隨機(jī)數(shù)的生成方法

隨機(jī)數(shù)的生成方法第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在一定的統(tǒng)計(jì)意義下可作為隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn的一組樣本值，稱r1,r2,…,rn一組具有與X相同分布的隨機(jī)數(shù).

例1設(shè)隨機(jī)變量X～B(1,0.5),模擬該隨機(jī)變量X的一組樣本值.一種簡(jiǎn)單的方法是

拋一枚均勻硬幣，觀察出現(xiàn)正反面的情況，出現(xiàn)正面記為數(shù)值“1”,否則記為“0”得：

0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0，

0，1，1，0，1，0,…可看成總體X

的一系列樣本值,或稱產(chǎn)生了一系列具有兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù).

第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月需要尋求一種簡(jiǎn)便、經(jīng)濟(jì)、可靠,并能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法.數(shù)學(xué)軟件有產(chǎn)生常用分布隨機(jī)數(shù)的功能對(duì)特殊分布需要數(shù)據(jù)量很大時(shí)不太有效第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生最常用、最基礎(chǔ)的隨機(jī)數(shù)是在（0,1）區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)(簡(jiǎn)記為RND)

理解為：隨機(jī)變量X～U(0,1)的一組樣本值的模擬值

一般采用某種數(shù)值計(jì)算方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算來(lái)得到.通常是利用遞推公式：給定k個(gè)初始值ξ1,ξ2,…,ξk,利用遞推公式遞推出一系列隨機(jī)數(shù)ξ1,ξ2,…，ξn,…第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月乘同余法混合同余法常用方法具有較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

1．乘同余法遞推公式為用M除λxn后得到的余數(shù)記為xn+1其中λ是乘因子,M為模數(shù)(modulus),第一式是以M為模數(shù)的同余式.給定初值x0(稱為種子),遞推計(jì)算出第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

r1，r2，…，即在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列.例2

取x0=1，λ=7，M=103，有λx0=7×1=7，x1=7，r1=7/1000=0.007λx1=7×7=49，

x2=49，r2=49/1000=0.049λx2=7×49=343，x3=343，r3=343/1000=0.343λx3=7×343=2401,x4=401,r4=401/1000=0.401λx4=7×401=2807,x5=807,r5=807/1000=0.807其余類推.

第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．混合同余法遞推公式為用模M去除λxn+C的余數(shù)其中，C是非負(fù)整數(shù).

例3：選λ=97，C=3，M=1000，得遞推公式取定種子x0=71，得97x0＋3=6890，x1=890，r1=0.89097x1＋3=86333，x2=333，r2=0.333第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月97x2＋3=32304，x3=304，

r3=0.30497x3＋3=29491，x4=491，r4=0.49197x4＋3=47830，x5=630，r5=0.630

余類推，接下來(lái)的隨機(jī)數(shù)是：0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050，0.853…有下述問(wèn)題：1.數(shù)列{rn}是有周期的，周期L≤M（模數(shù)）；

因0≤xn≤M，數(shù)列{xn}最多有

M個(gè)相異值,

從而{rn}也同樣如此.第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.數(shù)列{rn}本質(zhì)上是實(shí)數(shù)列,給定初始值由遞推公式計(jì)算出的一串確定的數(shù)列.不能簡(jiǎn)單等同于真正意義的隨機(jī)數(shù).解決方法與思路：1.選擇模擬參數(shù)2.對(duì)數(shù)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

從計(jì)算機(jī)中直接調(diào)用某種分布的隨機(jī)數(shù)同樣存在類似問(wèn)題.

第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月x。=1，λ=513，M=236

（L=234≈2×1010）1）

周期的長(zhǎng)度取決于參數(shù)x0,入,M的選擇；

2）

通過(guò)適當(dāng)選取參數(shù)可以改善隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).

幾組供參考的參數(shù)值：

x。=1，λ=7，M=1010

（L=5×107）1.選擇模擬參數(shù)

在計(jì)算機(jī)上編程產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)還應(yīng)注意浮點(diǎn)運(yùn)算對(duì)周期的影響x。=1，λ=517，M=212

（L=240≈1012）第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.對(duì)數(shù)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)無(wú)論用哪一種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列(實(shí)數(shù)列)RND,都存在問(wèn)題：

能否將其看著是在(0,1)上均勻分布的連續(xù)型隨機(jī)變量X

的獨(dú)立樣本值？對(duì)應(yīng)的樣本是否可以看成X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：1）X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立；

2）Xi～U(0,1),(i=1,2，…，n)

需判斷是否具有較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：獨(dú)立性

均勻性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.任意分布隨機(jī)數(shù)的模擬l．離散型隨機(jī)數(shù)的模擬

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為

將{P(n)}作為區(qū)間(0,1)的分點(diǎn):P(0)P(1)P(2)P(3)01……第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

若隨機(jī)變量

R～U(0,1),有產(chǎn)生X的隨機(jī)數(shù)的算法步驟：(1)

產(chǎn)生一個(gè)(0,1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)r(RND);

(2)

若P(n－1)＜r≤P(n)

，則令X取值為xn.例3離散型隨機(jī)變量X的分布律如下X=x

P(x)

012

0.30.30.4

第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)r1，r2，…，rN是RND隨機(jī)數(shù)，令x1，x2，…，xN

即具有X

的分布律的隨機(jī)數(shù).

從理論上講,已解決了產(chǎn)生具有任何離散型分布的隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題.

具體執(zhí)行仍有困難,如X的取值是無(wú)窮多個(gè)的情況.

可利用分布的自身特點(diǎn),采用其他的模擬方法.第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例4隨機(jī)變量X～B(n,p)，其分布律為隨機(jī)變量X是

n

次獨(dú)立貝努里試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的總次數(shù),其中p=P(A).

在計(jì)算機(jī)上模擬

n

重貝努里試驗(yàn)來(lái)產(chǎn)生二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù).

當(dāng)p

較大而計(jì)算精度要求較高時(shí)

第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2）統(tǒng)計(jì)ri（i=1，2，…，n）中使得重復(fù)循環(huán)得到:n1，n2，…，nk即所求隨機(jī)數(shù)列.01p練習(xí)題：(1)生成100個(gè)服從B(20,0.3)的隨機(jī)數(shù)(2)如何模擬參數(shù)為λ的泊松分布隨機(jī)數(shù)？ri≤p的個(gè)數(shù)ni..算法步驟：

1）產(chǎn)生n個(gè)RNDr1，r2，…，rn；

第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．連續(xù)型隨機(jī)數(shù)的模擬

利用在(0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬具有給定分布的連續(xù)型隨機(jī)數(shù).

兩種方法反函數(shù)法

舍選法

1)反函數(shù)法設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y的概率函數(shù)為f(x),需產(chǎn)生給定分布的隨機(jī)數(shù).

算法:1）產(chǎn)生n個(gè)RND隨機(jī)數(shù)r1，r2，…，rn；

所得yi,

i=1,2,…,n

即所求.第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本原理： 設(shè)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)F(y)是連續(xù)函數(shù)，而且隨機(jī)變量X～U(0,1)，令Z=F－1(X)。 則Z與Y有相同分布.

證明

FZ(z)=P{F－1(X)≤z}=P{X≤F(z)}=G(F(z))=F(z)

因G(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)：第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若Y的概率密度為

f(y)，由Y=F－1(X)可得對(duì)給出定的(0,1)上均勻分布隨機(jī)數(shù)ri，則具有給定分布的隨機(jī)數(shù)yi可由方程

解出.第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5模擬服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，其概率密度函數(shù)為

若隨機(jī)變量)X～U(0,1)1－X

～U(0,1)第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1－ri)與ri均為RND隨機(jī)數(shù)

模擬公式可改寫為問(wèn)題：請(qǐng)考慮如何利用此公式模擬泊松流？?jī)?yōu)點(diǎn)：一種普通而適用的方法；缺點(diǎn):當(dāng)反函數(shù)不存在或難以求出時(shí),不宜于使用.練習(xí)：生成100服從參數(shù)為10的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）舍選法基本思想：實(shí)質(zhì)上是從許多RND隨機(jī)數(shù)中選出一部分,使之成為具有給定分布的隨機(jī)數(shù).算法步驟：

(1)選取常數(shù)λ，使λf(x)＜1，x∈(a,b)；

(2)產(chǎn)生兩個(gè)RND隨機(jī)數(shù)r1、r2，令

y=a＋(b－a)r1；

(3)若r2≤λf(y)，則令x=y,

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，存在實(shí)數(shù)a<b，使P{a<X<b}=1，

否則剔除

r1和r2,重返步驟(2).第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重復(fù)循環(huán),產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN的分布由概率函數(shù)f(x)確定.舍選法算法原理分析： 設(shè)P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度為f(z),選常數(shù)λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)；隨機(jī)變量X1，X2相互獨(dú)立Xi～U(0,1),令Y1=a+(b－a)X1～U(a,b);若X2≤λf(Y1)，則令X=Y1，否則剔除X1，X2重復(fù)到(2)。則隨機(jī)變量X的分布與Z相同。第23頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注可選取有限區(qū)間(a1,

b1)，使得

ε是很小的正數(shù).例如取a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ，有