勾股定理專(zhuān)題復(fù)習(xí)及題型講解

PAGEPAGE4勾股定理復(fù)習(xí)一、要點(diǎn)精練（一）勾股定理1、(填空題)已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，則c=________；②若a=40，b=9，則c=________；③若a=6，c=10，則b=_______；④若c=25，b=15，則a=________。2、(填空題)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，則BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，則BC=______，AC=_______。3、下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）（A）（B）（C）（D）4、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（）（A）（B）（C）（D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,.由勾股定理,得.所以.所以.所以.故選（C）5、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長(zhǎng)可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91解:因?yàn)?根據(jù)題意,有.整理,得.所以.所以.即該直角三角形的三邊長(zhǎng)是.因?yàn)橹挥?1是3的倍數(shù).故選（C）6、在中,,則邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____.7、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長(zhǎng)可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91（二）勾股定理的驗(yàn)證及其驗(yàn)證過(guò)程的相關(guān)應(yīng)用1、下圖甲是任意一個(gè)直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c.如圖乙、丙那樣分別取四個(gè)與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長(zhǎng)為a+b的正方形內(nèi).①圖乙和圖丙中（1）（2）（3）是否為正方形？為什么？②圖中（1）（2）（3）的面積分別是多少？③圖中（1）（2）的面積之和是多少？④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關(guān)系？為什么？由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系嗎？參考答案①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a為邊長(zhǎng)的正方形，（2）是以b為邊長(zhǎng)的正方形，（3）的四條邊長(zhǎng)都是c，且每個(gè)角都是直角，所以（3）是以c為邊長(zhǎng)的正方形.②圖中（1）的面積為a2,(2)的面積為b2,(3)的面積為c2.③圖中（1）（2）面積之和為a2+b2.④圖中（1）（2）面積之和等于（3）的面積.因?yàn)閳D乙、圖丙都是以a+b為邊長(zhǎng)的正方形，它們面積相等，（1）（2）的面積之和與（3）的面積都等于（a+b)2減去四個(gè)Rt△ABC的面積.由此可得：任意直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.2、（1）請(qǐng)你動(dòng)動(dòng)腦筋，能否驗(yàn)證這個(gè)事實(shí)呢？該如何考慮呢？（2）請(qǐng)你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為AC=7，BC=4，請(qǐng)你研究這個(gè)直角三角形的斜邊AB的長(zhǎng)的平方是否等于42+72？1、下列各組數(shù)中以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=52、如果一個(gè)三角形的一條邊是另一邊的2倍，并且有一個(gè)角是，那么這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定3、4、如圖，在等腰直角的斜邊上取異于的兩點(diǎn),使求證：以為邊的三角形是直角三角形。

略(提示:分別以AE,AF為軸,將內(nèi)部翻轉(zhuǎn))5、如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則這三角形是直角三角形分析：驗(yàn)證三邊是否符合勾股定量的逆定理證明：∵∴∵∠C＝6、已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四邊形ABCD的面積分析：我們不知道這個(gè)四邊形是否為特殊的四邊形，所以將四邊形分割為兩個(gè)三角形，只要求出這兩個(gè)三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個(gè)三角形的面積和．（五）利用勾股定理求最短路線如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.問(wèn)這根鐵棒最長(zhǎng)應(yīng)有多長(zhǎng)？圖12、在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？圖1勾股定理中的常見(jiàn)題型例析勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．考查的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見(jiàn)的題型有以下幾種：一、探究開(kāi)放題例1如圖1，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去……．（1）記正方形ABCD的邊長(zhǎng)為＝1，依上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為，，，…，，求出，，的值．（2）根據(jù)以上規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的表達(dá)式．分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律．解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝，同理，AE=2，EH=．即a2=，a3=2，a4=．(2)∵，，，，∴．點(diǎn)撥：探究開(kāi)放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強(qiáng)，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力具有十分重要的作用．二、動(dòng)手操作題例2如圖2，圖（１）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c．圖（２）是以c為直角邊的等腰直角三角形．請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形．（１）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫(xiě)出它是什么圖形；（２）用這個(gè)圖形證明勾股定理；（３）假設(shè)圖（１）中的直角三角形有苦干個(gè)，你能運(yùn)用圖（１）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出拼后的示意圖（無(wú)需證明）．解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個(gè)直角梯形．（2）由于這個(gè)梯形的兩底分別為a、b，腰為（a+b），所以梯形的面積為．又因?yàn)檫@個(gè)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為：．∴．∴．（3）所拼圖形如圖4．點(diǎn)撥：動(dòng)手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動(dòng)手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。本題通過(guò)巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來(lái)驗(yàn)證勾股定理。三、閱讀理解題例3已知a，b，c為△ABC的三邊且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，試判斷△ABC的形狀．小明同學(xué)是這樣解答的．解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴∴．訂正：∴△ABC是直角三角形．橫線與問(wèn)號(hào)是老師給他的批注，老師還寫(xiě)了如下評(píng)語(yǔ)：“你的解題思路很清晰，但解題過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，相信你再思考一下，一定能寫(xiě)出完整的解題過(guò)程．”請(qǐng)你幫助小明訂正此題，好嗎？分析：這類(lèi)閱讀題在展現(xiàn)問(wèn)題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下疑問(wèn)點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺．因此，本題可作如下訂正：解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴．∴，∴或．∴或．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．點(diǎn)撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧．解決的關(guān)鍵是抓住疑問(wèn)點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞．四、方案設(shè)計(jì)題例4給你一根長(zhǎng)為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個(gè)直角三角形，怎樣截?。ㄔ试S有余料）？請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種方案．分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)解決．解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8cm，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm．點(diǎn)撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案，然后再通過(guò)測(cè)量、截取、加工等活動(dòng)方能完成．既要思考，又要?jiǎng)邮郑寣W(xué)生在這個(gè)過(guò)程中，體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂(lè)．五、折疊題1、矩形紙片中，厘米，厘米，現(xiàn)將重合，

使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為，重疊部分AEF的面積六、實(shí)際應(yīng)用題C1、為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖書(shū)室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試問(wèn)：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等?（8分）C七、極具“熱點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)探究題1、如圖１，一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為．=1\*GB2⑴求AO與BO的長(zhǎng)；=2\*GB2⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行.如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米?中考題型分析1、（2011四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么”的逆命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式：?！敬鸢浮咳绻切稳呴L(zhǎng)a，b，c，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形2、（2011四川廣安，28，10分）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造．測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)．3、（2011貴州貴陽(yáng)，7，3分）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°