人教B版高中數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)8．2.2 兩角和與差的正弦、正切 課件（2份打包）

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第1課時(shí)兩角和與差的正弦

新知初探·自主學(xué)習(xí)

課堂探究·素養(yǎng)提升

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

1.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．

2．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換．

新知初探·自主學(xué)習(xí)

教材要點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的正弦公式

(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝__________________．

(2)Sα－β：sin(α－β)＝__________________．

知識(shí)點(diǎn)二輔助角公式

y＝asinx＋bcosx＝____________sin(x＋θ)(a，b不同時(shí)為0)，其中cosθ＝____________，sinθ＝____________.

sinαcosβ＋cosαsinβ

sinαcosβ－cosαsinβ

狀元隨筆根據(jù)公式C(α±β)的識(shí)記規(guī)律，你能總結(jié)出公式S(α±β)的記憶規(guī)律嗎？

[提示]對(duì)比公式C(α±β)的識(shí)記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的記憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”．

基礎(chǔ)自測(cè)

1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值為()

A．B．

C．D．以上都不對(duì)

答案：A

解析：原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝.

2．若cosα＝－，α是第三象限的角，則sin(α＋)＝()

A．－B．

C．－D．

答案：A

解析：∵cosα＝－，α為第三象限角，∴sinα＝－，由兩角和的正弦公式得sin(α＋)＝sinαcos＋cosα·sin＝(－)×＋(－)×＝－.

3．函數(shù)y＝sinx－cosx的最小正周期是()

A．B．π

C．2πD．4π

答案：C

解析：y＝sinx－cosx＝sinx－cosx)＝sin(x－)，∴函數(shù)的最小正周期為T＝2π.

4．已知α為銳角，sinα＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，則sin(α＋β)＝________．

0

解析：∵α為銳角，且sinα＝，∴cosα＝.

又β為第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－，

∴cosβ＝，sinβ＝－.

∴sin(α＋β)＝×(－)＝0.

課堂探究·素養(yǎng)提升

題型1利用公式化簡(jiǎn)求值

例1(1)＝()

A．－B．－

C．D．

【答案】C

【解析】

＝

＝

＝＝sin30°＝.

(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；

【解析】原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°

＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.

(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．

【解析】sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)

＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)

＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－cos(θ＋15°)

＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.

狀元隨筆(1)化簡(jiǎn)求值應(yīng)注意公式的逆用．

(2)(3)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值．

方法歸納

(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：

①化為特殊角的三角函數(shù)值；

②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去，求值；

③化為分子、分母形式，進(jìn)行約分再求值．

(2)在進(jìn)行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變換．

跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)下列各式：

(1)sin(x＋)＋2sin(x－)－cos(－x)；

(2)－2cos(α＋β)．

解析：(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsincoscosx－sinsinx

＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx

＝(＋1－)sinx＋()cosx＝0.

(2)原式＝

＝

＝

＝.

題型2給值(式)求值

例2(1)設(shè)α∈(，π)，β∈(，2π)，若cosα＝－，sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．

應(yīng)用公式注意角的范圍求出所給角的正弦值．

【解析】因?yàn)棣痢?，π)，cosα＝－，

所以sinα＝，

因?yàn)棣隆?，2π)，sinβ＝－，

所以cosβ＝.

所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝＋(－)×(－)＝.

(2)已知sinα＝，cos(α＋β)＝－且α，β均為銳角．

①求sin(2α＋β)；②求β.

【解析】①因?yàn)棣?，β?0，)，sinα＝，所以cosα＝＝.

又因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以α＋β∈(0，π)，

所以sin(α＋β)＝＝，

所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)

＝×(－)＋＝－.

②sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα

＝··＝＝，

又因?yàn)棣隆?0，)，所以β＝.

跟蹤訓(xùn)練2已知0<β<α<，點(diǎn)P(1，4)為角α的終邊上一點(diǎn)，且sinαsin(－β)＋cosαcos(＋β)＝，則角β＝()

A．B．

C．D．

答案：D

解析：因?yàn)閨OP|＝7，所以sinα＝，cosα＝.

由已知sinαsin(－β)＋cosαcos(＋β)＝，

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得sinαcosβ－cosαsinβ＝，

所以sin(α－β)＝，

因?yàn)?<β<α<，所以0<α－β<，

所以cos(α－β)＝＝，

所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)

＝＝，

因?yàn)?<β<，所以角β＝.

方法歸納

(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)或多個(gè)時(shí)，“所求角”一般可以表示為其中兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．

(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．

(3)角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式．

提醒：解題時(shí)要重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值．

題型3輔助角公式的應(yīng)用

【思考探究】(1)函數(shù)y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值為2對(duì)嗎？為什么？

[提示]不對(duì)．因?yàn)閟inx＋cosx

＝sinx＋cosx)

＝(sinx·cos＋cosx·sin)

＝sin(x＋)，

所以函數(shù)的最大值為.

(2)函數(shù)y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？

[提示]因?yàn)閥＝3sinx＋4cosx

＝5(sinx＋cosx)，

令cosφ＝，sinφ＝，

則y＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，

所以函數(shù)y的最大值為5.

(3)如何推導(dǎo)asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(tanφ＝)公式？

[提示]asinx＋bcosx

＝sinx＋cosx)，

令cosφ＝，sinφ＝，則

asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)

＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符號(hào)確定，φ角的值由tanφ＝確定，或由sinφ＝和cosφ＝共同確定)．

例3(1)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)

C．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

D．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)

【答案】A

【解析】f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx＋sin(x＋)．

①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；

②不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

【解析】①f(x)＝sinx＋sinxcos＋cosxsin＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx

＝(sinxcos＋cosxsin)＝sin(x＋)，

當(dāng)sin(x＋)＝－1時(shí)，f(x)min＝－，

此時(shí)x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．

所以f(x)的最小值為－，x的集合為{x|x＝＋2kπ，k∈Z}．

②將y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得y＝sinx的圖象；

然后將y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得f(x)＝sin(x＋)的圖象．

狀元隨筆輔助角公式轉(zhuǎn)化成“一角一函數(shù)”的形式將所給函數(shù)展開與合并．

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知a＝(，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，f(x)＝a·b，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間；

解析：f(x)＝sinx－cosx

＝2(sinx·－cosx·)

＝2(sinxcos－cosxsin)＝2sin(x－)，

所以T＝＝2π，值域?yàn)閇－2，2].

由－＋2kπ≤x－＋2kπ，

得單調(diào)遞增區(qū)間[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.

狀元隨筆解答此類問題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β的右側(cè)，逆用公式化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)值．

(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)y＝g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()

A．(，0)B．(，0)

C．(，0)D．(，0)

答案：C

解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，

將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，

得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，

即g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，

由2x－＝kπ，得x＝，k∈Z，

當(dāng)k＝1時(shí)，x＝＝，

即函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(，0)．

方法歸納

(1)把所給函數(shù)展開，合并化簡(jiǎn)，然后利用輔助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．

(2)函數(shù)圖象可通過y＝sinx→y＝sin(x＋)→y＝sin(x＋)的順序得到．

教材反思

(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

①公式中的α，β均為任意角．

②兩角和與差的正弦公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看成是兩角和與差的正弦公式的特例．

③兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“余余正正，加減相反”．

(2)兩角和與差的正弦、余弦公式的內(nèi)在聯(lián)系

(3)使用和差公式時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式．(共32張PPT)

第2課時(shí)兩角和與差的正切

新知初探·自主學(xué)習(xí)

課堂探究·素養(yǎng)提升

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

1.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．

2．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換．

新知初探·自主學(xué)習(xí)

教材要點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一兩角和的正切公式

Tα＋β：tan(α＋β)＝_____________．

知識(shí)點(diǎn)二兩角差的正切公式

Tα－β：tan(α－β)＝_____________．

狀元隨筆你能舉出幾個(gè)兩角和與差的正切公式的變形式嗎？

[提示](1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ).

(2)1－tanαtanβ＝.

(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β).

(4)tanαtanβ＝1－.

基礎(chǔ)自測(cè)

1．tan255°＝()

A．－2－B．－2＋

C．2－D．2＋

答案：D

解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故選D項(xiàng)．

2.＝()

A．－B．

C．－D．

答案：D

解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.

3．設(shè)角θ的終邊過點(diǎn)(2，3)，則tan(θ－)＝()

A．B．－

C．5D．－5

答案：A

解析：由于角θ的終邊過點(diǎn)(2，3)，因此tanθ＝，故tan(θ－)＝＝＝，選A項(xiàng)．

4．設(shè)tanα＝，tanβ＝，且角α，β為銳角，則α＋β的值是________．

解析：∵tanα＝，tanβ＝

∴tan(α＋β)＝＝＝1，

又∵α，β均為銳角，即α，β∈(0，)，

∴0<α＋β<π，則α＋β＝.

課堂探究·素養(yǎng)提升

題型1利用公式化簡(jiǎn)求值

例1求下列各式的值：

(1)tan15°；

(2)；

(3)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.

【解析】(1)tan15°＝tan(45°－30°)

＝

＝＝＝2－.

(2)＝

＝

＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.

(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝＝，

∴tan23°＋tan37°＝(1－tan23°tan37°)，

∴原式＝(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝.

狀元隨筆把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))與活用(如(3))，通過適當(dāng)?shù)淖冃巫優(yōu)榭梢允褂霉降男问剑瑥亩_(dá)到化簡(jiǎn)或求值的目的．

方法歸納

(1)公式Tα＋β，Tα－β是變形較多的兩個(gè)公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三個(gè)．

(2)一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．

跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值：

(1)；

(2)tan36°＋tan84°－tan36°tan84°.

解析：(1)原式＝＝

＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.

(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－tan36°tan84°

＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－tan36°tan84°

＝tan120°＝－.

(3)已知2tanθ－tan(θ＋)＝7，那么，tanθ＝()

A．－2B．－1

C．1D．2

答案：D

解析：由題意可知2tanθ－＝7，

化簡(jiǎn)得2tanθ－2tan2θ－1－tanθ＝7－7tanθ，

解得tanθ＝2.

題型2條件求值(角)問題

例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為，.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

【解析】由條件得cosα＝，cosβ＝，

∵α，β為銳角，

∴sinα＝，sinβ＝，

∴tanα＝7，tanβ＝.

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，

∵α，β為銳角，

∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.

狀元隨筆先由任意角的三角函數(shù)定義求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，從而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)進(jìn)而得到α＋2β的值．

方法歸納

(1)通過先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角．

(2)選取函數(shù)時(shí)，應(yīng)遵照以下原則：

①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；

②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(－，)，選正弦較好．

(3)給值求角的一般步驟：

①求角的某一三角函數(shù)值；

②確定角的范圍；

③根據(jù)角的范圍寫出所求的角．

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知α∈(，π)，sinα＝，求tan(α＋)的值；

(2)如圖所示，三個(gè)相同的正方形相接，試計(jì)算α＋β的大小．

解析：(1)因?yàn)閟inα＝，且α∈(，π)，所以cosα＝－，

所以tanα＝＝＝－，

故tan(α＋)＝＝＝.

(2)由題圖可知tanα＝，tanβ＝，且α，β均為銳角，

所以tan(α＋β)＝＝＝1.

因?yàn)棣粒隆?0，π)，所以α＋β＝.

題型3公式的變形應(yīng)用

【思考探究】(1)判斷三角形的形狀時(shí)，都有哪些特殊三角形？

[提示]根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，常見的特殊三角形有等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等．

(2)在△ABC中，tan(A＋B)與tanC有何關(guān)系？

[提示]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A＋B＋C＝π，

∴A＋B＝π－C，

∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC．

例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判斷△ABC的形狀．

【解析】由tanA＝tan[π－(B＋C)]

＝－tan(B＋C)

＝

＝＝－.

而0°＜A＜180°，

∴A＝120°.

由tanC＝tan[π－(