2021考研數(shù)學(xué)（二）真題答案

2021考研數(shù)學(xué)試卷答案速查（數(shù)學(xué)二）

一、選擇題

(1)(C)(2)(D)(3)(C)(4)(A)(5)(D)

(6)(C)(7)(B)(8)(B)(9)(D)(10)(C)

二、填空題

,、12

(11)(12)(13)1

In33

712C2cos^x+C3sin^x

(14)—cos—(15)y=CjC*+e2

2兀

(16)—5

三、解答題

1+￡e'dt^\x\x-ex+1

⑴）【解析】原式已吧（2分）

(e'-l)sinx

qin—'+lsinxferdt

limsne+1+.―211——（4分）

I。(e*—1)sinx-。(eA-1)sinx

X+o(x“)+1-1+X+~)['e'2dt

=limJ+lim^---（-7-分）

x->0x~X

—；爐+心2）

+lime*'(9分)

=lim2

XA->0

（10分）

-2

2x+x2

x<02

x<0

(1+X)3'

（18）【解析】/'（%）=<0,x=0,f"(x)=<.(4分)

2

2x+x2x>0

x>0(1+4'

(1+4'

凹區(qū)間：（一8,-1）2（0,+8）；凸區(qū)間：（-1,0）（6分）

limf(x)=lim—―=8,垂直漸近線：x=-l.（7分）

x+lx"1+x

../（x）..X211.「//、1X2-X-X21/c八、

hm----=hm-------=I,hm[f（x）-x]=hvm----------=-l,（9分）

X->+8XXf+8+元）Xf+8L」+81+x

f（x）r~x2r2*/\iv—f+x+J

lvim----=lim-------=-1,vlimIf（x）+xI=lim------------=1,（11分）

00

37xSFx（l+x）a-XT-001+x

斜漸近線：y=%—1和y=—X+1.（12分）

121

（19）【解析】等式左右兩邊對(duì)x求導(dǎo)，華=,x-l,（2分）

/（X）=_X2_X2

63

長(zhǎng)度s-J：11+f2（x）dx=J：J1+g"—dx=i\2

1

H--X5公（5分）

2

9（111--I（19-]22

=rf±*2+上x(chóng)2心=上三+%2=三.°分）

林22廣13兒3

面積A=J；21f（x"l+f2（x）dx=J：fl2>

2M-x2-x2dx（10分）

3

二萬(wàn)『42.2"1卜=/、3425

-x2+x

3J——乃.（12分）

3廠（949

（20）【解析】（1）求解微分方程：y'--y=~-,（1分）

XX

Jxr66=C?+1,（4分）

則：y=e匕J，dx+C=x

且y（g）=10,故：y（x）=；f+i,（犬＞0）.（6分）

（2）設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x,y）,法線：Y-y=——（X-x）,

y'（x）

過(guò)p點(diǎn)的法線方程為：Y-y=一一!（X-x）,（8分）

2x

X=o時(shí)，y軸上的截距：/0=y=」T+y='7+!x6+],（9分）

2x2x3

9

令/［二一2+2爐=0,得駐點(diǎn)：x=l,唯一的極值點(diǎn)為最值點(diǎn)，（11分）

1x

4

則/〃最小時(shí)，p的坐標(biāo)為（12分）

(21)【解析】Jjxydxdy=,廠cose.rsin6/dr=Icossinr,dr

1o

D".

(6分)

=1J：cosesin夕cos220dO=1『sin2夕cos220d0(9分)

JT

=---Fcos?2。4cos26=----cos326=—.(12分)

16Jo48048

(22)【解析】

2-2-10

\AE-A\=-12-20=(2-/?)[(2-2)2-1]=(2-/?)(2-3)(2-1)=0(2分)

-1-aA-b

(1)當(dāng)Z?=l時(shí),4=4=1,4=3,A相似于對(duì)角矩陣，則r(E—A)=l,a=l(4分)

-10、'T-10、

(E-A)=-1-10f000

、T—a0,、000/

-10、'11-2、

(3E—A)=-110-?01-1

、TT2J、000；

(、

令可逆矩陣2=(',。2，。3)，使得pTAP=A=1.(7分)

、3,

(2)當(dāng)力=3時(shí)，4=4=3,4=1,A相似于對(duì)角矩陣，則廠(3E—A)=l,。=一1(9

分)

-10、1-10、rn0

(3E—A)10000,4=1,慶=0

—CI0,000J1

0-12、-1\

(E-A)=001i，A1

oj

-2,001

7

’3、

令可逆矩陣尸=（4,乩,網(wǎng)），使得P-AP=A=3.（12分）

2021研究生入學(xué)考試考研數(shù)學(xué)試卷(數(shù)學(xué)二)

一'選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題綱指定位置上.

1.J。'(e''是/的

(A)低階無(wú)窮小(B)等價(jià)階無(wú)窮小(C)高階無(wú)窮小(D)同階但非等價(jià)無(wú)窮

小

【分析】本題考查無(wú)窮小階的判定，考生需熟練掌握常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小公式以及變限積分求

導(dǎo)。

【答案】(C)

【解析】作商并取極限：

「J；(e"T)d，(產(chǎn)?臼2/

lim----------------=lim-----------------=lim――=(),

x->0JQ.r->0x->0元。

故分子是分母的高階無(wú)窮小.選Co

ev-l

-------xw0n

2./(x)=x'在x=0處

1,x=0

(A)連續(xù)且取得極大值(B)連續(xù)且取得極小值

(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零

【分析】本題考查連續(xù)、可導(dǎo)的判定，考生需熟練掌握連續(xù)、可導(dǎo)的定義式，以及極值存在

的充分條件.

【答案】(D)

【解析】八0)=1而)⑴—/⑼=lim」——=lim'一一=1而三」;可導(dǎo)自

X->0XA->0XXT。XXT°X2

然連續(xù);選D

3.有一圓柱體，底面半徑與高隨時(shí)間的變化率分別為2cm/s,-3cm/5,當(dāng)?shù)酌姘霃綖?/p>

10cm,高為5c機(jī)時(shí)，圓體的體積與表面積隨時(shí)間的變化速率為

(A)125Ttem31s,4Qncm2/s(B)1ISncrn,/s,-40ncm2/s

(C)—IOOHCAH3/5,407icm2/s(D)—lOOnc/n3/s,—40ncm2/s

【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用，考生需要熟練掌握基本的求導(dǎo)公式、圓柱體的體積、表

面積公式。

【答案】(C)

【解析】設(shè)體積及表面積分別為

V=7tr2h,S=2nrh+2nr2,

且有*嗒7

所以當(dāng)/■=l(),/i=5時(shí)，有

dV<.dr2%dS.(.drdhodr)

dtIdtdt)dtIdtdtdt)

【典型錯(cuò)誤】計(jì)算圓柱體的表面積時(shí)，容易忽略上、下底面的面積.

4.函數(shù)/(幻=辦一人111%(4>())有2個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍是

a

<(1、

(A)(e,+oo)(B)(0,e)(C)0,—(D)—,+oo

【分析】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及極值.

【答案】(A)

【解析】設(shè)/(x)=or—〃山羽/'(工)=。一上b=0,得駐點(diǎn)x=h—。

xa

又山11/(%)>0,山11/(%)>0只需/昌<。即摩)=6-6。2<0,所以ln)>l,故

x”aaaa

b

—>e.

a

5.設(shè)函數(shù)/(x)=sec%在x=0處的2次泰勒多項(xiàng)式為l+ov+h/,則

(A)a=1,Z?=—■-(B)a=\,b=^-(C)a=0,b=—■-(D)a=0,b=—

2222

【分析】本題考查在x=0處的泰勒展開(kāi)式，考生需熟練掌握常用的泰勒展開(kāi)式.

【答案】(D)

【解析】因?yàn)閟ecx為偶函數(shù)，所以。=0。

rnI../^(x)—1—CIX—hx2r/日

另由----5-------=0可得

XT。X

「f(x)-l-ax-bx2「secx-1-1-cosx,1,

lim---------z-------=lim---------b7=lim—z-------b=—b,

DX1。X1。XCOSX2

所以

2

6.設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且/(x+l,e*)=x(x+l)2,/(x,x2)=2x2]nx,則()

(A)dx+dy(B)dx-dy

(C)dy(D)一dy

【分析】本題考查多元函數(shù)求偏導(dǎo)，并且是復(fù)合函數(shù)中的抽象函數(shù)求偏導(dǎo)，考生需熟練掌握

利用鏈?zhǔn)椒ㄇ髲?fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

【答案】(C)

【解析】由/(x+1,e*)=(x+Ine*,/(x,/)=/In/可知/(x,y)=/Iny；

Y~2

因此工'(1,0)=2幻"心=0,/；(l,0)=—=1,

y(i.o)

=Odx+Idy=dy.

7.設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則J；/(x)dx=

(A)(B)limt/fM1

I2〃J2〃I2n)n

?lim巧傳平⑴)的次/目2

"f8H\2n)n"―合12鹿"

【分析】本題考查數(shù)列求和求極限，并結(jié)合定積分定義.

【答案】(B)

(解析］用特值法，令/(%)=1,則『/(x)dx=1；

JO

n2k_11111

選項(xiàng)(A),=/!?—=-,排除；同理，選項(xiàng)(B)為“」=1；

—M2n2nIn2n

12

選項(xiàng)(C)為2〃」=2,排除；選項(xiàng)(D)為2〃2=4排除；所以選擇(B).

nn

1人—］攵

方法二:將區(qū)間［0,1］〃等分，每一塊長(zhǎng)度均為其中第女塊小區(qū)間為——，一，取區(qū)間的

nnn

〃一1

中點(diǎn)為短=9-，由定義積分定義可知：

2n

lim力/(盤)工=lim￡/(與平=￡/(X)"，

"f8MnI2〃)nJo

故選B.

2k-l\1

A選項(xiàng):

"T8M2n

D選項(xiàng):lim￡/=2f2f(x)dx.

〃T0°M\2n)nJo

22

8.二次型f(x?x2,x3)=(X,+X2)+(X2+X3)一(七-X1)2的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)分

別為

(A)2,0(B)1,-1(C)2,1(D)1,2

【分析】本題考查二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，考生需熟練掌握如何判定可逆的線性變換，并求

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.

【答案】(B)

【解析】二次型/(內(nèi),々,％3)=知+8%2+4七+5不，從而二次型矩陣

’01r

A=121，求其特征值日后一4|=(/1+1)(/1—3)/1=0,特征值分別為0,—1,3,故正負(fù)

J1oj

慣性指數(shù)分別為1,-1.

【典型錯(cuò)誤】將原題看成已經(jīng)完成配方的標(biāo)準(zhǔn)形，未判定是否為可逆的線性變換.

9.設(shè)3階矩陣4=(%02，。3)，6=(月，河,用)，若向量組可以由向量組

片,耳,￡3線性表示，則

(A)Ax=0的解均為&=0的解(B)4彳=0的解均為5々=0的解

(C)Br=0的解均為Ar=0的解(D)57%=0的解均為47'彳=0的解

【分析】本題考查向量組的線性表示，方程組解的關(guān)系，考生需熟練掌握線性表示對(duì)應(yīng)的方

程組形式、秩的關(guān)系.

【答案】(D)

【解析】因?yàn)橄蛄拷Ma?,4可以由向量組用，尸2,同線性表示，所以存在三階矩陣P，

使得A=BP,故*=

設(shè)存在向量a使得5丁。=0,那么

ATa=PTSra=0,

所以5Tx=0的解均為ATX=0的解.

101、

10.已知矩陣A2-11,若三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣Q,使得PAQ為

(T2-5J

對(duì)角矩陣，則尸、Q分別取

(\00、(\0n100I00、

(A)010013(B)2-10010

00b00-32100

(100、(\o010012—3、

(C)2-10,'013(D)01002

2

1一3JI00b13101J

【分析】本題考查初等矩陣的應(yīng)用：左行右列，結(jié)合矩陣乘法運(yùn)算.

【答案】(C)

【解析】此題涉及矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，考綱并不涉及這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此可采取特值法.將選項(xiàng)代入,C

選項(xiàng)成立：

二'填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫在答題里指定位

置上.

11.[卜13_tdr=________.

J-co

【分析】本題考查反常積分的計(jì)算，結(jié)合定積分的湊微分法，考生需熟練掌握常用的湊微分

公式.

1?+002廣內(nèi)2c2■I

【解析】原式=2fx3-vdx=[3"d(-x2)=-3-?—.

。Jn

Jln30In3

12.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程1x=2e'+f+l則到=__________

y=4(r-l)e,+r-dr1。

【分析】本題考查參數(shù)方程求導(dǎo)，考生需熟練掌握參數(shù)方程求一階導(dǎo)、二階導(dǎo).

2

【答案】-

3

_dy/dt_4e'+4(t-l)e'+2t4fe'+2f3

【解析】—;——=2z,所以

drdLv/dr2e‘+12e'+l

d⑵)/df2

dr/df3

f=0

13.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程(x+l)z+Inz-arctan(2Ay)=1確定則

dz

豕-------------,

3(0,2)

【答案】1

【分析】本題考查多元函數(shù)求偏導(dǎo)，考生需熟練掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則.

【解析】由題可知z(0,2)=l,由隱函數(shù)的求導(dǎo)法則:

z.2)

dz=_《1+4丁/

1。

dx(0,2)F；(x+D+l—0

z(0.2)

71

14.已知函數(shù)/⑺寸或sin；dy,則尸

7

【分析】本題考查變限積分求導(dǎo)，結(jié)合二重積分交換積分次序，定積分計(jì)算.

【解析】由于二重積分中的積分限均包含變量，，由此交換積分次序可得

sin—dro

y

“2y

所以根據(jù)二重積分求導(dǎo)有廣⑺=[sin-dr,即:

Jit

7T

兀2x471兀2、712

fsin-xdx=——cos——cos——cos—=——cos——?

712711222兀

15.求解微分方程V"-y=0的通解

【分析】本題考查高階常系數(shù)齊次線性微分方程求解，考生需熟練掌握常系數(shù)齊次線性方程

的通解結(jié)構(gòu).

【解析】特征方程為萬(wàn)—1=0,g|J(/l-l)(22+2+l)=0,解得

2._-l±V3_1+6.

4=1,4,3=-"3-=~2±^1°

cos冬+Gsin

故通解為丁=。戶'+屋5'(。2

Xx2x

1X2-1

16.求多項(xiàng)式/(x)=中/項(xiàng)的系數(shù)為—

21x1

2-1x

【答案】-5

xx12x

上1X2-1

【解析】/(x)=2~生成(一1嚴(yán)321)4%3=—4/；

x1

2-11X

Xx12.v

1r2-1

/（九）=2，生成（一1）'⑵

2-11x

最終Y項(xiàng)的系數(shù)為—5。

三'解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

.X,2\

1+[edri

17.求極限lim—%---------------.

iseA-1sinx

\/

【答案】-

2

cinx-e*+1fedf

【解析】原式=、iim迎一

io（e-1）sinx-oe-1

2

1.sinx-x-ex-x-1-eA"

=lim------------lim-----------+lim--

.v->0JA->0廠xf0e”

1319

-r-x

=1-11611-^——lim2^—+*1

x—°X~x->0廠

一5.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=土且，求函數(shù)/(%)的凹凸區(qū)間及漸近線.

【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：凹凸性和漸近線，考生需熟練掌握曲線凹凸性的判定，以及

漸近線的求解步驟.

【答案】凹區(qū)間為(Y0,—1),(0,80),凸區(qū)間為(一1,0)；漸近線為X=—1,y=x—l和

y=-x+l.

2x+x2八

?，x<0,,2

2

(1+X)a,X<0,

(1+x)3

【解析】f'(x)=-0,x=0,/"(x)=,

2

2x+x_——r,X>0.

------7，%〉。；(1+4

(l+x)2

所以其凹區(qū)間為(TO,—1),(0,+8),凸區(qū)間為(一1,0)。

x\x\

lim/(x)=lim—口=oo,有垂直漸近線x=-1.

XT-1A->-I14-X

222

..f(x)..X1[.「，/、1rX-X-X1

hm----=lim-------=1,limf(x)-x\=lim----------=-1；

Xf+8xx—+8x(l+X)xf+8—+ooi+x

2—22

v/(x)[.-x].「//、ivx+x4-x1

lim----=lim--------=-1,limI/(x)+x\=lim------------=1；

xfyxx->7%(l+x)XT-"30a-00l+x

有斜漸近線y=%—1和y=—％+1.

19.設(shè)函數(shù)/(x)滿足J竽〃=：f-x+c,L為曲線y=/(x)(4效k9).記L的長(zhǎng)度為

s,L繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為A,求s和A.

425兀

【答案】s=—，A=

39

【解析】等式左右兩邊對(duì)x求導(dǎo)：阜=\一1,=-/

833

(x1

-x2+-X2

=f:(2222

1」、

面積A=J；2肺(%)，1+/氣外心=￡

2兀-x一腎+—X2dx

322

3425

71-x—x-+x------71.

"33J

93749

【典型錯(cuò)誤】弧微分中的根號(hào)計(jì)算式需重新配方，才能去掉根號(hào)，簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算.

20.y=y(x)(x>0)是微分方程沖6y=-6滿足y(G)=10的解.

⑴求y(x)；

(2)設(shè)〃為曲線y(x)上的一點(diǎn)，記p處法線在y軸上的截距為Ip.I。最小時(shí)，求〃的

坐標(biāo).

14

【答案】(1)武幻=］尤6+1：(2)(1,-)

【解析】(1)該一階線性微分方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y'--y=--,則

XX

f-dLr.6￡

y=exj——e*dx+C=Cx6+1；

又)，(8)=10,故y(x)=gf+i(x>0)。

(2)設(shè)〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),法線方程為Y—y=-一J—(X—x)=-一、(X—幻。

y(x)2x

X=()時(shí)，y軸上的截距

4d.+k.十戶。

令/=-三+2%5=0,得駐點(diǎn)％=1,由實(shí)際問(wèn)題可知此唯一的極值點(diǎn)為最小值點(diǎn),

x

4

此時(shí)〃的坐標(biāo)為(1,§).

21.設(shè)O由曲線,+力2=/一,2(*瞰y0)與X軸圍城，求JJx)drd)，.

【答案】—

48

【解析】JJxydxdy=JJrcos，?廠sin。，rdr(6分)

D■