△PF1F2是等腰三角形，因此可以通過勾股定理求得其高，從而求得其面積為3。4.已知點(diǎn)M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P。設(shè)圓C的方程為(x-a)^2+y^2=r^2，其中a為圓心的橫坐標(biāo)，r為圓的半徑。根據(jù)題意可知，直線MN的斜率為0，因此圓C在B點(diǎn)的切線的斜率也為0，即圓C在B點(diǎn)的切線垂直于x軸。因此，圓C在B點(diǎn)的切線方程為x=1。又因?yàn)锽點(diǎn)在圓C上，因此可得a=1，r=√10。根據(jù)勾股定理可得，BM=√10，BN=√10，MB'=NB'=√5，其中B'為圓C與x軸交點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。因此，△MB'N是等腰三角形，且∠MB'N=90°。根據(jù)勾股定理可得，MN=2√10。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則P點(diǎn)到直線MN的距離為|y|/√10。因?yàn)镻點(diǎn)在圓C上，所以有(x-1)^2+y^2=10。因此，P點(diǎn)到圓C的距離為√[(x-1)^2+y^2]-√10。根據(jù)題意可知，P點(diǎn)到MN的距離等于P點(diǎn)到圓C的距離，因此有|y|/√10=√[(x-1)^2+y^2]-√10。整理得y^2=(x-1)^2+10-2√10|x-1|。因?yàn)镻點(diǎn)在兩條漸近線的交點(diǎn)處，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該在0和3之間。因此，P點(diǎn)的軌跡方程為y^2=(x-1)^2+10-2√10(x-1)，其中1≤x≤3。1.答案：C。將焦點(diǎn)代入，得到雙曲線方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，滿足條件的是與$x^2-4y^2=4$有相同漸近線的雙曲線，即選項(xiàng)C。2.答案：（1）$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$；（2）直線方程為$y=2x-3$。3.答案：存在，直線方程為$y=x$。雙曲線的左右支分別關(guān)于$x$軸對(duì)稱，因此只需考慮右支。將$y=x$代入雙曲線方程，得到$x^2=\frac{1}{2}$，即$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此存在被點(diǎn)$(1,1)$平分的弦。4.答案：$k<\frac{1}{2}$或$k>2$。將直線方程代入雙曲線方程，得到$x^2-\frac{y^2}{3}=4k^2-4k+4$，因?yàn)殡p曲線的左右支對(duì)稱，不妨只考慮右支，即$x>0$。又因?yàn)榻稽c(diǎn)$A,B$滿足$OA\cdotOB>2$，所以交點(diǎn)在雙曲線的右半部分，即$x>2$。因此$4k^2-4k+4>2$，即$k<\frac{1}{2}$或$k>2$。5.答案：（1）$-\frac{1}{3}\leqa\leq3$；（2）$a=1$；（3）不存在。解法略。請(qǐng)求出對(duì)稱軸的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。已知雙曲線方程為2x-y=2，點(diǎn)P(1,2)。(1)求過點(diǎn)P的直線l的斜率k的取值范圍，使直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。首先，將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即y=2x-2/x。然后，將直線方程y=kx+b代入雙曲線方程中，得到2x-(kx+b)=2，整理后得到x=(2+b)/(2-k)，若該值存在，則直線與雙曲線有交點(diǎn)。若k=±∞，則直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；若0<k<2或k<-2，則直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；若k=0或k=2，直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)；若-2<k<0，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)。(2)過點(diǎn)P的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若P為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程。設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，由于P為弦AB的中點(diǎn)，所以A和B關(guān)于P對(duì)稱，即A和B的橫坐標(biāo)分別為2和0.將A和B的坐標(biāo)代入直線方程中，得到k=2和k=-2。又因?yàn)镻在直線AB上，所以b=0。因此，直線AB的方程可以是y=2x或y=-2x。(3)是否存在直線l，使Q(1,1)為l被雙曲線所截弦的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。假設(shè)直線l的方程為y=kx+b，將其代入雙曲線方程中，得到2x-(kx+b)=2，整理后得到x=(2+b)/(2-k)。因?yàn)镼為弦的中點(diǎn)，所以Q的橫坐標(biāo)為x，即x=1。將x=1代入上式，得到b=3-k。因此，直線l的方程為y=kx+(3-k)。當(dāng)k=2或k=-2時(shí)，直線l與雙曲線相切，不存在被截弦的中點(diǎn)；當(dāng)k≠2且k≠-2時(shí)，直線l與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)，不存在被截弦的中點(diǎn)。因此，不存在直線l，使Q為l被雙曲線所截弦的中點(diǎn)。(4)雙曲線是否關(guān)于x軸對(duì)稱