傳熱學(xué)第二章導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)學(xué)描述

傳熱學(xué)第二章導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)學(xué)描述2023/7/291第1頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二章

導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述1、基本概念及傅里葉定律2、導(dǎo)熱系數(shù)3、導(dǎo)熱微分方程式及其定解條件第2頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

導(dǎo)熱問(wèn)題的求解目標(biāo)與思路解決工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法一般有下列幾個(gè)步驟：?jiǎn)栴}分析 建立物理模型 根據(jù)問(wèn)題的相關(guān)屬性建立數(shù)學(xué)模型 求解傳熱學(xué)的主要任務(wù)是求解熱量傳遞速率和溫度變化速率，對(duì)應(yīng)于導(dǎo)熱問(wèn)題就是求解物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)和熱流場(chǎng)。這就需要在深刻理解導(dǎo)熱規(guī)律前提下尋求各種具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)求解方法。第3頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、基本概念及傅里葉定律1)溫度場(chǎng)溫度場(chǎng)——物體中各點(diǎn)溫度的集合，在直角坐標(biāo)系下的形式分類：與時(shí)間關(guān)系分為穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)與空間關(guān)系分為一維、二維、三維溫度場(chǎng)。第4頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）等溫面：溫度場(chǎng)中同一瞬間溫度相同的點(diǎn)連成的面。其疏密程度可反映溫度場(chǎng)在空間中的變化情況。等溫線:任意截面與等溫面的交線。特點(diǎn)：不能相交；物體內(nèi)部?jī)?nèi)部連續(xù)；沿等溫線（面）無(wú)熱量傳遞；等溫線的疏密可直觀反映出不同區(qū)域溫度梯度（即熱流密度）的相對(duì)大小。

tt-Δtt+Δt第5頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3）方向?qū)?shù)與溫度梯度方向?qū)?shù):

函數(shù)在某點(diǎn)沿某一方向?qū)嚯x的變化率.

溫度場(chǎng)中某一點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)為該點(diǎn)的溫度梯度，記為gradt。

梯度的性質(zhì)：1．方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；2．每點(diǎn)梯度都垂直于該點(diǎn)等溫面，并指向溫度增大的方向（法線方向）。第6頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4）傅里葉定律 一般形式：傅里葉定律的文字表述為:在導(dǎo)熱現(xiàn)象中,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)給定截面的熱流量,正比于該截面法線方向的溫度變化率和截面面積,熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反.注：傅里葉定律是實(shí)驗(yàn)定律，普遍適用于各向同性材料（導(dǎo)熱系數(shù)在各個(gè)方向是相同的）.第7頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、導(dǎo)熱系數(shù)（Thermalconductivity）傅里葉定律給出了導(dǎo)熱系數(shù)的定義:導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下的熱流密度。是物性參數(shù)，與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切相關(guān)，如溫度、濕度、壓力、密度等，而與幾何形狀無(wú)關(guān)。反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。

不同物質(zhì)的導(dǎo)熱性能不同：0?C時(shí)：第8頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同一種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變。一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系來(lái)描述

一般將溫度不高于350oC時(shí)，λ不大于0.12W/(m℃)的材料稱為保溫材料。高效能的保溫材料多為蜂窩狀多孔結(jié)構(gòu)。第9頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月疏松物質(zhì)的折合密度:疏松物質(zhì)內(nèi)含不流動(dòng)的氣體物質(zhì)，由于氣體物質(zhì)的低導(dǎo)熱性，疏松物質(zhì)常用于隔熱保溫。若過(guò)于密實(shí)，空隙中的氣體被趕跑，導(dǎo)熱系數(shù)會(huì)加大；若過(guò)于蓬松，空隙中氣體的對(duì)流作用增強(qiáng)，也會(huì)使導(dǎo)熱系數(shù)加大，所以，為了得到較小的導(dǎo)熱系數(shù)，疏松物質(zhì)應(yīng)有一個(gè)適中的折合密度。多孔材料的含水率:水取代了孔中空氣而使導(dǎo)熱系數(shù)加大，所以保溫材料要防水，衣服要保持干燥。第10頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月住新房和舊房的感覺一樣么？答：因?yàn)樗膶?dǎo)熱系數(shù)遠(yuǎn)大于空氣的導(dǎo)熱系數(shù)，新房的墻壁含水較多，所以新房比較冷。第11頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)述影響導(dǎo)熱系數(shù)的因素。答：導(dǎo)熱系數(shù)不僅與物質(zhì)的種類有關(guān)，還與物質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)和狀態(tài)有關(guān)。溫度、多孔材料的含水率、疏松物質(zhì)的折合密度等都影響材料的導(dǎo)熱系數(shù)。同樣是-6℃的氣溫，在南京比在北京感覺冷一些答：冬季南京的空氣濕度比北京的大，濕空氣由于含有水蒸汽而比干空氣的換熱能力強(qiáng);加之衣物也因吸收空氣中水分使保溫效果下降。第12頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、導(dǎo)熱微分方程式及其定解條件理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+能量守恒方程1）導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)方法：微元體平衡假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；

(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為常數(shù)；

(3)物體內(nèi)具有均勻內(nèi)熱源。第13頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)入微元體的凈熱量x方向?qū)胛⒃w的熱量：x方向?qū)С鑫⒃w的熱量：x方向?qū)胛⒃w的凈熱量：根據(jù)能量守恒定律，單位時(shí)間凈導(dǎo)入微元體的熱量

加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量

應(yīng)等于微元體內(nèi)能的增加量。則第14頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理y方向和z方向凈熱量：導(dǎo)入微元體的總凈熱量（以上三式之和）：微元體內(nèi)熱源生成熱:

式中：為單位體積內(nèi)熱源.微元體內(nèi)能增量（顯熱）：第15頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月整理得常物性、非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程：（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)=擴(kuò)散項(xiàng)+源項(xiàng)）式中：拉普拉斯算子由能量守恒定律第16頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見材料熱擴(kuò)散率：木材：a=1.510-7;鋼：a=1.2510-5；銀：a=210-4。木材比鋼材的導(dǎo)溫系數(shù)小100倍，所以木材一端著火而另一端不燙手。熱擴(kuò)散率（導(dǎo)溫系數(shù)）: 物性參數(shù).分子代表導(dǎo)熱能力，分母代表容熱能力，其值代表溫度波動(dòng)在物體中的擴(kuò)散速度。比如：a值大，即值大或

c值小，說(shuō)明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散。熱擴(kuò)散率a只對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程才有意義,因?yàn)榉€(wěn)態(tài)過(guò)程溫度不隨時(shí)間變化，熱容大小對(duì)導(dǎo)熱過(guò)程沒有影響。第17頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常物性導(dǎo)熱微分方程式形式：

非穩(wěn)態(tài)：

無(wú)內(nèi)熱源：

穩(wěn)態(tài)：

穩(wěn)態(tài)：

非穩(wěn)態(tài)：有內(nèi)熱源：提示：導(dǎo)熱微分方程還有柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、變物性、一維、二維等形式。第18頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）定解條件導(dǎo)熱微分方程是描寫物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的一般關(guān)系，沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過(guò)程，是通用表達(dá)式。定解條件：確定唯一解的附加條件.時(shí)間條件：某一時(shí)刻導(dǎo)熱物體的溫度分布，對(duì)起始時(shí)刻又稱初始條件。（對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，時(shí)間條件沒有意義.）

邊界條件:表明物體邊界處的溫度或換熱情況.第19頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見的三類邊界條件:a.第一類邊界條件:已知物體邊界上任何時(shí)刻的溫度分布，最簡(jiǎn)單的形式：恒壁溫，b.第二類邊界條件:已知物體邊界上任何時(shí)刻的熱流密度或溫度變化率，最簡(jiǎn)單的形式：恒熱流，恒熱流的特例是絕熱邊界條件：第20頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng):轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件（絕熱）轉(zhuǎn)化為第二類邊界條件當(dāng):導(dǎo)熱微分方程＋定解條件求解溫度場(chǎng)熱流場(chǎng)由Newto