函數(shù)的單調(diào)性與極值課件

(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

結(jié)論：均為銳角，即每一點(diǎn)的切線斜率都是正的，即

（1）觀察單調(diào)增函數(shù)的圖像（右圖），當(dāng)函數(shù)單調(diào)增加時(shí)，這條曲線沿軸正向是上升的。若該曲線是光滑的，那么在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的切線都存在，其傾斜角如何？xyo2l11l2y=f(x)3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：均為銳角(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

結(jié)論：均為鈍角，即每一點(diǎn)的切線斜率都是負(fù)的，即

（2）觀察單調(diào)減函數(shù)的圖像（右圖），當(dāng)函數(shù)單調(diào)減少時(shí)，這條曲線沿軸正向是下降的。若該曲線是光滑的，那么在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的切線都存在，其傾斜角又如何呢？xyo1l12l2y=f(x)(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：均為鈍角(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系，反過來，能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？?結(jié)論是肯定的(1)引子3.3.1函數(shù)的單調(diào)性由此可見，函數(shù)的單調(diào)(2)定理3.3.1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)：（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。（1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加。(2)定理3.3.1函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在(2)定理3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

說明1：定理中的開區(qū)間換，，等其它各種區(qū)間，定理的結(jié)論仍然成立。

說明2：與換成與（等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)成立），定理的結(jié)論是否仍然成立？(2)定理3.3.1函數(shù)的單調(diào)性說明1：定理中的開區(qū)(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例１討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。解：因?yàn)樗栽趨^(qū)間（-10，100）內(nèi)由定理可知在區(qū)間（-10，100）內(nèi)單調(diào)遞增。(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例１討論函數(shù)(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)的單調(diào)性。解：因?yàn)榈亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由定理知是的單調(diào)遞增區(qū)間,是的單調(diào)遞減區(qū)間。(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性

由定理可知，討論函數(shù)的單調(diào)性，需要根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來進(jìn)行判定。當(dāng)連續(xù)時(shí)，的正負(fù)值的分界點(diǎn)是使或不存在的點(diǎn)。我們把的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性由定理可知(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：因?yàn)榈亩x域?yàn)榱畹民v點(diǎn)，列表討論x1(1,5)(-,1)5(5,+)+-+所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是、單調(diào)減區(qū)間是(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例3求函數(shù)(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例4證明：當(dāng)時(shí)，。證明：令則又因?yàn)樗院瘮?shù)在單調(diào)增加,即所以(3)舉例3.3.1函數(shù)的單調(diào)性例4證明：當(dāng)(4)訓(xùn)練題一3.3.1函數(shù)的單調(diào)性1、討論函數(shù)的單調(diào)性．2、討論函數(shù)的單調(diào)性。3、討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．答案：?jiǎn)握{(diào)增加區(qū)間是、；單調(diào)減少區(qū)間是答案：?jiǎn)握{(diào)增加區(qū)間是；單調(diào)減少區(qū)間是答案：?jiǎn)握{(diào)增加區(qū)間是、；單調(diào)減少區(qū)間是(4)訓(xùn)練題一3.3.1函數(shù)的單調(diào)性1、討論函數(shù)(1)引子3.3.2函數(shù)的極值觀察圖像：

函數(shù)在點(diǎn)，處有何特點(diǎn)？

顯然，在的周圍其他點(diǎn)的函數(shù)值比小，在周圍其他點(diǎn)的函數(shù)值比大。xyoy=f(x)x1x2(1)引子3.3.2函數(shù)的極值觀察圖像：函數(shù)(2)定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果在該領(lǐng)域內(nèi)任取一點(diǎn)，均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為的極大值點(diǎn)；同樣，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)，均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為的極小值點(diǎn)．3.3.2函數(shù)的極值(2)定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果在該領(lǐng)(2)定義xyox1x2x3x4x5x6ab

從圖中我們可以看到點(diǎn)、是極大值點(diǎn)，、是極大值；、、是極小值點(diǎn)，、、是極小值。3.3.2函數(shù)的極值(2)定義xyox1x2x3x4x5x6ab(3)定理

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定理（極值存在的必要條件）

如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，則必有。3.3.2函數(shù)的極值(3)定理函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極(3)定理

定理說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。那么我們要問哪些駐點(diǎn)才是極值點(diǎn)呢？除了駐點(diǎn)以外還有哪些點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)呢？3.3.2函數(shù)的極值(3)定理定理說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐(3)定理定理

（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且。⑴如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,則函數(shù)在處取得極大值。⑵如果當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在處取得極小值。⑶如果在的兩側(cè)，具有相同的符號(hào)，則函數(shù)在處不取得極值。

3.3.2函數(shù)的極值(3)定理定理（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)(4)求函數(shù)極值的基本步驟由極值第一充分條件，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟為：（1）求函數(shù)的定義域。（2）求，解方程，求出駐點(diǎn)，找出使不存在的點(diǎn)。（3）用上述諸點(diǎn)按從小到大的順序?qū)⒍x區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)。（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值。3.3.2函數(shù)的極值(4)求函數(shù)極值的基本步驟由極值第一充分條件，求函(5)舉例例5求函數(shù)的極值。解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榱畹民v點(diǎn)列表分析x0(0,1)(-,0)1(1,+)+-+f(0)=0f(1)=-1所以，有極大值極小值3.3.2函數(shù)的極值(5)舉例例5求函數(shù)的極值。(5)舉例例6求函數(shù)的極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)，列表分析x+-f(2)=12(-,2)(2,+)所以，函數(shù)f（x）有極大值3.3.2函數(shù)的極值(5)舉例例6求函數(shù)的極值。解：函(6)訓(xùn)練題二求函數(shù)的極值。求函數(shù)的極值。答案：1.極小值；2.極大值，極小值3.3.2函數(shù)的極值(6)訓(xùn)練題二求函數(shù)(1)定理2.極值第二充要條件定理（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值。⑵當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，只能用第一充分條件定理來判斷當(dāng)時(shí)，用第一充分條件來求函數(shù)的極值。3.3.2函數(shù)的極值(1)定理2.極值第二充要條件定理（極值的第二充分條件）(2)舉例2.極值第二充要條件例7求函數(shù)的極值。解：因?yàn)榱畹糜忠驗(yàn)樗?，函?shù)有極大值極小值3.3.2函數(shù)的極值(2)舉例2.極值第二充要條件例7求函數(shù)(3)訓(xùn)練題三3.3.2函數(shù)的極值2.極值第二充要條件求函數(shù)的極值。求函數(shù)