2021年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷和答案

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．（4分）已知等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為2，則a10＝．2．（4分）已知z＝1﹣3i，則|﹣i|＝．3．（4分）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．4．（4分）不等式＜1的解集為5．（．4分）直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為．6．（4分）若方程組無解，則＝．7．（5分）已知（1+x）n的展開式中，唯有x3的系數(shù)最大，則（1+x）n的系數(shù)和為．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3x+（a＞0）的最小值為5，則a＝．9．（5分）在無窮等比數(shù)列{an}中，（a1﹣an）＝4，則a2的取值范圍是．10．（5分）某人某天需要運動總時長大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項運動可以選擇，如表所示.A運動B運動C運動D運動E運動7點﹣8點8點﹣9點9點﹣10點10點﹣11點11點﹣12點30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘11．（5分）已知橢圓x+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點為F、F2，21F為焦點作拋物線交橢圓于P，且∠PF1F2＝45°，2．12．（5分）已知θ＞0，存在實數(shù)φ，使得對任意n∈N*（nθ+φ）＜，則θ的最小值是．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)13．（5分）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sinxC．f（x）＝2D．f（x）＝12x14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，則下列關(guān)系中（）A．A?BB．?RA??RBC．A∩B＝?D．A∪B＝R15．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，下列是f（x）（）A．f（x）為偶函數(shù)且關(guān)于點（B．f（x）為偶函數(shù)且關(guān)于直線x＝1對稱C．f（x）為奇函數(shù)且關(guān)于點（1，1）對稱D．f（x）為奇函數(shù)且關(guān)于直線x＝1對稱16．（5分）在△ABC中，D為BC中點，E為AD中點，使得＝0，使得∥（+）；它們的成立情況是（）1，1）對稱A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立5題，共17．（14分）四棱錐P﹣ABCD，底面為正方形ABCD，邊長為PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB為等邊三角形，求四棱錐（2）若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的大4，P﹣ABCD的體積；18．（14分）已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，a＝2．（1）若sinA＝2sinB，求b、c；1）團隊在O點西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有A、B兩站測量距離發(fā)現(xiàn)一點P滿足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、x軸正y軸正雙曲線標準方程和P點坐標．B為焦點的雙曲線上，東側(cè)為半軸，北側(cè)為半軸，P（2）團隊又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有C、D兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米（精確到1米）20．（16分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x．（1）若（2）若a≠0，若（3）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)若存在a＝1，求函數(shù)的定義域；f（ax）＝a有2個不同實數(shù)f（x）在定義域根；內(nèi)具有單調(diào)性？21．（18分）已知數(shù)列{an}滿足an≥0，對任意n≥2，an和an+1中存在一項使其為另一項與a的等差中項．n1﹣（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a的所有可能取值；3（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8為正數(shù)，求證：a2、a5、a8成等比數(shù)列，并求出公比q；（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即ar＝as＝at＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a+as+1+at+1的最大值．r+1第4頁（共59頁）

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）3，公差為2，n故答案為：21．故答案為：．3．參考解答：圓柱的底面半徑為r＝1，高為h＝2，S＝4πrh＝2π×1×8＝4π．側(cè)4．參考解答：＜1?解得，﹣4＜x＜2．故答案為：（﹣7，5）．5．參考解答：∵直線x＝﹣2的斜率不存在，傾斜角為，故直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為﹣＝，故答案為：．，，所以D＝0，即，故答案為：0．x＝7，（1+x）的系數(shù)和為6故答案為：64．8．參考解答：f（x）＝3+﹣1≥，xx故答案為：9．9．參考解答：∵無窮等比數(shù)列{a}，∴公比1，1），q∈（﹣na﹣a）＝a＝5，1n1∴a2＝a1q＝5q∈（﹣4，0）∪（4．4，0）∪（8．10．參考解答：由題意知，至少要選2種運動，AB、EB的組合不符所以滿足條件的運動組合方式為：+++﹣3＝10+10+5+8﹣3＝23（種）．故答案為：23種．11．參考解答：設(shè)F（﹣c，0），F(xiàn)5（c，0）＝26cx，1直線PF1：y＝x+c，聯(lián)立方程組，y＝2c，，所以拋物線的準線方程為：x＝﹣c＝1﹣，x＝7﹣．12．參考解答：在單位圓中分析，由題意可得nθ+φ的終邊要落在圖n∈N*都成立，所以∈N*，k∈N*，故答案為：．二、選擇題（本大題共4題，每題13．參考解答：選項A：因為函數(shù)是二次函數(shù)，屬于二對一的映射，A錯誤，B：因為函數(shù)是三角函數(shù)，有周期性和對稱性，B錯誤，選項C：因為函數(shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，選項D：因為函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對一的映射，D錯誤，C．14．參考解答：已知集合A＝{x|x＞﹣B＝{x|x≥2或x≤﹣6，x∈R}，A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，?B＝{x|﹣1＜x＜2}；5分，共20分)根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，選項根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，C正確，故選：1，x∈R}2﹣x﹣5≥0，x∈R}，解得?RR則A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，D．15．參考解答：根據(jù)題意，依次判斷選項：故選：對于A，f（x）＝cos，f（x）為偶函數(shù)，1）對稱，A錯誤，B，f（x）＝cos（πx），存在最大值，對于C，假設(shè)f（x）有最大值，其最高點的坐標為（f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，﹣M），f（x）的圖象關(guān)于點（7，1）對稱，﹣M）關(guān)于點（a，1，2+M），與最大值為M相矛盾，則此時f（x）無最大值，對于D，f（x）＝sin，D錯誤，C．16．參考解答：不妨設(shè)A（2x，2y），7），0），0），y），①＝（﹣5﹣2x，＝（x﹣1，＝42＝0，即﹣（6+2x）（x﹣1）＝6y2，x，y）存在，），②F為AB中點，（+）＝2，因為G為AD的三等分點，E為AD中點，所以與不共B．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）E為AB中點，∴PE＝2，P﹣ABCD的體積（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE為PF與平面ABCD所成角為45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF為等V＝PE?S＝×28＝．∴∠PCB或其補角即為PC與AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E、AB?平面PAB，18．參考解答：（1）因為sinA＝2sinB，可得a＝2b，由于cosC＝＝＝﹣．（2）因為cos（A）＝，第10頁（共59頁）又cos2A+sin2A＝7，可解得cosA＝，sinA＝，cosA＝，因為cosC＝﹣，可得sinC＝，可得C為鈍角，若sinA＝，cosA＝，可得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝B為鈍角，這與所以sinA＝，由正弦定理19．參考解答：（1）由題意可得a＝10，c＝202＝300，1，直線OP：y＝x，聯(lián)立雙曲線方程，y＝，P的坐標為（，）．（2）①|(zhì)QA|﹣|QB|＝30，則a＝15，所以1；C為鈍角矛盾，所以雙曲線的標準方程為﹣＝b＝175，2雙曲線方程為﹣＝②|QC|﹣|QD|＝10，則a＝3，所以b＝200，1，兩雙曲線方程聯(lián)立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q點位置北偏東66°．20．參考解答：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥5，得|x+1|≥1．2所以雙曲線方程為﹣＝第11頁（共59頁），，時，﹣∞，﹣，函數(shù)nn28133713344733228或nn+1n+1n，由第（2）問可知，a＝0，則a＝5a，即a﹣a＝﹣a，rr2r1r1r7r1﹣﹣﹣﹣﹣第12頁（共59頁）r∴，+a+a的最大值．s+5t+1第13頁（共59頁）考點卡片1．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含2．注意觀察兩個集合的3．可以利用集合的元素個數(shù)從少到多排列．公共元素，以及各自的特殊元素．特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．第14頁（共59頁）

2．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）A∪B）∩（A∪C）．＝（集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．3．充分條件、必要條件、充要條件【知識點的認識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題不成立．這就是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定第15頁（共59頁）

是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則p是q成q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p稱條件立的充要條件，或稱條件與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．誰充分”的第16頁（共59頁）

【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．4．函數(shù)的定義域及其求法【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．⑤實際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函第17頁（共59頁）

數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．5．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【知識點的認識】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將第18頁（共59頁）

定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷f（x）在小開區(qū)f′（間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)結(jié)形合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理6．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【根式與分數(shù)指數(shù)冪】規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義第19頁（共59頁）例1：下列計算正確的是（）A、（﹣1）＝﹣1B、＝aC、＝03分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．0∴B不正確；點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運【有理數(shù)指數(shù)冪】①正分數(shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；第20頁（共59頁）②負分數(shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（a）＝a（a＞0，r，s∈Q）；rsrs③（ab）＝ab（a＞0，b＞0，r∈Q）．rrr例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、B、am?an＝aC、（am）＝nam+nmn?D、1÷an＝a0n﹣分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，a÷a＝a，故不成立；mnmn﹣B中，a?a＝am+n≠a，故不成立；mnmn?C中，（a）＝a≠am+n，故不成立；mnmn?D中，1÷a＝a，成立．n0n﹣故選：D．點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì)．7．反函數(shù)第21頁（共59頁）【知識點歸納】【定義】一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個函x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若對于y在中x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，x＝g（y）就表示y是自變量，x是因變量是y的函數(shù)，這樣y＝g（x）（y∈C）叫做函數(shù)y＝f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作y＝f（x）反函數(shù)y＝f（x）的定義域y＝f數(shù)中的任何一個值，通過那么，的函數(shù)、值域分別是函數(shù)1（﹣）1（﹣）（x）的值域、定義域．【性質(zhì)】反函數(shù)其實就是y＝f（x）中，（1）函數(shù)f（x）與他的反函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線y＝x對稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y＝x對稱（2）函數(shù)x和y互換了角色1﹣存在反函數(shù)的重要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；（3）一個函數(shù)（4）大部分偶函數(shù)f（x）＝C（其中C是常數(shù)），偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域為{0}）．奇函數(shù)被與y軸垂直的2個及以上點即沒有反函數(shù)．若一個奇與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；當(dāng)函數(shù)y＝f（x），定義域是{0}且f（x）是不存在反函數(shù)（則函數(shù)不一定存在反函數(shù)，直線截時能過函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)．（5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)；（6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；第22頁（共59頁）

（7）嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】；（8）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；（9）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）；（10）原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定）（在有反函數(shù)的情況下，即滿足（2））．8．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣70的零點．43解：∵f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣7043＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x+5x﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、43﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者基本函數(shù)等于0時的解即說求可．第23頁（共59頁）

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．9．極限及其運算③對于任意實常數(shù)，當(dāng)|a|＜1時，an＝0，當(dāng)|a|＝1時，若a＝1，則an＝1；若a＝﹣1，則an＝（﹣1）n當(dāng)|a|＞1時，an＝不存在．特別地，如果C是常數(shù)，那么．第24頁（共59頁）求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當(dāng)|q|＜1時，無窮等比數(shù)列的各項和為S＝（|q|＜1）．（化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)方法同上式）2．函數(shù)極限；（1）當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x（但不等于x）時，如果函數(shù)f00（x）無限趨進于一個常數(shù)a，就是說當(dāng)x趨近于x時，函數(shù)f（x）0a．記作＝a或當(dāng)x→x時，f（x）→a．0x→x時，f（x）是否存在極限與f（x）在x0處是否定義無關(guān)，0x→x并不x＝x．（當(dāng)然，f（x）在x0是否有定義也與f（x）00否存在極限無關(guān)．函數(shù)f（x）在x0有定義是存在在x＝1處無定義，但存在，因為在x＝1處左右極限均等于零．（2）函數(shù)極限的，那么四則運算法則：如果第25頁（共59頁）．注：①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在．②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況．（3）幾個常用極限：3．函數(shù)的連續(xù)性：f（x），g（x）在某一點x＝x0連續(xù)，那么函數(shù)f（x）g（x）≠0）在點x＝x0處都連續(xù)．±g（x），f（x），g（x），（（2）函數(shù)f（x）在點x＝x處連續(xù)必須滿足三個條件：0f（x）在點x＝x處有定義；②存在f（x）即．＝f（x0）．f（x）在點x＝x處不連續(xù)（0在點x＝x0處的極限值等于該點的函數(shù)值，（3）函數(shù)f（x）在點x＝x處有間斷）的判定：0如果函數(shù)下列三種情況之一時，則稱x0為函數(shù)0f（x）的不連續(xù)點．第26頁（共59頁）x＝x處沒有定義，即f（x）不存在；②不存00010．其他不等式的解法步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（6）含絕對值不等式第27頁（共59頁）①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化．11．基本不等式及其應(yīng)用基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式a≥0，b≥0），變形為ab≤（）或者a+b≥2．常2A：a，b均為負數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．第28頁（共59頁）A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．解：當(dāng)x＝0時，y＝0，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．第29頁（共59頁）例1：求下列函數(shù)的值域．3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用第30頁（共59頁）點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)y＝x（8﹣2x）＝[2x（?8﹣2x）]≤（）＝82當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．第31頁（共59頁）評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）y＝＝當(dāng)x＞﹣＝（x+1）++5，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝11，即x+1＞0時，時取“＝”號）對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換第32頁（共59頁）點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．12．等差數(shù)列的通項公式【知識點的認識】第33頁（共59頁）等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一a，公差d，那么第n1項為a＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為a，則第n項為a＝a+nmnm（n﹣m）d．eg1：已知數(shù)列{a}的前n項和為S＝n+1，求數(shù)列{a}的通項公式，2nnn{a}是不是等差數(shù)列n解：當(dāng)n＝1時，a＝S1＝12+1＝2，1當(dāng)n≥2時，a＝S﹣S＝n2+1﹣（n﹣1）﹣1＝2n﹣1，2nnn1﹣∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對概念的理解，除掉第一項這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項放進去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{a}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個數(shù)n列的通項公式為解：∵等差數(shù)列{a}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7，n∴2（2a+1）＝a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，a﹣1+a+7，解得第34頁（共59頁）∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差中項的特點，通過這個性質(zhì)然后解方程一樣求出首項和公差即可．這里面往往用的最多的就是等差中項的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時應(yīng)重點掌握的知識1、數(shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結(jié)合．單位向量，與和夾角為θ，（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）第35頁（共59頁）（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；【平面向量數(shù)量積的運算】平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）＝22±2?+2．②（﹣）（+）＝﹣．③（??）≠（?）?，從這里可以看出它22?＝”；?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“第36頁（共59頁）⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，?”，∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，”不能類比得到，即⑥錯誤．∴第37頁（共59頁）向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m＝n”不?n|＝|m|?|n|”不能類比得到合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到能類比得到．“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)?＝”；這個知識點和三角函數(shù)多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希1．復(fù)數(shù)的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別模：的長度叫做復(fù)數(shù)第38頁（共59頁）16．二項式定理【二項式定理】又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）＝n?ian﹣i?bi．通n例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）這個例題考查了二項式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．例2：把把二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是．解：由題意T＝C7×＝120×3i＝360i．810故答案為：360i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．【性質(zhì)】1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）的二項n展開式．其中各項的系數(shù)注意：叫做二項式系數(shù)．第39頁（共59頁）（3）每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，的通項公式．它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是?r；nn．（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n第40頁（共59頁）為偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，則中間的兩項，相等，且同時取得最大值．17．反證法【知識點的認識】反證法：假設(shè)結(jié)論的反面成立，在已知條件和“否定結(jié)論”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與公理、定理、題設(shè)、臨時假設(shè)相矛盾的結(jié)論或自相矛盾，從而斷定結(jié)論的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定正確，這種證明方法就叫反證法．【解題思路點撥】用反證法證題時，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時常用的方法，尤其有否定詞或含“至多”“至少”等詞的問題中常用．使用反證法進行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知公理、定理、事實矛盾等．1．證明思路：肯定條件，否定結(jié)論→推出矛盾→推翻假設(shè)，肯定結(jié)矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、論2．反證法的一般步驟：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相（3）由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的（4）斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論矛盾的假設(shè)；推理方法，推出矛盾的結(jié)果；第41頁（共59頁）成立，從而間接地證明命題為真．18．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點的認識】（1）C：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；αβ（﹣）（2）C：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；α+β（）（3）S：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；α+β（）（4）S：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；αβ（﹣）α+β19．正弦定理【知識點的知識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理＝2R內(nèi)容a2＝b2+c2﹣2bccosA，（R是△ABC外接圓半徑）b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形①a＝2RsinA，b＝2RsinB，ccosA＝，cosB＝，形式＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinCcosC＝＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；第42頁（共59頁）解決①已知兩角和任一邊，求另一①已知三邊，求各角；三角角和其他兩條邊；②已知兩邊和它們的夾角，求形的②已知兩邊和其中一邊的對第三邊和其他兩角問題角，求另一邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況圖形關(guān)a＝bsinA系bsinA＜a＜ba≥ba＞b式解一解的兩解一解一解個數(shù)由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a≤b，無解．2、三角形a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，常用面積公式第43頁（共59頁）aa2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【正余弦定理的應(yīng)用】1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此第44頁（共59頁）不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．20．余弦定理內(nèi)容a2＝b2+c2﹣2bccosA，（R是△ABC外接圓半徑）b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C形式＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinCcosC＝③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；第45頁（共59頁）④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解決①已知兩角和任一邊，求另一①已知三邊，求各角；三角角和其他兩條邊；②已知兩邊和它們的夾角，求形的②②已知兩邊和其中一邊的對第三邊和其他兩角問題角，求另一邊和其他兩角【正余弦定理的應(yīng)用】1、解2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題用正弦定理就可解決．直角三角形的基本元素．斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．第46頁（共59頁）

①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的三角函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù)．【例題解析】到三角函數(shù)的定義、域值、域單調(diào)性和它們的圖象．在求例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2?＝+（cos2x﹣sin2x）第47頁（共59頁）這個題所用到的方法就是化簡成一個單一的三角函數(shù)，把一個復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨分析余弦函數(shù)的特點，最后把結(jié)果求出來．化簡當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]t＝∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對稱軸是∴當(dāng)t＝時函數(shù)t＝﹣y＝（﹣1）﹣（﹣有最小值，而函數(shù)的最大值為1時或t＝1時函數(shù)值中的較大的那個∵t＝﹣1時，1）+3＝5，當(dāng)t＝1時，y＝1﹣1+322＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時，函數(shù)的最大值為元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)元二次函數(shù)，在換注意到三角函數(shù)的定義域1時y的值即sinx＝﹣5．這個題就是典型的換看成是一個一元的時候要和相應(yīng)的值域．【考點點評】求三角函數(shù)的最值是高考的一個?？键c，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會貫通，同時一定要注意函數(shù)的定義域和相對應(yīng)的值域．第48頁（共59頁）1、直線的到角：（1）定義：兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個角，它們是兩對對頂角，l按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l重合時所轉(zhuǎn)的角，叫做l到121（2）直線l1到l2的角的公式：tanθ′＝，l1到l2的角的取值范圍是（0，π）．l到l的角是θ，l到l1的角是θ1221212＝π﹣θ1，當(dāng)直線l與l相交但不垂直時，θ和π﹣θ1，僅有一個角121（2）直線l和l2的夾角公式：tanθ＝（θ不為90°），l11（1）首先應(yīng)注意到在tanθ′＝，中兩個斜率k1，k2的順序是θ′是直線l到直線l的角，若寫成tanθ′＝，不能改變的，12第49頁（共59頁）則θ′為直線l到直線l的角，這兩者是有區(qū)別的，而在夾角公式tanθ21中，兩直線的斜率沒有順序要求．（2）在兩直線的夾角為900時，我們有kk+1＝0若kk＝﹣1則直1212123．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A（﹣a，0），A（a，0），B（0，﹣b），B1212第50頁（共59頁）（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率焦距與長軸長的比叫做