隨機(jī)分析補(bǔ)充知識

隨機(jī)分析補(bǔ)充知識第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)二階矩過程一、定義則稱為二階矩過程。Home第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解由于和V都服從正態(tài)分布，所以也具有正態(tài)分布，例1其中和V是相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N（0，1）的隨機(jī)變量，且Home第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、性質(zhì)二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)一定存在證由許瓦茲不等式得故即二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)存在注Home第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月說明在討論二階矩過程中，常假定均值為零，這樣相關(guān)函數(shù)的形式和協(xié)方差函數(shù)的形式相同。返回Home第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)均方極限一、均方收斂定義1設(shè)隨機(jī)變量序列{，n=1,2,…}和隨機(jī)變量X都存在二階矩，如果則稱{}均方收斂于X，或稱X是{}的均方極限記作或簡記為Home第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均方收斂準(zhǔn)則定理1柯西準(zhǔn)則則均方收斂的充要條件為證只證必要性因?yàn)榫绞諗坑赬，所以有Home第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月又由所以故Home第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月注等價(jià)存在其說明隨機(jī)變量序列均方收斂的充要條件是它的相關(guān)函數(shù)列按普通極限意義收斂。三、均方收斂性質(zhì)性質(zhì)1若則證由許瓦茲不等式得因故得證注當(dāng)均方收斂于X時(shí)，的期望收斂于X的期望Home第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2若則證由許瓦茲不等式得因故得證Home第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3若則對任意常數(shù)a、b都有證因?yàn)楣实米CHome第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4若則注因=證于是即Home均方極限的唯一性第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解由Cauchy準(zhǔn)則，在級數(shù)收斂的條件下，可得均方收斂。例2Home第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)均方連續(xù)性均方收斂定義1即則稱在點(diǎn)t均方連續(xù)。一、均方連續(xù)稱在時(shí)均方收斂于Home第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均方連續(xù)準(zhǔn)則定理1則證充分性則所以Home第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月再證必要性又由均方收斂性質(zhì)2得定理2證由定理1知，Home第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月再由均方收斂性質(zhì)2，得即Home第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3則證由均方連續(xù)定義從而說明在均方連續(xù)的條件下，均值運(yùn)算與極限運(yùn)算的次序可以互換。但要注意，上式左邊為普通函數(shù)的極限，而右邊表示均方收斂意義下的極限。Home第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)均方導(dǎo)數(shù)一、均方導(dǎo)數(shù)的定義定義1如果均方極限存在則稱在t處均方可微，并將此極限記作即有或Home第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二次均方可微二階均方導(dǎo)數(shù)定義2廣義二次可微存在Home第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均方可微準(zhǔn)則定理1證由均方收斂準(zhǔn)則知的充要條件是存在而存在Home第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月三、均方導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2Home第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3性質(zhì)4證1設(shè)在t處均方可微，則在t處均方連續(xù)。第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月其它類似可證性質(zhì)5Home第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月四、1．證注均方導(dǎo)數(shù)的均值等于均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。而為普通意義下的確定性函數(shù)，故可用分析的方法求導(dǎo)。Home第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2.證Home第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月注求偏導(dǎo)數(shù)得到。3．證明Home第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月即同理可得又因故Home第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月注隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)求兩次混合偏導(dǎo)數(shù)。例1證明返回Home第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)均方積分一、均方黎曼可積定義1分割作和式如果則稱并稱記作即Home第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均方可積準(zhǔn)則定理1即黎曼積分存在證由均方收斂準(zhǔn)則可知，即存在Home第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月如果上式極限存在，其極限值就是黎曼積分Home第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2證明由定理1知，三、均方積分的性質(zhì)性質(zhì)1Home第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2其中性質(zhì)3Home第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4性質(zhì)5（均方可積的唯一性）四、均方積分的數(shù)字特征1．隨機(jī)過程積分的期望Home第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月證注1注2Home第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2．均方積分的方差及協(xié)方差函數(shù)則證Home第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月注同樣可以證明3．均方積分的自相關(guān)函數(shù)及互相關(guān)函數(shù)則Home第38頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月證只證明其他類似可證Home第39頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例解在定義中可取則所以