數(shù)學(xué)建模初等模型課件

初等模型

張文博北京郵電大學(xué)理學(xué)院某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。艦艇的會(huì)合令：則上式可簡(jiǎn)記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點(diǎn)p必位于此圓上。

（航母的路線方程）（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）由此關(guān)系式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

在寒冷的北方，許多住房的玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們的差異僅僅在窗戶不同。

不妨可以提出以下假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。2、室內(nèi)溫度T1與戶外溫度T2均為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。雙層玻璃的功效設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k2，單位時(shí)間通過(guò)單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為Q

ddl室外T2室內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式Q=kΔT/d

解得：此函數(shù)的圖形為dd室外T2室內(nèi)T1類似有

一般故記h=l/d并令f(h)=

考慮到美觀和使用上的方便，h不必取得過(guò)大，例如，可取h=3或4，即l=3d（或4d），此時(shí)房屋熱量的損失不超過(guò)單層玻璃窗時(shí)的4%-3%

。01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。崖高的估算方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學(xué)過(guò)微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理

相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。

最小二乘法

插值方法

當(dāng)問(wèn)題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其他知識(shí)來(lái)建模時(shí)，一個(gè)較為自然的方法是利用數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變量之間的近似依賴關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥钚《朔ㄔO(shè)經(jīng)實(shí)際測(cè)量已得到n組數(shù)據(jù)（xi,yi），i=1,…,n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見(jiàn)圖。如果建模者判斷這n個(gè)點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令該直線方程為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來(lái)求參數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望最小此式對(duì)a和b的偏導(dǎo)數(shù)均為0，解相應(yīng)方程組，求得：y=ax+byO(xi,yi)x其中和分別為xi和yi的平均值

如果建模者判斷變量間的關(guān)系并非線性關(guān)系而是其他類型的函數(shù)，則可作變量替換使之轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系或用類似方法擬合。顯然，運(yùn)動(dòng)員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績(jī)和運(yùn)動(dòng)員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級(jí)運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)又如何比較優(yōu)劣呢？運(yùn)動(dòng)成績(jī)是包括生理?xiàng)l件、心理因素等等眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無(wú)法辦到。但我們擁有大量的比賽成績(jī)紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。為?jiǎn)單起見(jiàn)，我們不妨取表中的數(shù)據(jù)為例。例（舉重成績(jī)的比較）舉重是一種一般人都能看懂的運(yùn)動(dòng)，它共分九個(gè)重量級(jí)，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。表中給出了到1977年底為止九個(gè)重量級(jí)的世界紀(jì)錄。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績(jī)重量級(jí)（上限體重）模型1（線性模型）

將數(shù)據(jù)畫在直角坐標(biāo)系中可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)成績(jī)與體量近似滿足線性關(guān)系，只有110公斤級(jí)有點(diǎn)例外，兩項(xiàng)成績(jī)都顯得較低。應(yīng)用前面敘述的方法可求出近似關(guān)系式L=kB+C，其中B為體重，L為舉重成績(jī)。你在作圖時(shí)L軸可以放在50公斤或52公斤處，因?yàn)闆](méi)有更輕級(jí)別的比賽，具體計(jì)算留給讀者自己去完成。模型2（冪函數(shù)模型）

線性模型并未得到廣泛的接受，要改進(jìn)結(jié)果，能夠想到的自然首先是冪函數(shù)模型，即令L=kBa，對(duì)此式取對(duì)數(shù)，得到lnL=lnk+alnB。將原始數(shù)據(jù)也取對(duì)數(shù)，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化了線性模型，可用最小二乘法求出參數(shù)。幾十年前英國(guó)和愛(ài)爾蘭采用的比較舉重成績(jī)優(yōu)劣的Austin公式：L′=L/B3/4就是用這一方法求得的。

模型3（經(jīng)典模型）

經(jīng)典模型是根據(jù)生理學(xué)中的已知結(jié)果和比例關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)的公式，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，它并不屬于經(jīng)驗(yàn)公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)：(1)舉重成績(jī)正比于選手肌肉的平均橫截面積A，即L=k1A(2)A正比于身高l的平方，即A=k2l2(3)體重正比于身高l的三次方，即B=k3l3根據(jù)上述假設(shè)，可得

顯然，K越大則成績(jī)?cè)胶茫士捎脕?lái)比較選手比賽成績(jī)的優(yōu)劣。

模型4（O’Carroll公式）

經(jīng)驗(yàn)公式的主要依據(jù)是比例關(guān)系，其假設(shè)條件非常粗糙，可信度不大，因而大多數(shù)人認(rèn)為它不能令人信服。1967年，O’Carroll基于動(dòng)物學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析得出了一個(gè)現(xiàn)在被廣泛使用的公式。O’Carroll模型的假設(shè)條件是：

(1)L=k1Aa,a<1(2)A=k2lb,b<2(3)B-Bo=k3l3

假設(shè)(1)、(2)是解剖學(xué)中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在假設(shè)（3）中O’Carroll將體重劃分成兩部分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。

故有：

根據(jù)三條假設(shè)可得L=k(B-B0)β,k和β為兩個(gè)常數(shù)，

此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，他得出B0≈35公斤，

k越大成績(jī)?cè)胶?。因而建議根據(jù)的大小來(lái)比較選手成績(jī)的優(yōu)劣。

模型5（Vorobyev公式）

這是一個(gè)前蘇聯(lián)使用的公式。建模者認(rèn)為舉重選手舉起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其舉起的總重量為L(zhǎng)+B，可以看出，他們更重視的是腿部肌肉的爆發(fā)力。應(yīng)用與模型4類似的方法，得出了按的大小比較成績(jī)優(yōu)劣的建議。上述公式具有各不相同的基準(zhǔn)，無(wú)法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對(duì)公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足在B=75公斤時(shí)有L’=L，則上述各公式化為：（1）Austin公式：（2）經(jīng)典公式：（3）O’Carroll公式：（4）Vorobyev公式：將公式（1）—（4）用來(lái)比較1976年奧運(yùn)會(huì)的抓舉成績(jī)，各公式對(duì)九個(gè)級(jí)別冠軍成績(jī)的優(yōu)劣排序如表所示，比較結(jié)果較為一致，例如，對(duì)前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。138.5(8)141.9(7)135.6(7)131.8(8)175110150.3(2)152.9(2)150.5(2)148.3(2)17090152.1(1)153.5(1)152.2(1)151.3(1)162.582.5145.0(6)145.0(5)145.0(3)145.0(6)14575145.8(5)144.7(6)144.8(5)146.1(5)13567.5147.7(3)146.2(3)145.0(3)147.8(3)12560146.6(4)145.7(4)142.8(6)146.3(4)117.556138.8(7)139.7(8)134.0(8)138.2(7)10552VorobyevO’Carroll經(jīng)典公式Austin抓舉成績(jī)(公斤)體重(公斤)我們希望建立一個(gè)體重與身高之間的關(guān)系式，不難看出兩者之間的關(guān)系不易通過(guò)機(jī)理的分析得出，不妨可以采取統(tǒng)計(jì)方法，用數(shù)據(jù)來(lái)擬合出與實(shí)際情況較為相符的經(jīng)驗(yàn)公式。為此，我們先作一番抽樣調(diào)查，測(cè)量了十五個(gè)不同高度的人的體重，列成了下表，在抽樣時(shí)，各高度的人都需經(jīng)適當(dāng)挑選，既不要太胖也不要太瘦。例2體重與身高的關(guān)系將表中的數(shù)畫到h-w平面上，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)分布很接近某一指數(shù)曲線。為此，對(duì)h和w均取對(duì)數(shù)，令x=lnh，y=lnw，將（xi，yi）再畫到x-y平面中去（i=1,…,15），這次你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)幾乎就分布在一條直線附近，令此直線的方程為y=ax+b，用最小二乘法求得a≈2.3,b≈2.82，故可取y=2.32x+2.84，即lnw=2.32lnh+2.84，故有w=17.1h2.327566595451體重w（公斤）1.851.781.711.671.63身高h(yuǎn)（米）5048413527體重w（公斤）1.601.551.511.351.26身高h(yuǎn)（米）2017151210體重w（公斤）1.121.080.960.860.75身高h(yuǎn)（米）在使用最小二乘法時(shí)，我們并未要求得到的擬合曲線一定要經(jīng)過(guò)所有的樣本點(diǎn)，而只是要求了總偏差最小。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題要求擬合曲線必須經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)時(shí)，我們可以應(yīng)用數(shù)值逼近中的插值法。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的不同要求，存在多種不同的插值方法，有只要求過(guò)樣本點(diǎn)的拉格朗日插值法、牛頓插值法等，有既要求過(guò)插值點(diǎn)（即樣本點(diǎn)）又對(duì)插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有所要求的樣條（Spline）插值，甚至還有對(duì)插值曲線的凹凸也有要求的B樣條插值法。本課不準(zhǔn)備詳細(xì)介紹這些細(xì)致的插值方法，只是提請(qǐng)讀者注意，在建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)，插值法也是可以使用的數(shù)學(xué)工具之一。插值方法

對(duì)插值法感興趣的同學(xué)可以查閱相關(guān)書籍，例如由李岳生編著上海科學(xué)技術(shù)出版社出版的《樣條與插值》（1983年出版）等。

在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常常需要確定一些參數(shù)，選什么量為參數(shù)，怎樣選取參數(shù)，其中也有一些技巧，參數(shù)選得不好，會(huì)使問(wèn)題變得復(fù)雜難解，給自己增添許多不必要的麻煩。確定參數(shù)以后，一般需要利用數(shù)據(jù)來(lái)獲得這些參數(shù)的具體取值，例如在使用經(jīng)驗(yàn)方法建模時(shí)，假如你準(zhǔn)備用線性函數(shù)ax+b來(lái)表達(dá)變量間的關(guān)系，你還要用最小二乘法去求出參數(shù)a、b的值，這一過(guò)程被稱為“參數(shù)識(shí)別”?？傊?，參數(shù)的選取應(yīng)使其后的識(shí)別盡可能簡(jiǎn)便，讓我們來(lái)考察一個(gè)實(shí)例。參數(shù)識(shí)別例3

錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤180分鐘的錄像帶在開(kāi)始計(jì)數(shù)時(shí)為0000，到結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為185分20秒。我們從0084觀察到0147共用時(shí)間3分21秒。若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問(wèn)是否還能錄下一個(gè)60分鐘的節(jié)目？rθRl由得到又及得

積分得到即從而有rθRl

此式中的三個(gè)參數(shù)W、v和r均不易精確測(cè)得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令則可將上式簡(jiǎn)化為：故令上式又可化簡(jiǎn)記成t=an2+bn

t=an2+bn

rθRl上式以a、b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：從后兩式中消去t1，解得a=0.0000291,b=0.04646,故t=0.0000291n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為185.33分，故尚可錄像時(shí)間為59.64分，已不能再錄下一個(gè)60分鐘的節(jié)目了。

物理量大都帶有量綱，其中基本量綱通常是質(zhì)量（用M表示）、長(zhǎng)度（用L表示）、時(shí)間（用T表示），有時(shí)還有溫度（用Θ表示）。其他物理量的量綱可以用這些基本量綱來(lái)表示，如速度的量綱為L(zhǎng)T-1，加速度的量綱為L(zhǎng)T-2，力的量綱為MLT-2，功的量綱為ML2T-2等。量綱分析的原理

是：當(dāng)度量量綱的基本單位改變時(shí)，公式本身并不改變，例如，無(wú)論長(zhǎng)度取什么單位，矩形的面積總等于長(zhǎng)乘寬，即公式S=ab并不改變。此外，在公式中只有量綱相同的量才能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如面積與長(zhǎng)度是不允許作加減運(yùn)算的，這些限止在一定程度上限定了公式的可取范圍，即一切公式都要求其所有的項(xiàng)具有相同的量綱，具有這種性質(zhì)的公式被稱為是“量綱齊次”的。

量綱分析法建模例

在萬(wàn)有引力公式中，引力常數(shù)G是有量綱的，根據(jù)量綱齊次性，G的量綱為M-1L3T-2，其實(shí)，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項(xiàng)，即可使其任何一項(xiàng)化為無(wú)量綱，因此任一公式均可改寫成其相關(guān)量的無(wú)量綱常數(shù)或無(wú)量綱變量的函數(shù)。例如，與萬(wàn)有引力公式相關(guān)的物理量有：G、m1、m2、r和F?，F(xiàn)考察這些量的無(wú)量綱乘積

的量綱由于是無(wú)量綱的量，故應(yīng)有：

此方程組中存在兩個(gè)自由變量，其解構(gòu)成一個(gè)二維線性空間。?。╝,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程組解空間的一組基（1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由這些量組成的無(wú)量綱乘積均可用這兩個(gè)解的線性組合表示。兩個(gè)基向量對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱乘積分別為：而萬(wàn)有引力定律則可寫成f(π1,π2)=0，其對(duì)應(yīng)的顯函數(shù)為：π1=g(π2)，即萬(wàn)有引力定律

定理2.1（Backinghamπ定理）方程當(dāng)且僅當(dāng)可以表示為f（π1，π2…）=0時(shí)才是量綱齊次的，其中f是某一函數(shù)，π1，π2…為問(wèn)題所包含的變量與常數(shù)的無(wú)量綱乘積。設(shè)此變換的零空間為m維的，取此零空間的一組基e1,……,em，并將其擴(kuò)充為k維歐氏空間的一組基e1,……,em,em+1,……ek

令πi=g-1(ei),i=1,…,k,顯然，π1，…,πm是無(wú)量綱的，而πm+1,…,πk是有量綱的（若k>m）。由于公式量綱齊次當(dāng)且僅當(dāng)它可用無(wú)量綱的量表示，故方程當(dāng)且僅當(dāng)可寫成f(π1，…,πm)=0時(shí)才是量綱齊次的，定理證畢。

證設(shè)x1,…,xk為方程中出現(xiàn)的變量與常數(shù),,對(duì)這些變量與常數(shù)的任一乘積,令函數(shù)g建立了xi(i=1,…,k)的乘積所組成的空間與k維歐氏空間之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)設(shè)涉及到的基本量綱有n個(gè),它們?yōu)閥1,…,yn.用這些基本量綱來(lái)表達(dá)該xi的乘冪,設(shè)此乘冪的量綱為令易見(jiàn)dg-1是k維歐氏空間到n維歐氏空間的一個(gè)變換，這里的g-1為g的逆變換。

例（理想單擺的擺動(dòng)周期）考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為l的質(zhì)點(diǎn)上的無(wú)阻尼單擺，（如圖），其運(yùn)動(dòng)為某周期t的左右擺動(dòng)，現(xiàn)希望得到周期t

與其他量之間的關(guān)系。θlmg考察，的量綱為MaLb+dTc-2b若無(wú)量綱，則有此方程組中不含e，故（0,0,0,0,1）為一解，對(duì)應(yīng)的π1=θ即為無(wú)量綱量。為求另一個(gè)無(wú)綱量可令b=1，求得（0，1，2，-1，0），對(duì)應(yīng)有

故單擺公式可用表示。

從中解出顯函數(shù)則可得：

其中此即理想單擺的周期公式。當(dāng)然k(θ)是無(wú)法求得的，事實(shí)上，需要用橢圓積分才能表達(dá)它。量綱分析法雖然簡(jiǎn)單，但使用時(shí)在技巧方面的要求較高，稍一疏忽就會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)果或根本得不出任何有用的結(jié)果。首先，它要求建模者對(duì)研究的問(wèn)題有正確而充分的了解，能正確列出與該問(wèn)題相關(guān)的量及相關(guān)的基本量綱，容易看出，其后的分析正是通過(guò)對(duì)這些量的量綱研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的結(jié)果。其次，在為尋找無(wú)量綱量而求解齊次線性方程組時(shí)，基向量組有無(wú)窮多種取法，如何選取也很重要，此時(shí)需依靠經(jīng)驗(yàn)，并非任取一組基都能得出有用的結(jié)果。此外，建模者在使用量綱分析法時(shí)對(duì)結(jié)果也不應(yīng)抱有不切實(shí)際的過(guò)高要求，量綱分析法的基礎(chǔ)是公式的量綱齊次性，僅憑這一點(diǎn)又怎么可能得出十分深刻的結(jié)果，例如，公式可能包含某些無(wú)量綱常數(shù)或無(wú)量綱變量，對(duì)它們之間的關(guān)系，量綱分析法根本無(wú)法加以研究?！?.7

賽艇成績(jī)的比較(比例模型)八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分成86公斤的重量級(jí)和73公斤的輕量級(jí)。1971年，T.A.McMahon比較了1964-1970年期間兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn)86公斤級(jí)比73公斤級(jí)的成績(jī)大約好5%，產(chǎn)生這一差異的原因何在呢？

我們將以L表示輕量級(jí)、以H表示重量級(jí)，用S表示賽艇的浸水面積，v表示賽艇速度，W表示選手體重，P表示選手的輸出功率，I表示賽程，T表示比賽成績(jī)（時(shí)間）。

考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)賽程大致可以分三個(gè)階段，即初始時(shí)刻的加速階段、中途的勻速階段和到達(dá)終點(diǎn)的沖刺階段。由于賽程較長(zhǎng)，可以略去前后兩段而只考慮中間一段，為此，提出以下建模假設(shè)。（1）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比于Sv2,（見(jiàn)流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計(jì)。（2）同一量級(jí)的選手有相同的體重W，選手的輸出功率P正比于W，且效率大體相同。由假設(shè)1，，故

競(jìng)賽成績(jī)記比例系數(shù)為k，則有：故由假設(shè)2，

故令WH=86,WL=73,則有由于SL略小于SH，故輕量級(jí)所化時(shí)間比重量級(jí)所化時(shí)間約多5%左右。§2.8

方桌問(wèn)題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？

不附加任何條件，答案顯然是否定的，

因此我們假設(shè)

（1）地面為連續(xù)曲面（2）方桌的四條腿長(zhǎng)度相同（3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地?？偪梢允谷龡l腿同時(shí)著地。

現(xiàn)在，我們來(lái)證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B(niǎo)、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線AC與x軸的夾角記為θ。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f(θ)為A、C離地距離之和，g(θ)為B、D離地距離之和，它們的值由θ唯一確定。由假設(shè)（1），f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地，故f(θ)g(θ)=0必成立（θ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問(wèn)題歸結(jié)為：yxθCDABo已知f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)>0且對(duì)任意θ有f(θ)g(θ)=0，求證存在某一θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。

（證法一）當(dāng)θ=π/2時(shí)，AC與BD互換位置，故f(π/2)>0,g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ)，顯然，h(θ)也是θ的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)<0而h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在θo，0<θo

<π/2，h(θ0)=0，即f(θo)=g(θo)。又由于f(θo)g(θo)=0，故必有f(θo)=g(θo)=0，證畢。

（證法二）同證一可得f(π/2)>0,g(π/2)=0。令θo=sup{θ|f(ζ)=0，0≤ζ<θ},顯然θ0<π/2。因?yàn)閒連續(xù)，由上確界定義必有f(θ0)=0，且對(duì)任意小的ε>0，總有δ>0且δ<ε，使f(θ0+δ)>0。因?yàn)閒(θ0+δ)g(θo+δ)=0，故必有g(shù)(θ0+δ)=0，由δ可任意小且g連續(xù)，可知必有g(shù)(θ0)=0，證畢。證法二除用到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順理成章地找到解決實(shí)際問(wèn)題的鑰匙。本節(jié)的幾個(gè)例子說(shuō)明，猜測(cè)也是一種想象力。沒(méi)有合理而又大膽的猜測(cè)，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開(kāi)普勒的三大定律（尤其是后兩條）并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運(yùn)動(dòng)的軌跡之中，隱含在第谷記錄下來(lái)的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例子實(shí)在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，人們常常會(huì)先去猜測(cè)某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測(cè)一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測(cè)被證明是錯(cuò)誤的，結(jié)果也決不是一無(wú)所獲的失敗而常常是對(duì)問(wèn)題的更為深入的了解?！?.9最短路徑與最速方案問(wèn)題例5（最短路徑問(wèn)題）

設(shè)有一個(gè)半徑為r的圓形湖，圓心為O。A、B

位于湖的兩側(cè)，AB連線過(guò)O，見(jiàn)圖?，F(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限制下，問(wèn)怎樣的路徑最近。

ABOr將湖想象成凸出地面的木樁，在AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時(shí)將得到最短路徑。根據(jù)這樣的想象，猜測(cè)可以如下得到最短路徑：過(guò)A作圓的切線切圓于E，過(guò)B作圓的切線切圓于F。最短路徑為由線段AE、弧EF和線段FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對(duì)稱性，AE′，弧E′F′，F(xiàn)′B連接而成的連續(xù)曲線也是）。EFE′F′以上只是一種猜測(cè)，現(xiàn)在來(lái)證明這一猜測(cè)是正確的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。定義2.1（凸集）稱集合R為凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0，1]，總有λx1+（1-λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，則x1、x2的連線必整個(gè)地落在R中。定理2.2（分離定理）對(duì)平面中的凸集R與R外的一點(diǎn)K，存在直線l,l

分離R與K，即R與K分別位于l的兩側(cè)（注：對(duì)一般的凸集R與R外的一點(diǎn)K，則存在超平面分離R與K），見(jiàn)圖。klR下面證明猜想猜測(cè)證明如下：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F(xiàn)′B圍成的區(qū)域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過(guò)R外的點(diǎn)，若不然，設(shè)Γ為最短路徑，Γ過(guò)R外的一點(diǎn)M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續(xù)曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長(zhǎng)度必小于路徑M1MM2的長(zhǎng)度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測(cè)得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl還可用微積分方法求弧長(zhǎng)，根據(jù)計(jì)算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長(zhǎng)度；此外，本猜測(cè)也可用平面幾何知識(shí)加以證明等。根據(jù)猜測(cè)不難看出，例5中的條件可以大大放松，可以不必設(shè)AB過(guò)圓心，甚至可不必設(shè)湖是圓形的。例如對(duì)下圖，我們可斷定由A至B的最短路徑必為l1與l2之一，其證明也不難類似給出。ABl1l2D到此為止，我們的研討還只局限于平面之中，其實(shí)上述猜測(cè)可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上結(jié)果：若可行區(qū)域的邊界是光滑曲面。則最短路徑必由下列弧組成，它們或者是空間中的自然最短曲線，或者是可行區(qū)域的邊界弧。而且，組成最短路徑的各段弧在連接點(diǎn)處必定相切。例6

一輛汽車停于A處并垂直于AB方向，此汽車可轉(zhuǎn)的最小圓半徑為R，求不倒車而由A到B的最短路徑。解（情況1）若|AB|>2R，最短路徑由弧AC與切線BC組成（見(jiàn)圖①

）。（情況2）若|AB|<2R，則最短路徑必居于圖②（a）、（b）兩曲線之中。可以證明，（b）中的曲線ABC更短。AR2RBRC①②ABoC（a）CABo1o2（b）例7

駕駛一輛停于A處與AB成θ1角度的汽車到B處去，已知B處要求的停車方向必須與AB成θ2角，試找出最短路徑（除可轉(zhuǎn)的最小圓半徑為R外，不受其他限止）。解根據(jù)Craggs定理并稍加分析可知，最短路徑應(yīng)在l1與l2中，見(jiàn)圖，比較l1與l2的長(zhǎng)度，即可得到最短路徑。Al1l2Bθ2θ1最速方案問(wèn)題例8

將一輛急待修理的汽車由靜止開(kāi)始沿一直線方向推至相隔S米的修車處，設(shè)阻力不計(jì)，推車人能使車得到的推力f滿足:-B≤f≤A,f>0為推力，f<0為拉力。問(wèn)怎樣推車可使車最快停于修車處。

設(shè)該車的運(yùn)動(dòng)速度為υ=υ(t)，根據(jù)題意，υ(0)=υ(T)=0，其中T為推車所花的全部時(shí)間。由于-B≤f≤A，且f=mυ′，可知-b≤υ′≤a（其中m為汽車質(zhì)量，a=A/m,b=B/m）。據(jù)此不難將本例歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：

minT

υ(0)=υ(T)=0此問(wèn)題為一泛函極值問(wèn)題，求解十分困難，為得出一個(gè)最速方案。我們作如下猜測(cè)：猜測(cè)最速方案為以最大推力將車推到某處，然后以最大拉力拉之，使之恰好停于修車處，其中轉(zhuǎn)換點(diǎn)應(yīng)計(jì)算求出證明設(shè)υ=υ(t)為在最速推車方案下汽車的速度，則有。設(shè)此方案不同于我們的猜測(cè)?，F(xiàn)從O點(diǎn)出發(fā)，作射線y=at；從（t,0）出發(fā)，作直線y