分式知識點演練（講練）-

專題1.4分式及其運算知識點演練考點1：分式的定義和性質(zhì)例1．（1）（2022·安徽合肥·七年級期末）已知分式2x+nx-m（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯誤的是（

x的取值－22pq分式的值無意義012A．n=2 B．m=-2 C．p=6 D．q的值不存在解：∵x為﹣2時方程無意義，∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正確，故分式為：2x+nx+2當(dāng)x=2時，分式的值為0，故2×2＋n=0，n=﹣4，故A錯誤，故分式為：2x-4x+2當(dāng)分式值為1時，2x－4=x+2，解得：x=6，故p=6，故C正確，當(dāng)2x-4x+2=2時，2x－4=2x＋4，此等式不成立，則q的值不存在，故故選：A．（2）（2022·上?！y試·編輯教研五七年級期中）請寫出一個同時滿足下列條件的分式：（1）分式的值不可能為零；（2）分式有意義時，a的取值范圍是a≠-3；（3）當(dāng)a=0時，分式的值為-1．你所寫的分式為___________解：根據(jù)（1）分式的值不可能為零，可得分式的分子不等于零；根據(jù)（2）分式有意義時，a的取值范圍是a≠-3，可知當(dāng)a=-3時，分式的分母等于零；根據(jù)（3）當(dāng)a=0時，分式的值為-1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互為相反數(shù)．綜上可知，滿足條件的分式可以是：-3a+3故答案為：-3a+3（答案不唯一）（3）（2022·新疆·烏市一中八年級期中）下列結(jié)論：①不論a為何值aa2+1都有意義；②a=-1時，分式a+1a2-1的值為0；③若x2+1x-1的值為負(fù)，則x的取值范圍是x<1；④若x+1A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①④解：①正確，∵a不論為何值a2∴不論a為何值aa②錯誤，∵當(dāng)a=-1時，a2∴此結(jié)論錯誤；③正確，∵若x2+1x-1的值為負(fù)，即x-1<0∴此結(jié)論正確；④錯誤，根據(jù)分式成立的意義及除數(shù)不能為0的條件可知，若x+1x+2÷x+1x有意義，則x的取值范圍是即x+2≠0x≠0x+1x故選：C．例2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知y=x-23-4x，(1)y的值是正數(shù)；(2)y的值是負(fù)數(shù)；(3)y的值是零；(4)分式無意義．解：（1）根據(jù)題意，得x-2>03-4x>0或x-2<0解得34（2）根據(jù)題意，得x-2<03-4x>0或x-2>0解得x＜34或x＞2（3）根據(jù)題意，得x-2=03-4x≠0解得x＝2；（4）根據(jù)題意，得3﹣4x＝0，x＝34知識點訓(xùn)練1．（2022·山東煙臺·八年級期中）代數(shù)式25x,1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：代數(shù)式25x,1π,故選：B．【點睛】本題考查的是分式的定義，在解答此題時要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數(shù)的式子即為分式．2．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校八年級期中）在式子3a，a+b7，5，1x-1，xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：在式子3a，a+b7，5，1x-1，x分式有：3a，1x-1，共有故選：A．【點睛】本題考查了分式的定義，分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．3．（2022·福建·龍巖市第一中學(xué)錦山學(xué)校八年級期中）在1xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)分式的定義判斷選擇即可．【詳解】解：1x,1故選A．【點睛】本題考查了分式的定義即形如BA，其中A，B都是整式，且A4．（2021·寧夏·中寧縣第三中學(xué)八年級期末）在代數(shù)式32a，a+b2，-x+14-x，12xy+xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】直接根據(jù)分時的定義判斷．分母中含有字母是分式和整式的區(qū)別．【詳解】解：在32a，a+b2，-x+14-x，12xy+x2y，4abπ，故選：B．【點睛】本題考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．注意π是數(shù)字，不是字母．5．（2021·河北石家莊·八年級期末）如果分式x-6x+6的值為0，那么A．0 B．6 C．-6 D．±6【答案】B【分析】根據(jù)分子等于0，分母不等于0，求出解．【詳解】∵分式x-6∴x-6=0，且x+6≠0解得x=6．故選：B．【點睛】本題主要考查了分式的值為0的條件，即分式的值為0的要求是分式的分子等于0，分母不等于0．6．（2022·河北唐山·八年級期中）若分式x+2x2-2x+1的值為正數(shù)，則xA．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0和兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除即可得出答案．【詳解】解：原式=x+2x-1當(dāng)x≠1時，（x-1）2＞0，當(dāng)x+2＞0時，分式的值為正數(shù)，∴x＞-2且x≠1．故選：C．【點睛】本題考查了分式的值，掌握兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧·盤山縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期末）若分式2x＋1x2的值為正，則A．x≥－12 B．x≤－C．x＞－12且x≠0 D．x＜－【答案】C【分析】根據(jù)題意，因為任何實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，分母不能為0，所以分母是正數(shù)，主要分子的值是正數(shù)則可，從而列出不等式．【詳解】解：由題意得，x2>0，且x≠0，∵分式2x＋∴2x+1＞0，∴x＞-12所以x＞-12且x≠0故選：C．【點睛】本題考查不等式的解法和分式值的正負(fù)條件．解不等式時當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)需改變不等號的方向，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)時，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)不需改變不等號的方向．8．（2022·河北·辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)八年級期末）分式x-3yx+y中，把x和y都擴大到原來的10倍，分式的值（

A．不變 B．?dāng)U大為原來的10倍 C．縮小為原來的 D．不能確定【答案】A【分析】將x，y分別擴大2倍，代入原分式，利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計算．【詳解】解：∵10x-3×10y10x+10y∴把x和y都擴大到原來的10倍，分式的值不變．故選：A【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！y試·編輯教研五七年級期中）下列哪個分式和-x-1-2x+1值相等（

A．-x+12x-1 B．x-12x+1 C．x+1【答案】C【分析】將分式進(jìn)行化簡，然后即可得出結(jié)果．【詳解】解：-x-1-2x+1故選：C．【點睛】題目主要考查分式的化簡，熟練掌握化簡法則是解題關(guān)鍵．10．（2022·上海金山·七年級期末）如果將分式x2+y2x+y中的x和yA．不變 B．?dāng)U大到原來的4倍C．?dāng)U大到原來的8倍 D．?dāng)U大到原來的16倍【答案】B【分析】x，y都擴大成原來的4倍就是分別變成原來的4倍，變成4x和4y．用4x和4y代替式子中的x和y，看得到的式子與原來的式子的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：將4x和4y分別替換原分式中的x，y得4x2∴分式的值擴大到原來的4倍，故選B．【點睛】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)；解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．11．（2022·山東·煙臺市芝罘區(qū)教育科學(xué)研究中心八年級期中）如果把分式2xyx-y中的x，y都擴大3倍，那么分式的值（

A．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．?dāng)U大6倍【答案】A【分析】利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：由題意得2?3x?3y3x-3y∴把分式2xyx-y中的x，y都擴大3倍，那么分式的值擴大3故選：A．【點睛】此題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·廣西貴港·八年級期中）下列各式從左邊到右邊的變形正確的是（

）A．x-yx+2y=y-xx+2y B．-a+bc=-【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答．【詳解】解：A、x-yx+2yB、-a+bcC、0.2a+ba+0.2bD、-x-yx+y故選B．【點睛】本題主要考查了分式的變形，解答此類題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)．13．（2022·山東濟寧·八年級期中）下列運算正確的是（）A．x2-1xC．x2-y【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項計算，即可求解．【詳解】解：A．x2B．x+2yx+3yC．x2D．y-x-y故選A．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，能夠根據(jù)分式的基本性質(zhì)正確計算是解題的關(guān)鍵．14．（2022·山東泰安·八年級期中）下列各等式中成立的有（

）個．①-a-bc=-a-b-c③-a+bc=-a+bc；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變，據(jù)此即可求解．【詳解】解：-a-bc=-a-bc=-a+b-a+bc=-a-b-a+b-c=a-b綜上，各等式中成立的有1個．故選A．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)．15．（2022·河北唐山·八年級期中）不改變分式的值，使分母的首項系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（）A．-a+b-a-b=a+bC．1-x+y=1【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答，分式分母、分子和分式本身的符號任意改變兩個，分式的值不變．【詳解】解：不改變分式的值，使分母的首項系數(shù)為正數(shù)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同除以-1，A、-a+b-a-bB、-x+1-x-1C、1-x+yD、-b-a-a-b故選：B．【點睛】解答此類題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變．16．（2022·安徽省宣城市奮飛學(xué)校七年級期中）下列判斷錯誤的是（

）A．代數(shù)式a2+2aa?是分式 B．當(dāng)x=-3?時，分式x+32x+6C．當(dāng)a=-12?時，分式2a+1a?有意義 D【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式有意義的條件，分式的值為零的條件，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．代數(shù)式a2+2aB．當(dāng)x=-3?時，分式x+32x+6?C．當(dāng)a=-12?時，分式2a+1D．0.5a+b0.2-0.3b=5a+10b故選B．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式有意義的條件，以及分式的值為零的條件，熟練掌握分式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·河北唐山·八年級期末）由1+c3+c-13值的正負(fù)可以比較A=1+cA．當(dāng)c=-3時，A=13 B．當(dāng)c=0C．當(dāng)c<-3時，A>13 D．當(dāng)c<0【答案】C【分析】將c=?3和0分別代入A中計算求值即可判斷出選項A，B的對錯；當(dāng)c<?3和c<0時計算1+c3+c-13的正負(fù)，即可判斷出選項【詳解】解：A選項，當(dāng)c=?3時，分式無意義，故該選項不符合題意；B選項，當(dāng)c=0時，A=1C選項，1+c=3+3c=∵c<?3，∴3+c<0，c<0，∴3(3+c)<0，∴2c3∴A>1D選項，當(dāng)c<0時，∵3(3+c)的正負(fù)無法確定，∴A與13故選：C．【點睛】本題考查了分式的求值，分式的加減法，通過作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．18．（2022·北京市順義區(qū)第五中學(xué)八年級期中）請從m2-1，mn-n，n+mn中任選兩個構(gòu)造成一個分式，并化簡該分式．你構(gòu)造的分式是______，該分式化簡的結(jié)果是【答案】

m2-1n+mn（答案不【分析】任意選兩個組成分式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡分式即可．【詳解】解：可選擇m2-1，n+mn構(gòu)成分式m==m-1故答案為：m2-1n+mn【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)并正確化簡是解答的關(guān)鍵．19．（2022·上海市培佳雙語學(xué)校八年級期中）如果二次根式x-9x有意義，那么x應(yīng)該滿足的條件是__________【答案】x≥9【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：x-9≥0且x≠0，解得：x≥9．故答案為：x≥9．【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．20．（2022·四川達(dá)州·八年級期末）若代數(shù)式xx-2有意義，則實數(shù)x的取值范圍是__________【答案】x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式xx-2∴x-2≠0，即x≠2，故答案為：x≠2．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為零是解題的關(guān)鍵．21．（2022·河南南陽·模擬預(yù)測）若分式1x-2有意義，則x___________【答案】≠2【分析】分式有意義，分母x-2≠0，據(jù)此可以求得x的值．【詳解】當(dāng)分母x-2≠0，即x≠2時，分式1x-2故答案是：≠2．【點睛】此題主要考查了分式有意義的條件，正確掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．22．（2022·江蘇·揚州市邗江區(qū)梅苑雙語學(xué)校模擬預(yù)測）當(dāng)x滿足______時，式子y=3【答案】-【分析】直接利用二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：由題意可得：2-x?02x+1>0解得：-1故答案為：-1【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確掌握相關(guān)定義．23．（2022·廣西·貴港市教育局八年級期中）分式12x-2沒有意義，則x的值為_____________【答案】1【分析】分式無意義，指的是分式的分母為零，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，2x-2=0，∴x=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是對分式無意義的理解，掌握分式的定義，分式無意義的理解是解題的關(guān)鍵．24．（2022·湖南·桂陽縣第二中學(xué)八年級期中）當(dāng)x________時，分式xx+2的值不存在；當(dāng)x_______時，分式x【答案】

=-2

≠-2【分析】分別根據(jù)分式有意義的條件以及分式無意義的條件列出關(guān)于x的等式、不等式，求出x的取值即可．【詳解】（1）解：∵分式xx+2∴x+2=0，解得：x=-2；（2）解：分式xx+2∴x+2≠0，解得：x≠-2；故答案為：=-2，≠-2．【點睛】本題考查分式有意義的條件以及分式無意義的條件，能夠根據(jù)分式有意義的條件以及分式無意義的條件列出關(guān)于x的等式、不等式是解決本題的關(guān)鍵．25．（2022·江蘇無錫·八年級期末）當(dāng)x＝____時，分式x2-11+x無意義，當(dāng)x＝____時，分式x【答案】

-1

1【分析】根據(jù)分式有意義的條件和分式值為0的條件列方程和不等式即可得答案．【詳解】解：由題意得使分式x2則1+x=0x=-1，當(dāng)分式x2-11+x則1+x≠0，xx≠-1，x=±1∴x=1．故答案為：-1；1【點睛】本題考查分式的值為零的條件及分式有意義的條件，要使分式有意義，分母不為0，分式的值為0，則分子為0，分母不為0．26．（2022·新疆·克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級期末）分式23-4x的值為負(fù)數(shù)，則實數(shù)x【答案】x>3【分析】根據(jù)題意易得3-4x【詳解】解：由分式23-4x的值為負(fù)數(shù)，可知：∴x>故答案為x>【點睛】本題主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．27．（2022·廣東·八年級單元測試）已知：代數(shù)式22-m(1)當(dāng)m為何值時，該式無意義？(2)當(dāng)m為何整數(shù)時，該式的值為正整數(shù)？【答案】(1)m=2(2)m=1或0【分析】（1）根據(jù)分母等于0計算即可；（2）根據(jù)值為整數(shù)進(jìn)行判斷求解即可；【詳解】（1）解：由題意得：2-m=0，解得：m=2；（2）解：∵代數(shù)式22-m∴2-m=1或2-m=2，解得：m=1或0．【點睛】本題主要考查了分式的值，準(zhǔn)確分析，列出方程是解題的關(guān)鍵．28．（2022·福建福州·八年級期末）已知A=6x-53x-1，(1)當(dāng)A?B<0時，求x的取值范圍；(2)設(shè)y=A-2①當(dāng)y=-12時，求②若x為整數(shù)時，求y的正整數(shù)值．【答案】(1)x<56且(2)①1；②1或7．【分析】（1）根據(jù)A?B<0，可得6x-5<0，再根據(jù)分式有意義的條件，即可求解；（2）先代入，可得y=6x-53x-1-23x-1=6x-73x-1，①根據(jù)y=-12，可得到關(guān)于【詳解】（1）解：∵A?B<0，∴6x-53x-1∴6x-5<0，∴x<5∵6x-53x-1∴3x-1≠0，∴x≠1∴x的取值范圍為x<56且（2）解：根據(jù)題意，得y=6x-5①當(dāng)y=-12時，解得x=1，經(jīng)檢驗，x=1是原分式方程的解，∴當(dāng)y=-12時，x的值為②y=6x-7∵x為整數(shù)，y為正整數(shù)，∴3x-1=5或1或-1或-5，當(dāng)3x-1=5，即x=2時，y=2-5當(dāng)3x-1=1時，x=2當(dāng)3x-1=-1，即x=0時，y=2-5當(dāng)3x-1=5，即x=-43時，綜上所述，當(dāng)x為整數(shù)時，y的正整數(shù)值為1或7．【點睛】本題主要考查了解分式方程，分式的混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．29．（2022·河北邢臺·八年級期中）小明和小強一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相可以看到對方的牌），兩人各自任選兩張牌分別做分子和分母，組成一個分式，然后兩人均取一個相同的x值，再計算分式的值，值大者為勝．為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數(shù)．(1)小明組成的分式中值最大的分式是______，小強組成的分式中值最大的分式是______；(2)小強思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號的牌，但最終我一定是勝者”小強說的有道理嗎？請你通過計算說明．【答案】(1)x+3x+1，(2)小強說的有道理，理由見詳解【分析】（1）分式的最大，則分母要大于分子，由此即可求解；（2）比較分式x+3x+1，x-1【詳解】（1）解：根據(jù)分式的大小關(guān)系可知，小明組成的分式中值最大的分式是x+3x+1，小強組成的分式中值最大的分式是x-1（2）解：小強說的有道理，理由如下：∵x-1x-3-當(dāng)x是大于3的正整數(shù)時，∴x+1x-3>0∴8x+1∴x-1x-3故小強說的有道理．【點睛】本題主要考查分式的應(yīng)用，理解分式的性質(zhì)，分式比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．考點2：分式的運算例3.（2022·上海金山·七年級期末）計算：x解：原式=1==1÷=1÷==0．【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．例4.（2022·山東煙臺·八年級期中）計算：(1)(x+3)(2)x解：（1）原式=（2）解：原式==(2x-1)·x+1例5.（2022·山東泰安·八年級期中）(1)化簡1-2x-1(2)先化簡：x2+xx2-2x+1解：（1）1-2x-1x2（2）解：原式=x當(dāng)x=2時，原式=222-1=4（x≠-1，知識點訓(xùn)練1．（2022·湖南株洲·八年級期末）下列各式中計算正確的是（

）A．2x3y?6C．2+12-1【答案】B【分析】根據(jù)分式乘法運算法則進(jìn)行計算，判斷A，根據(jù)分式加法運算法則進(jìn)行計算，判斷B，根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算，判斷C，先算乘方，然后算減法進(jìn)行計算，判斷D．【詳解】解：A．2x3y?6B．3x2x-yC．2+12-1D．-22-故選：B【點睛】本題考查分式的混合運算，理解分式的基本性質(zhì)，掌握平方差公式a+ba-b2．（2022·河北·辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)八年級期末）化簡4a22a-bA．-2a+b B．-2a-b C．2a+b D．2a-b【答案】C【分析】先將分式化成同分母，再計算分式的減法，最后化簡分式即可．【詳解】原式====2a+b故選：C【點睛】本題考查了分式的加減法運算，根據(jù)運算法則將分式轉(zhuǎn)化為同分母是解題關(guān)鍵3．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）若ab=a-b≠0?，則分式1a-1b?與下面選項相等的是（A．1ab? B．a(chǎn)-b? C．1? D．-1【答案】D【分析】把分式通分化簡為-b-a【詳解】解：∵ab=a-b≠0?∴1a故選：D?．【點睛】本題考查了分式的減法運算及整體代入求值，關(guān)鍵是把分式通分．4．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）若1x-1y=1A．x-y B．y-xxy C．xyx-y D【答案】D【分析】根據(jù)分式的運算，求解即可．【詳解】解：由1x-1則z=xy故選D【點睛】此題考查了分式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式運算的法則．5．（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知a+1b=3a【答案】35##【分析】根據(jù)題意得出a=3b，再代入求值即可．【詳解】解：∵a+1∴3b(ab+1)=a(ab+1)∵a+1∴ab+1≠0，∴a=3b，原式=3b+3b故答案為：35【點睛】本題考查了分式的加減法以及分式有意義的條件，把條件變形得出a=3b是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖南省漢壽縣教育研究室八年級期中）計算：a-4a-4a【答案】a2-2a【分析】先算括號里的，根據(jù)異分母分式減法運算法則計算，再對分子分母因式分解，最后根據(jù)分式乘法化簡即可得到答案．【詳解】解：a-====a=a【點睛】本題考查分式混合運算，涉及異分母分式減法運算、因式分解及分式乘法運算，熟練掌握相關(guān)運算法則及運算順序是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！y試·編輯教研五七年級期中）計算，x【答案】2x+6【分析】根式分式的乘法運算法則，將分子分母的式子進(jìn)行因式分解，然后約分即可．【詳解】解：x===2x+6【點睛】題目主要考查分式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．8．（2022·北京·東直門中學(xué)八年級期中）計算：x【答案】2【分析】先把能夠分解因式的分子，分母分解因式，再把除法化為乘法，約分即可．【詳解】解：x=x=2．【點睛】本題考查的是分式的乘除混合運算，掌握“分式的混合運算的運算順序”是解本題的關(guān)鍵．9．（2022·上海金山·七年級期末）計算：-【答案】-x【分析】先計算乘方運算，再把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后約分即可．【詳解】解：-===-x【點睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運算法則．10．（2022·山東淄博·八年級期中）計算∶(1)a2(2)-a(3)先化簡，再求值：3xx-2-x【答案】(1)1(2)-(3)2x+8，當(dāng)x=1時，原式=10【分析】（1）根據(jù)分式的加減進(jìn)行計算即可求解；（2）先算乘方，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解；（3）根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件取舍，代入求值即可求解．【詳解】（1）a==a（2）-=-=-=-=-a（3）解：3x=當(dāng)x=-2，當(dāng)x=1時，原式=10．【點睛】本題考查了分式的混合運算，以及化簡求值，掌握分式的運算法則，準(zhǔn)確的計算是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東菏澤·八年級期中）計算：(1)x(2)a【答案】(1)2x(2)1【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)分式乘法法則計算即可；（2）先將分式進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行約分化簡計算即可．【詳解】（1）解：x=x+4=2x（2）解：a=a=a=【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是理清運算順序，掌握運算法則．12．（2022·山東煙臺·八年級期中）（1）先化簡，再求值：3x+2yx2-（2）先化簡，再求值：3a-1a+1-a+1÷【答案】（1）2x-y，1；（2）-a【分析】（1）先根據(jù)同分母分式相加減法則計算，再把x=2+y代入，即可求解；（2）先計算括號內(nèi)的，再計算除法，然后根據(jù)分式有意義的條件可得符合條件的最小整數(shù)為a=0，再代入，即可求解．【詳解】解：（1）原式===2當(dāng)x=2+y時，原式=（2）原式====-∵a≠-1,3，∴當(dāng)-1≤a≤3時，符合條件的最小整數(shù)為a=0，∴原式=-0【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！y試·編輯教研五七年級期中）若Ax+Bx2+x-2為最簡分式，且對任意x的值，有Ax+Bx2【答案】B的值為-4或5【分析】將已知等式進(jìn)行通分得出B=2b-ac，a+b=1，ab=-2，得出a=2，b=-1或【詳解】解：Ax+B∴Ax+B∴B=2b-ac，∴a+b=1，∴a=2，b=-1或∵a+b=c，∴c=1，∵B=2b-ac∴當(dāng)a=2，b=-1，c=1時，當(dāng)a=-1，b=2，c=1時，綜上得：B的值為-4或5【點睛】題目主要考查分式的化簡及通分運算，熟練掌握分式的運算進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．14．（2022·福建省福州第十九中學(xué)八年級期中）先化簡，再求值x+1x2-1【答案】xx-1，【分析】先把分子分母因式分解，再化簡，然后把x=-2代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：x+1===x當(dāng)x=-2時，原式=-2【點睛】本題主要考查了分式的加減混合，熟練掌握分式的加減混合法則是解題的關(guān)鍵．15．（2022·湖南邵陽·八年級期中）某同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，遇到這樣的問題：求A=24×122先看一般情形：1a再看特殊情形：當(dāng)a=3時，12當(dāng)a=4時，12老師講解到這里時，該同學(xué)說：“老師我知道怎么做了．”(1)請你通過化簡，說明一般情形12(2)請你完成該同學(xué)的解答．【答案】(1)見解析(2)15【分析】（1）根據(jù)分式的加減法則把分式進(jìn)行化簡即可；（2）根據(jù)題中所給出的式子把原式進(jìn)行化簡，求出A最接近的整數(shù)即可．【詳解】（1）左邊====右邊=∴1（2）A=24×=24×=12×=12×=12×=16-∵1∴A=24×122【點睛】本題考查了分式的加減，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2021·廣東江門·八年級期末）請你說明，在代數(shù)式x2-2x+1x【答案】見解析【分析】將原式進(jìn)行化簡，得到最終結(jié)果為3，即可證明無論x取何值，代數(shù)式的值都不變．【詳解】證明：x====在代數(shù)式有意義的情況下，無論x取何值，代數(shù)式的結(jié)果均為3，即無論x取何值，代數(shù)式的值都不變．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．17．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)八年級期末）（1）計算：a+2b2（2）化簡求值：a2-b2a【答案】（1）4ab；（2）1a+b；【分析】（1）利用完全平方公式a±b2（2）利用a-p=1ap（a≠0【詳解】解：（1）a+2b2=a=4ab；（2）a2=a+b=a+b=a+b=1當(dāng)a=-1，b=2時，原式=1【點睛】本題考查了整式的化簡和分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計算步驟和法則，并仔細(xì)計算．18．（2022·山東菏澤·八年級期中）計算：(1)x2(2)4aa(3)4x+2【答案】(1)x(2)2(3)2x-【分析】（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再把分子、分母約分化簡；（2）先通分，再根據(jù)同分母分式的加減法法則計算；（3）先把括號內(nèi)通分化簡，再約分化簡．【詳解】（1）解：原式===x；（2）解：原式====2（3）解：原式===2x-【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．考點3：分式的應(yīng)用例6.（2022·北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是

（填序號）；①x+33②x-5x③x-1x+2(2)請將“和諧分式”x2(3)應(yīng)用：先化簡x-xx+1÷解：（1）①x+33=1+x3，不是②x-5x=1-5x③x-1x+2=x+2-3x+2=1-④x+1x2=1x+故答案為：②③；（2）解：x==x+3-6（3）解：x-=====1-3∵1-3∴x+6=±1,±3，∴當(dāng)x=-3,-5,-7,-9時，1-3又∵x≠0,-1,3,-3,-6．∴x=-5,-7,-9時，原式的值是整數(shù)．【點睛】本題主要考查分式的化簡及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算法則及對和諧分式的定義的理解．例7.（2022·北京朝陽·八年級期末）閱讀材料：對于兩個實數(shù)a，b大小的比較，有如下規(guī)律：若a-b＞0，則a＞b；若a-b=0，則a=b；若a-b＜0，則a＜b.反過來也成立．解決問題：(1)已知實數(shù)x,則x+3x+7x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞(2)甲、乙二人同時從A地出發(fā)去B地，甲用一半時間以每小時xkm的速度行走，另一半時間以每小時ykm的速度行走；乙以每小時xkm的速度行走一半路程，另一半路程以每小時ykm的速度行走.若x≠y，判斷誰先到達(dá)B地，并說明理由．下面是小明參考上面的規(guī)律解決問題的過程，請補充完整：（1）x+3x+7x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞”（2）先到達(dá)B地的是．說明：設(shè)甲從A地到B地用2th，則A，B兩地的路程為（x+y）tkm，乙從A地到B地用(x+y2x解：(1)(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)故應(yīng)填“＜”(2)(=(=[==(x-y)∵x≠y，∴(x-y)∵x＞0，y＞0，t＞0，∴(x-y)∴(x+y所以甲先到達(dá)B地．知識點訓(xùn)練1．（2022·山東淄博·九年級期中）甲、乙兩人分兩次在同一糧店內(nèi)買糧食，兩次的單價不同，甲每次購糧100千克，乙每次購糧100元．若規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價低，誰的購糧方式就合算．那么這兩次購糧（

）A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一樣 D．無法確定【答案】B【分析】分別算出兩次購糧的平均單價，用作差法比較即可．【詳解】解：設(shè)第一次購糧時的單價是x元/千克，第二次購糧時的單價是y元/千克，甲兩次購糧共花費：100x+100y，一共購買了糧食：100+100=200千克，甲購糧的平均單價是：100x+100y200乙兩次購糧共花費：100+100=200元，一共購買糧食：100x+100甲乙購糧的平均單價的差是：x+y2即x+y2所以甲購糧的平均單價高于乙購糧的平均單價，乙的購糧方式更合算，故選B．【點睛】本題考查分式的減法，解題關(guān)鍵是列出分式并作差，掌握分式的減法法則．2．（2022·河南·商水縣希望初級中學(xué)八年級期中）已知P=a-1b÷1a-b，Q=a2A．P>Q B．P=Q C．P<Q D．無法確定【答案】C【分析】先利用分式的混合運算法則將P、Q分別化簡，再利用實數(shù)的比較規(guī)則即可得解．【詳解】解：∵P=a-=ab-1=ab-1=-aQ=a=a=b∴P＜故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算以及比較實數(shù)的大小，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022·北京昌平·八年級期中）如圖，大正方形的邊長均為a，圖（1）中白色小正方形的邊長為b，圖（2）中白色長方形的寬為b，設(shè)m=圖（1）中陰影部分面積圖（2A．m>2 B．1<m<2 C．12<m<1 D【答案】B【分析】根據(jù)正方形和長方形的面積分別求得陰影部分的面積，代入m，根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：圖（1）的陰影部分的面積為：a2圖（2）的陰影部分的面積為：a2∴m====1+b∵a>b>0，∴1<1+b故選：B．【點睛】本題考查了分式的應(yīng)用，分別求得陰影部分面積，掌握分式的中是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海田家炳中學(xué)七年級期中）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式，例如4x+2，3x2x3-4x(1)將假分式4x-32x+1為一個整數(shù)與一個真分式的(2)利用上述方法解決問題：若x是整數(shù)，且分式x2x-3的值為正整數(shù)，求【答案】(1)2-(2)x=4或6或12【分析】（1）根據(jù)題意，把分式4x-32x+1（2）根據(jù)題中所給出的例子，把原式化為整式與真分式的和形式，再根據(jù)分式的值為整數(shù)即可得出x的值．【詳解】（1）解：由題可得，4x-32x+1（2）解：x2∵分式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，∴x-3=1，x-3=3，x-3=9，∴x=4或6或12．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·河南·商水縣希望初級中學(xué)八年級期中）最近一段期間新冠肺炎肆虐，此情形下，很多單位都爭著購買消毒液．某商販先購進(jìn)消毒液a箱，價格為每箱50元，后又購進(jìn)消毒液b箱，價格為每箱60元，然后以每箱55元的價格全部售給某單位，請用a、b的式子表示每箱的平均進(jìn)價．當(dāng)a<b時，該平均進(jìn)價相對55元的售價是更高還是更低了？請說明理由．【答案】50a+60ba+b，該平均進(jìn)價相對55【分析】用每箱的進(jìn)價乘以箱數(shù)，再除以總箱數(shù)即可表示出兩次的平均進(jìn)價；然后求與55的差即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，該商販購進(jìn)消毒液每箱的平均價格為50a+60ba+b55-=55==5a-5b∵a<b，∴5a-5b<0，∴5a-5ba+b∴55<50a+60b∴該平均進(jìn)價相對55元的售價更高．【點睛】本題考查了分式加減法的應(yīng)用及代數(shù)式的表示，讀懂題意，找出已知數(shù)量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級期末）閱讀下列材料，解決問題：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）與一個真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現(xiàn)舉例說明．將分式x2解：x2-x+3x+1這樣，分式x2-x+3x+1就拆分成一個整式x﹣2(1)將分式x2+6x-3x-1(2)已知整數(shù)x使分式2x2+5x-20【答案】(1)x+7+(2)滿足條件的整數(shù)x的值為2或4或﹣10或16【分析】（1）按照定義拆分即可．（2）先將2x2+5x-20x-3拆分為一個整式與一個分式的和的形式，2x2+5x-20x-3=2x(x-3)+11(x-3)+13（1）解：x=＝x(x-1)=x+7+4（2）解：2=＝2x(x-3)=2x+11+若要2x2+5x-20當(dāng)x=2時13當(dāng)x=4時13當(dāng)x=-10時13當(dāng)x=16時13故x=2或4或-10或16．【點睛】本題主要考查了分式的化簡、求使分式值為整數(shù)的未知數(shù)等知識點，理解逆用分?jǐn)?shù)加減法的化簡方法是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·八年級單元測試）小郝同學(xué)在當(dāng)建造師的爸爸的一份資料上看到一段文字：“民用住宅窗戶面積應(yīng)小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比值越大，住宅的采光條件會越好．”小郝思考：如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會不會更好？為了驗證這猜想，小郝做了如下數(shù)學(xué)實驗：第一步：假設(shè)某住宅窗戶面積為17平方米，地板面積為80平方米，則窗戶面積地板面積=1780．如果窗戶面積和地板面積同時增加∵1881∴1881所以，同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會更好．第二步：假設(shè)某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為y平方米，且y>x>0，則窗戶面積地板面積=xy，如果窗戶面積和地板面積同時增加請幫小郝完成猜想證明過程．第三步：假設(shè)某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為y平方米，且y>x>0，則窗戶面積地板面積=xy．如果窗戶面積和地板面積同時增加請幫小郝完成猜想證明過程，井對問題下結(jié)論．【答案】證明見解析，結(jié)論：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會更好．【分析】根據(jù)分式的減法，作差比較大小即可求解．【詳解】證明：第二步：x+1∵y>x>∴y-x>0,y+1>∴y-xyy+1即x+1∴窗戶面積和地板面積同時增加1平方米，住宅的采光條件會更好；第三步：同理可得，x+m===∵y＞x＞0，m＞0，∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0，∴m(y-x)∴x+m∴窗戶面積和地板面積同時增加m平方米，住宅的采光條件會更好；結(jié)論：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會更好．【點睛】此題考查了分式的混合運算，弄清作差法比較大小的方法是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·全國·八年級單元測試）課本中有一探究活動如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價格：設(shè)A種糖的單價為a元/千克，B種糖的單價為b元/千克，則m千克A種糖和n千克B種糖混合而成的什錦糖的單價為ma+nbm+n（平均價）．現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由A，B兩種糖混合而成．其中甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克B種糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元B種糖混合而成．你認(rèn)為哪一種什錦糖的單價較高？為什么？”請你完成下面小明同學(xué)(1)小明同學(xué)根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為x甲和x乙（用a、(2)為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將x甲與x乙進(jìn)行作差比較，即計算x甲(3)經(jīng)過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經(jīng)常波動．方式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）．選擇哪種方式？請簡要說明理由．【答案】(1)x甲=12(a+b)(2)甲糖的單價較高，理由見解析(3)方式二更合算【分析】（1）根據(jù)單價=總價÷數(shù)量分別求出甲糖單價和乙糖單價；（2）根據(jù)作差法比較大小即可求解；（3）由探究的結(jié)果進(jìn)行分析即可．【詳解】（1）解：甲糖單價為：x甲=(10a+10b)÷20=乙糖單價為：x乙=(100+100)÷(（2）1==∵甲、乙兩種什錦糖，均由A，B兩種單價不同的糖混合而成，∴(a-b)2∴甲糖的單價較高．（3）由探究可知方式一相當(dāng)于甲種什錦糖，方式二相當(dāng)于乙種什錦糖，故選擇方式二更合算．【點睛】本題考查了列代數(shù)式（分式），分式的加減法.注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替．9．（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為（a－1）m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了550kg．設(shè)“豐收1號”、“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量分別為F1(1)F1=；F2=(2)求證：F1(3)求F1(4)當(dāng)a＝49時，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【答案】(1)550a2(2)證明見解析(3)a-1(4)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的2524【分析】（1）利用小麥的產(chǎn)量分別除以“豐收1號”、“豐收2號”的面積即可得F1（2）根據(jù)分式的減法法則計算F1（3）根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計算即可得；（4）先求出a=49時，F(xiàn)1F2【詳解】（1）解：由題意得：F1=550故答案為：550a2-1（2）證明：F====-1100∵a>1，∴a+1>0,a-1∴-1100即F1（3）解：F==a-1（4）解：當(dāng)a=49時，F(xiàn)1∵F1∴F∴F∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的2524倍【點睛】本題考查了列代數(shù)式、分式的減法與除法的實際應(yīng)用等知識點，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．10．（2022·福建廈門·八年級期末）為促進(jìn)學(xué)生健康成長，某校分批購進(jìn)若干體育用品．第一批購買的單價不低于18元，第二批購買的單價比第一批的單價少5元．(1)若第一批和第二批購買的費用分別為400元和450元，且第二批所購體育用品數(shù)是第一批所購體育用品數(shù)的倍．求第一批體育用品每件的單價是多少元？(2)由于該體育用品深受學(xué)生喜歡，學(xué)校繼續(xù)籌劃費用購買第三批體育用品．如果第二批和第三批購買費用分別為m