計(jì)算聲學(xué)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析課件

計(jì)算聲學(xué)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析根據(jù)表5-3可知，每一管段的設(shè)計(jì)管徑均小于200，但根據(jù)規(guī)范要求，污水管道最小管徑為200mm。因此，為滿足設(shè)計(jì)規(guī)范要求，并考慮遠(yuǎn)期人口增加，為避免遠(yuǎn)期管道設(shè)計(jì)過小，帶來不必要的麻煩，本設(shè)計(jì)中WA線污水管道管徑采用取300mm。計(jì)算聲學(xué)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析計(jì)算聲學(xué)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析根據(jù)表5-3可知，每一管段的設(shè)計(jì)管徑均小于200，但根據(jù)規(guī)范要求，污水管道最小管徑為200mm。因此，為滿足設(shè)計(jì)規(guī)范要求，并考慮遠(yuǎn)期人口增加，為避免遠(yuǎn)期管道設(shè)計(jì)過小，帶來不必要的麻煩，本設(shè)計(jì)中WA線污水管道管徑采用取300mm。水聲學(xué)主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標(biāo)探測(cè)和信息傳輸過程有關(guān)的各種聲學(xué)問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠(yuǎn)距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)，就成為近代水聲學(xué)的基本研究?jī)?nèi)容，而提取海洋中聲場(chǎng)信息的結(jié)構(gòu)是我們用來進(jìn)行水下探測(cè)、識(shí)別、通信及環(huán)境監(jiān)測(cè)等的手段。前言前言海洋環(huán)境波動(dòng)方程：波動(dòng)方程是聲學(xué)量在聲場(chǎng)中滿足的基本關(guān)系式，反映了波動(dòng)特征，也是進(jìn)行聲場(chǎng)計(jì)算的基本關(guān)系式。在導(dǎo)出波動(dòng)方程前，為了使問題簡(jiǎn)化，需要對(duì)介質(zhì)和聲波做一些假設(shè)：（1）介質(zhì)是均勻連續(xù)的，即在波長(zhǎng)數(shù)量級(jí)距離內(nèi)，介質(zhì)的聲學(xué)性質(zhì)保持不變；（2）介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，聲波在其中傳播時(shí)沒有能量損耗，即忽略介質(zhì)的粘滯性和熱傳導(dǎo)性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學(xué)量都是一級(jí)小量。波動(dòng)方程是描述波動(dòng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)得到。前言波動(dòng)方程：理想流體介質(zhì)中小振幅平面波的波動(dòng)方程為（沿軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標(biāo)下的波動(dòng)方程為為拉普拉斯算符，在直角坐標(biāo)系中

前言海洋聲場(chǎng)的數(shù)值預(yù)報(bào)在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對(duì)聲場(chǎng)的制約關(guān)系的聲場(chǎng)物理模型（波動(dòng)方程+定解條件）的基礎(chǔ)上，根據(jù)可測(cè)海洋環(huán)境參數(shù)的測(cè)定值或預(yù)報(bào)值，編寫程序完成數(shù)值計(jì)算，給出相應(yīng)海洋環(huán)境條件下的有關(guān)場(chǎng)值。近年來，由于計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算聲場(chǎng)是一個(gè)快速發(fā)展的領(lǐng)域。海洋聲場(chǎng)的數(shù)值預(yù)報(bào)方法主要有射線算法、簡(jiǎn)正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場(chǎng)（FFP）算法等，各自有不同的適應(yīng)范圍。前言前言函數(shù)插值：已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？

深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言前言數(shù)值積分：聲線軌跡計(jì)算聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為前言問題：利用射線聲學(xué)模型對(duì)海洋聲場(chǎng)進(jìn)行求解

偽彩色圖前言前言三維環(huán)境下聲傳播前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解：為聲線的位置信息，需要求解，其它參數(shù)已知。前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1.牛頓法迭代法：泰勒級(jí)數(shù)展開式的線性部分近似2.進(jìn)化算法：遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等前言曲線擬合：已知目標(biāo)散射場(chǎng)指向性的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖所示，如何比對(duì)其與理論計(jì)算結(jié)果的誤差？鋁球散射聲場(chǎng)指向性頻率kHz微分方程求解：隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

利用四階龍格庫(kù)塔算法求解前言前言四階龍格庫(kù)塔算法前言前言前言前言必要性：

現(xiàn)代科學(xué)研究和高技術(shù)的發(fā)展越來越需要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，水聲領(lǐng)域也不例外。講授的主要內(nèi)容：1、數(shù)值計(jì)算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解；2、進(jìn)化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場(chǎng)建模。數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn)對(duì)象：數(shù)值計(jì)算方法是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)分支，涉及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。任務(wù)：研究適合在計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值計(jì)算方法及相關(guān)理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)研究如何設(shè)計(jì)計(jì)算方法做到計(jì)算時(shí)間短、占用內(nèi)存小。學(xué)習(xí)目的：提高應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。

數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算流程：特點(diǎn)：

既具有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)格性，又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性，是一門與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的有著自身研究方法與理論體系的計(jì)算數(shù)學(xué)課程。數(shù)值計(jì)算中的誤差分析內(nèi)容提要：掌握絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)以及設(shè)計(jì)算法的原則。重點(diǎn)內(nèi)容：絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)。誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一、誤差的來源與分類將一個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確值與其近似值之差稱為誤差。1.分類

過失誤差：人為造成，可以避免

非過失誤差：

無(wú)法避免，分析產(chǎn)生原因，限制在許可范圍之內(nèi)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)2.誤差來源（非過失誤差）模型誤差：數(shù)學(xué)模型是通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化建立的，是一種近似描述。觀測(cè)誤差：測(cè)量工具精度與測(cè)量手段的限制。舍入誤差：計(jì)算機(jī)位數(shù)的限制，由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，對(duì)參與計(jì)算的數(shù)據(jù)和最后得到的計(jì)算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無(wú)窮位小數(shù)。§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)截?cái)嗾`差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計(jì)算方法固有的。取部分和作近似截?cái)嗾`差：絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差：

設(shè)某一量的精確值為，其近似值為，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。 時(shí)稱為弱近似值或虧近似值； 時(shí)稱為強(qiáng)近似值或盈近似值。絕對(duì)誤差限：如果存在，使得，則稱為近似值的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限或精度（測(cè)量時(shí)，測(cè)量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度越高。在工程技術(shù)上常用表示近似值的精度或精確值的范圍?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例：用毫米刻度的尺子測(cè)得桌子長(zhǎng)度近似值為mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即

表明精確值在區(qū)間內(nèi)，可以寫成絕對(duì)誤差限mm，即絕對(duì)誤差限是末位的半個(gè)單位。相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與精確值之比，即稱為近似值的相對(duì)誤差。實(shí)際中，由于精確值一般無(wú)法知道，所以常取作為近似值的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差限：若存在，使得，則稱為近似值的相對(duì)誤差限。注意：絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限與有相同的量綱，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限是無(wú)量綱的，工程中常以百分?jǐn)?shù)來表示?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.1國(guó)際大地測(cè)量學(xué)會(huì)建議光速采用其含義是絕對(duì)誤差限為多少？而其相對(duì)誤差限為多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)絕對(duì)誤差限：近似值：相對(duì)誤差限：有效數(shù)字如果近似值的絕對(duì)誤差限是某一位的半個(gè)單位，就稱其“準(zhǔn)確”到這一位，且從該位開始直到的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度（絕對(duì)誤差限）。例1.2 設(shè)，其近似值，問有幾位有效數(shù)字？如果，有幾位有效數(shù)字？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)練習(xí)題1.指出如下有效數(shù)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限和有效數(shù)字位數(shù)。

2.將22/7作為的近似值，它有幾位有效數(shù)字？絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限各為多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)有效數(shù)字

設(shè)的近似值可以寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式

所以當(dāng)其絕對(duì)誤差限滿足時(shí)，稱近似值具有位有效數(shù)字?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)結(jié)論：如果

，有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為反之，如果的相對(duì)誤差限滿足則至少有位有效數(shù)字?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.3

要使的近似值的相對(duì)誤差小于，至少需取幾位有效數(shù)字？誤差的傳播與估計(jì)實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是近似值，帶有誤差。而在進(jìn)一步運(yùn)算中都會(huì)產(chǎn)生舍入誤差或截?cái)嗾`差，這些誤差在運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，影響計(jì)算結(jié)果?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一元函數(shù)的泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，，則有其中，拉格朗日型余項(xiàng)（介于之間）。

§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)泰勒（Taylor）公式估計(jì)誤差的方法：以二元函數(shù)為例，設(shè)和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值。函數(shù)在點(diǎn)處的Taylor展開式為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)式中一般都是小量值，如果忽略它們的高階無(wú)窮小量，則上式簡(jiǎn)化為因此的絕對(duì)誤差為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)系數(shù)分別是一階偏導(dǎo)數(shù)在處的值，稱為對(duì)的絕對(duì)誤差的增長(zhǎng)因子，分別表示絕對(duì)誤差經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)的相對(duì)誤差

分別是對(duì)的相對(duì)誤差的增長(zhǎng)因子，表示相對(duì)誤差經(jīng)過傳播后增大或減小的倍數(shù)。

由此可以得到兩近似數(shù)的和、差、積、商的誤差估計(jì)（絕對(duì)誤差）為§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.4經(jīng)過四舍五入得到，，問他們分別具有幾位有效數(shù)字？，，，的絕對(duì)誤差限分別是多少？§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：記和的精確值分別是和，則分別具有5位有效數(shù)字§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)例1.5

測(cè)得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為伏、安，求電阻的阻值，并求及。

§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：有，已知伏，安，得歐的絕對(duì)誤差：由于，，所以從而的相對(duì)誤差例1.6設(shè)，，都精確到2位小數(shù)，估計(jì)的相對(duì)誤差?！?誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)解：所以在由誤差估計(jì)式得出絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的估計(jì)時(shí)，由于取了絕對(duì)值并用三角不等式放大，是按照最壞情形得出的，所以結(jié)果是保守的。 一般來說，為了保證計(jì)算結(jié)果的精確度，在計(jì)算過程中，比結(jié)果中所要求的有效數(shù)字位數(shù)多取1位或2位就可以了。§2誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而在運(yùn)算中產(chǎn)生誤差是不可避免的。許多實(shí)際問題的求解往往需要進(jìn)行成千上萬(wàn)次的數(shù)值計(jì)算，為了保證計(jì)算結(jié)果的可靠性，必須防止誤差的產(chǎn)生、傳播與擴(kuò)大。一個(gè)好的算法應(yīng)該是計(jì)算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計(jì)算過程中占用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元和工作單元少?！?選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則選擇算法應(yīng)遵循的原則：1.算法是否穩(wěn)定；2.算法的邏輯結(jié)構(gòu)是否簡(jiǎn)單；3.算法的運(yùn)算次數(shù)和算法的存儲(chǔ)量是否盡量少。減少運(yùn)算誤差的幾項(xiàng)措施：1.選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播；在數(shù)值計(jì)算中，對(duì)于某一問題選用不同的算法，所得到的結(jié)果往往不同，有時(shí)甚至大不相同。這主要是由于初始數(shù)據(jù)的誤差或計(jì)算時(shí)的舍入誤差在計(jì)算過程中的傳播因算法的不同而異。對(duì)某一算法，如果初始數(shù)據(jù)的誤差或舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較小，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則例1.7計(jì)算積分解：由算法一

將代入遞推公式分別計(jì)算，由于§3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則所以，因此算法一誤差過大，原因是的近似值所產(chǎn)生的誤差每計(jì)算一次放大10倍，誤差隨n的增大迅速遞增算法二

由后項(xiàng)遞推前項(xiàng)，中的誤差傳遞